01-费米-狄拉克分布和玻色-爱因斯坦分布的简单推

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1、万方数据物理与工程V01．11No．2200113费米一狄拉克分布和玻色一爱因斯坦分布的简单推导①余守宪唐莹(北方交通大学物理系，北京100044)(收稿日期：2000—10—18)摘要给出一种用初级数学手段导出费米一狄拉克分布和玻色一爱因斯坦分布的方法．关键词分布；概率；玻色子；费米子；能级ELEMENTARYDERIVATIoNoFFERMI—DIRACANDBoSE—EINSTEINDISTRIBUTIoNSheShouxianTangYing(DeparmentofPhysics，Norther

2、nJiaotongUniversityBeijing，100044)AbstractAnelementarymethodispresentedfordeducingFermi—DiracandBose-Einsteindistributioninstatisticalphysics．KeyWordsdistribution；probability；boson；fermion；energylevel统计物理学中，推导费米一狄拉克和玻色一爱因斯坦分布(以下分别简写为F—D和B-E分布)[1’23所用到的数学

3、手段，对于数学基础不足的低年级学生而言，有较大难度．本文介绍一种简单方法，避开严格的数学论证，只用初级数学手段，导出F—D和B-E分布．这种方法降低了数学难度，突出了物理意义便于把主要精力用于讨论结论和应用，适于在低年级的大学物理课教学中参考或采用．1导出F-D分布写为M—B分布)．由玻耳兹曼因子知：能量为E的粒子数与因子e一趴T成正比．对于由费米子组成的全同粒子系统，由于受到泡利原理的约束，一个量子态上最多只能有一个粒子．设能级E的某个量子态被占概率与未占概率之比为z，则x=Ae趴丁，式中A是与E无关

4、的常数，且应取正值，写为A—e矾T，可由系统所占体积、粒子总数及温度定出(见后面)．故在能级为E的一个量子态上的平均粒子数为叩Ao--E／kT，(E)一r幸j—r芊和1十Z1十^e⋯～此前教学中邑讨论了麦一玻分布(以下简即，(E)一南①本文得到北方交通大学工科物理教学基地资助万方数据14物理与工程V01．11No．22001上式中e旧叫雎T≥o，所以，(E)≤1，符合泡利原理的要求．如果E能级有C，个量子态(G即E；的简并度，亦即统计物理中讨论的E能层的相格数)，则能级E{上的粒子数为rM。万葫‘1)粒

5、子处于E：能级上任意一个量子态的概率为1f(Ei)一再霸哺‘2)(1)式即费米子系统遵从的费米一狄拉克分布律．常数A=r雎T，弘称为化学势．在费米子系统中，粒子数守恒，∥可由总粒子数N定出．下面以金属中的自由电子为例，简述p的确定．图1OK时金属中电子的分布设T=OK时，卢=胁，由(2)式可知E<胁f一1E；>胁f一0∥。即OK时，电子的费米能．上式表明：OK时，系统的N个电子全部处于E<胁的量子态中，且每个量子态上只有一个电子．故总粒子数N一∑N；．叠磊根据量子力学的要求，粒子相空间的小体积AxAyA

6、zAp，Ap，Ap。一h3，故当粒子所在体积为V时，动量空间中的小体积为／Xp。Ap，Ap：一^3／V，由此易得在能量间隔AE中所包含的相空间的小体积(相路)数目为o．，等V(2m3)V2E“2△E．考虑到具有半整数的自凡旋的粒子，自旋可取两个方向，相格数目C(E)应该加倍，于是就得到N—j'-筹--3V(2m)3／2E1／2dE(3)积分即得胁一笔(塑≯)号由金属中自由电子的数密度竹=N／V可估算卢。值的量级约为几个电子伏特．还可由非相对论动能p。一P：／2m，计算出此时的费米动量Po．当T>O时：E

7、寺E一砖一去E>∥<百1图2T>0K金属中电子的分布此时化学势由N一，菩c2扩黑㈤给出．易见7">0K时，卢是粒子数密度咒一N／V及温度T的函数．系统的能量U=∑N。E。ZJ’’或u一警(2优)3／2，高(5)由于∥与tz。有相同数量级，在室温下kT／fz约为几百分之一，e-寿《1．由此可以解释常温下金属的热容量主要是离子振动的热容量，而自由电子的贡献很小，其值仅为经典理论值(按能均分定理计算)的kT／,u(几百分之万方数据物理与工程V01．11No．2200115一)倍．当El》七T时，e‘

8、q一酬kr>>l，则f(Ei)≈南(6)F-D分布就过渡到M—B分布，即在高能量状态，量子数很大，△Ei—E川二Ei—o，经典统计近似成立．2导出弘E分布对玻色子系统，量子态上的粒子数无限制．设能级E的一个量子态被占概率与未占概率之比为X，则某量子态上有0个、1个、2个、3个、⋯⋯粒子的概率之比为1：z：。2：z3⋯，故在能级E的一个量子态上的平均粒子数彻一吐告鲁丢警若坐l十z十z。十z。十⋯z(1+2x+3x2+⋯)(1一z)(1+2z+