内蒙古赤峰市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文科）（A卷）Word版含解析

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2020-2021学年内蒙古赤峰市高二（下）期末（A卷）数学试卷（文科）一、选择题（共10小题）.1．复数的共轭复数是（　　）A．iB．﹣iC．iD．﹣i2．“ab＝0”是“a2+b2＝0”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既充分也不必要条件3．若f（x2）＝lnx，则f（2）＝（　　）A．ln2B．2In2C．ln2D．﹣3ln24．赤峰市种植谷子历史悠久，2003年在兴隆沟遗址出土了距今8000年的栗和黍的碳化颗粒标本，经加拿大、英国和我国的研究机构用C﹣14等手段鉴定论证后，认为是人工栽培形态最早的谷物，由此推断赤峰敖汉地区是中国古代旱作农业起源地，也是横跨欧亚大陆旱作农业的发源地．为了解城市家庭每天小米食用量xkg与满意率y的关系，抽样得一组数据如表：x（kg）0.30.40.50.60.7y（%）30m507060根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y与x线性回归方程为＝65x+17中m的值为（　　）A．37.5B．40C．43.5D．455．下列说法中正确的是（　　）①相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1，相关性越弱；②回归直线＝x+一定经过样本点的中心（）；③相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；④随机误差e的方差D（e）的大小是用来衡量预报的精确度．A．①②B．③④C．①③D．②④6．设复数z满足|z+1﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为P（x，y），则点P的轨迹方程为（　　）A．（x﹣1）2+（y+1）2＝1B．x2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+y2＝1D．（x+1）2+（y﹣1）2＝17．已知圆C：（x+2）2+y2＝4内一点P（﹣1，1）则过点P的弦长为2的弦所在直线方程为（　　）

1A．x＝2或y＝1B．y＝1C．x＝﹣1或y＝1D．x＝﹣18．已知平面上动点P到定点F（2，0）的距离比它到y轴的距离大2，则动点P的轨迹方程为（　　）A．y＝0B．y2＝8xC．y＝0或y2＝8xD．y2＝9．已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为2，M、N分别为侧面ADD'A'、BCC'B'的中心，则此正方体ABCD﹣A'B'C'D'的外接球被平面BMN所截的截面面积为（　　）A．2πB．3πC．πD．π10．设对于曲线f（x）＝﹣ex﹣x上任一点处的切线l1，总存在曲线g（x）＝2ax+cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是（　　）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.11．有一种益智推理游戏叫“找规律填数字”，按照规律“1＝0”，“2＝3”、“3＝8”“4＝15”，“5＝24”，则“7＝　　”．12．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+4y的取值范围是　　．13．已知直线l：x﹣y+t＝0（t≠0）与双曲线C：（a＞0，b＞0）两条渐近线分别交于A，B两点（A在第一象限，B在第二象限），若∠BAO＝30°，则该双曲线的离心率为　　．14．已知函数f（x）＝ex﹣a﹣eln（ex+a），若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是　　．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分15．已知命题p：函数f（x）＝（a﹣3）x是R上的减函数；命题q：x2+ax+2a﹣＞0对∀x∈R都成立．若命题p和命题q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．16．正三角形的一个顶点位于抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长．

217．为了调研同学们的学习成绩与学习时长的关系，某个学习研究小组从该校高二年级随机抽取了20名学生，统计他们每天学习数学所用的大致时间，以1小时为分界线，恰好各占一半．其中，每天学习数学时间少于1小时的记为A组，达到1小时及以上的记为B组，并把两组同学的数学成绩以茎叶图形式呈现，如图：（1）分别求出A，B两组同学的平均分及中位数；（2）若规定：不低于90分为优秀，不低于75分为达标，75分以下为未达标，根据成绩：①完成如下列联表：达标未达标合计A组B组10合计20②判断是否有95%的把握认为“数学成绩达标与否”与“学习时长达到1小时”有关？（3）为了进一步进行研究，若从A，B两组达标的同学中各随机抽取1人，求至少有1人成绩达到优秀的概率．参考公式及数据：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.82818．已知函数f（x）＝x2+alnx，a∈R．（1）当a＝﹣4时，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）＝f（x）+在[1，e]为单调减函数，求实数a的取值范围．19．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，点在椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E的右焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，其中直线l1交椭圆于M，N两点．直线l2交椭圆于P，Q，求M，N，P，Q这四点围成的四边形的面积的取值范围．

3（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]20．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，过点P（2，）作倾斜角为α的直线l与交于M，N两点．（1）写出l的参数方程及C的直角坐标方程；（2）求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]21．已知a，b为正数，函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|的值域为[1﹣c，+∞）．（1）若c＝﹣1，证明：a+b≥2ab；（2）若c＞0，证明：．

4参考答案一、选择题（共10小题）.1．复数的共轭复数是（　　）A．iB．﹣iC．iD．﹣i解：∵＝，∴．故选：A．2．“ab＝0”是“a2+b2＝0”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既充分也不必要条件解：根据题意，若ab＝0，则a＝0或b＝0，则a2+b2＝0不一定成立，如a＝0、b＝1时，ab＝0成立而a2+b2＝0不成立，若a2+b2＝0，则有a＝b＝0，必有a2+b2＝0，故“ab＝0”是“a2+b2＝0”的必要不充分条件，故选：B．3．若f（x2）＝lnx，则f（2）＝（　　）A．ln2B．2In2C．ln2D．﹣3ln2解：根据题意，f（x2）＝lnx，则x＞0，令x＝，则有f（2）＝ln＝ln2，故选：C．4．赤峰市种植谷子历史悠久，2003年在兴隆沟遗址出土了距今8000年的栗和黍的碳化颗粒标本，经加拿大、英国和我国的研究机构用C﹣14等手段鉴定论证后，认为是人工栽培形态最早的谷物，由此推断赤峰敖汉地区是中国古代旱作农业起源地，也是横跨欧亚大陆旱作农业的发源地．为了解城市家庭每天小米食用量xkg与满意率y的关系，抽样得一组数据如表：x（kg）0.30.40.50.60.7y（%）30m507060根据表中的全部数据，用最小二乘法得出y与x线性回归方程为＝65x+17中m的值为（　　）

5A．37.5B．40C．43.5D．45解：由表中数据，可得，，∵线性回归方程＝65x+17过样本中心，∴，解得m＝37.5．故选：A．5．下列说法中正确的是（　　）①相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1，相关性越弱；②回归直线＝x+一定经过样本点的中心（）；③相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好；④随机误差e的方差D（e）的大小是用来衡量预报的精确度．A．①②B．③④C．①③D．②④解：对于①，相关系数r用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，|r|越接近于1，相关性越强，故①错误；对于②，回归直线＝x+一定经过样本点的中心（），故②正确；对于③，相关指数R2用来刻画回归的效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好，故③错误；对于④，随机误差e的方差D（e）的大小是用来衡量预报的精确度，故④正确．故选：D．6．设复数z满足|z+1﹣i|＝1，z在复平面内对应的点为P（x，y），则点P的轨迹方程为（　　）A．（x﹣1）2+（y+1）2＝1B．x2+（y﹣1）2＝1C．（x﹣1）2+y2＝1D．（x+1）2+（y﹣1）2＝1解：由|z+1﹣i|＝|z﹣（﹣1+i）|＝1可知复数z对应点到点（﹣1，1）的距离等于1，∴点P的轨迹方程为：（x+1）2+（y﹣1）2＝1．故选：D．7．已知圆C：（x+2）2+y2＝4内一点P（﹣1，1）则过点P的弦长为2的弦所在直线方程为（　　）A．x＝2或y＝1B．y＝1C．x＝﹣1或y＝1D．x＝﹣1解：根据题意，设要求直线为l，圆C：（x+2）2+y2＝4，其圆心为（﹣2，0），半径r＝2，过点P的弦长为2，则圆心到直线l的距离d＝＝1，

6若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝﹣1，圆心（﹣2，0）到直线l的距离d＝1，符合题意，若直线l的斜率存在，设其斜率为k，直线l的方程为y﹣1＝k（x+1），即kx﹣y+k+1＝0，则有d＝＝1，解可得k＝0，此时直线l的方程为y＝1，综合可得：要求直线的方程为x＝﹣1或y＝1，故选：C．8．已知平面上动点P到定点F（2，0）的距离比它到y轴的距离大2，则动点P的轨迹方程为（　　）A．y＝0B．y2＝8xC．y＝0或y2＝8xD．y2＝解：设动点P为（x，y），则﹣|x|＝2，整理可得y2＝4x+4|x|，当x＞0时，y2＝8x；当x≤0时，y2＝0，即y＝0，故选：D．9．已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的棱长为2，M、N分别为侧面ADD'A'、BCC'B'的中心，则此正方体ABCD﹣A'B'C'D'的外接球被平面BMN所截的截面面积为（　　）A．2πB．3πC．πD．π解：如图，∵M、N分别为侧面ADD'A'、BCC'B'的中心，∴平面BMN即平面ABC′D′，由对称性可知，正方体ABCD﹣A'B'C'D'的外接球的球心为MN的中点，则正方体ABCD﹣A'B'C'D'的外接球被平面BMN所截的截面为球的一个大圆面，外接球的半径为＝，则截面面积为π×．

7故选：B．10．设对于曲线f（x）＝﹣ex﹣x上任一点处的切线l1，总存在曲线g（x）＝2ax+cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是（　　）A．B．C．D．解：根据题意，f（x）＝﹣ex﹣x，其导数f′（x）＝﹣ex﹣1，有f′（x）＜﹣1，则﹣f′（x）＞1，则∈（0，1），由g（x）＝2ax+cosx，得g′（x）＝2a﹣sinx，∵﹣sinx∈[﹣1，1]，∴2a﹣sinx∈[﹣1+2a，1+2a]，要使过曲线f（x）＝ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）＝2ax+cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则有：，解得0．∴实数a的取值范围是[0，]．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上.11．有一种益智推理游戏叫“找规律填数字”，按照规律“1＝0”，“2＝3”、“3＝8”“4＝15”，“5＝24”，则“7＝　48　”．解：根据所给数据可得1＝0＝1²﹣1；2＝3＝2²﹣1；3＝8＝3²﹣1；...；n＝n²﹣1，故7＝7²﹣1＝48，故答案为：48．12．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+4y的取值范围是　[2，+∞）　．解：由约束条件作出可行域如图，

8联立，A（，），由z＝x+4y，得y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2．∴z＝x+4y的取值范围是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．13．已知直线l：x﹣y+t＝0（t≠0）与双曲线C：（a＞0，b＞0）两条渐近线分别交于A，B两点（A在第一象限，B在第二象限），若∠BAO＝30°，则该双曲线的离心率为　　．解：直线l：x﹣y+t＝0（t≠0）的斜率为1，则该直线的倾斜角为45°，又∵∠BAO＝30°，∴渐近线OA的倾斜角为45°+30°＝75°，∴＝＝，∴双曲线的离心率＝，故答案为：．14．已知函数f（x）＝ex﹣a﹣eln（ex+a），若关于x的不等式f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是　（﹣∞，0）　．解：【方法一：隐零点】f（x）＝ex﹣a﹣eln（ex+a）的定义域为，显然f′（x）在上单调递增，当时，f′（x）→﹣∞，当x→+∞时f′（x）→+∞，所以函数f′（x）在上存在唯一零点x0，f′（x0）＝0，当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调递减，当x＞x0时，f′（x）＞0，f（x）在（x0，+∞）上单调递增，所以，由题意可得f（x）min＞0，即，

9因为，所以，因为y＝ex+ex是增函数，所以x0＞2﹣x0⇔x0＞1，令g（x）＝e2﹣x﹣ex，g′（x）＝﹣e2﹣x﹣e＜0，所以g（x）在R上单调递增，所以a＝g（x0）＜g（1）＝0，故a的取值范围为（﹣∞，0）．【方法二：反函数】，因为函数和函数y＝ln（ex+a）互为反函数，因为互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称，所以恒成立，等价于，令h（x）＝ex﹣ex，h′（x）＝ex﹣e，当x＜1时，h′（x）＜0，h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）单调递增，所以h（x）min＝h（1）＝0，所以a＜0，故a的取值范围为（﹣∞，0）．【方法三：同构】f（x）＝ex﹣a﹣eln（ex+a）＞0⇔ex+ex＞ex+a+eln（ex+a）⇔ex+ex＞eln（ex+a）eln（ex+a），令p（x）＝ex+x，所以p（x）＞p（ln（ex+a）），由因为p（x）是增函数，所以x＞ln（ex+a）⇔a＜ex﹣ex，下同方法一．故答案为（﹣∞，0）．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分15．已知命题p：函数f（x）＝（a﹣3）x是R上的减函数；命题q：x2+ax+2a﹣＞0对∀x∈R都成立．若命题p和命题q中有且只有一个真命题，求实数a的取值范围．解：∵函数f（x）＝（a﹣3）x是R上的减函数，∴0＜a﹣3＜1，解得3＜a＜4，∵x2+ax+2a﹣＞0对∀x∈R都成立，

10∴△＜0，即a²﹣4（2a﹣）＜0，解得3＜a＜5，当命题p为真命题，q为假命题时，，不等式组无解，当命题p为假命题，q为真命题时，，解得4≤a＜5，∴实数a的取值范围是[4，5）．16．正三角形的一个顶点位于抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长．解：因为抛物线y2＝2px（p＞0）关于x轴对称，设等边三角形的一个顶点C位于抛物线的焦点，另外两个顶点A，B在抛物线上，所以两个顶点A，B关于x轴对称，所以设，甴于抛物线的焦点坐标为，所以等边三角形的边长为2|m|，高为，所以，解方程得，所以等边三角形的边长为．17．为了调研同学们的学习成绩与学习时长的关系，某个学习研究小组从该校高二年级随机抽取了20名学生，统计他们每天学习数学所用的大致时间，以1小时为分界线，恰好各占一半．其中，每天学习数学时间少于1小时的记为A组，达到1小时及以上的记为B组，并把两组同学的数学成绩以茎叶图形式呈现，如图：（1）分别求出A，B两组同学的平均分及中位数；（2）若规定：不低于90分为优秀，不低于75分为达标，75分以下为未达标，根据成绩：①完成如下列联表：达标未达标合计

11A组B组10合计20②判断是否有95%的把握认为“数学成绩达标与否”与“学习时长达到1小时”有关？（3）为了进一步进行研究，若从A，B两组达标的同学中各随机抽取1人，求至少有1人成绩达到优秀的概率．参考公式及数据：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）＝×（65+68+73+74+75+80+85+86+95+99）＝80，A组的中位数为＝77.5，＝×（67+75+77+85+85+88+89+90+95+99）＝85，B组的中位数为＝86.5；（2）①列联表如下：达标未达标合计A组6410B组9110合计15520②K2＝＝2.4＜3.841，故没有95%的把握认为“数学成绩达标与否”与“学习时长达到1小时”有关；（3）A，B两组达标的同学分别有6人，9人，达到优秀的同学分别有2人，3人；至少有1人成绩达到优秀的概率P＝×+×+×＝．18．已知函数f（x）＝x2+alnx，a∈R．（1）当a＝﹣4时，求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）＝f（x）+在[1，e]为单调减函数，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝﹣4时，f（x）＝x2+4lnx，x∈（0，+∞），f′（x）＝2x﹣＝，令f′（x）＞0，得x＞；令f′（x）＜0，得0＜x＜．所以f（x）的单调递增区间是（，+∞），f（x）的单调递减区间是（0，）．

12（2）g（x）＝x2+alnx+，g′（x）＝2x+﹣，若g（x）＝f（x）+在[1，e]为单调减函数，则g′（x）≤0在[1，e]恒成立，即a≤﹣2x²在[1，e]恒成立，设h（x）＝﹣2x²，因为h（x）在[1，e]上单调递减，所以h（x）min＝h（e）＝﹣2e²，所以a≤﹣2e²，即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2e²]．19．已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的离心率为e＝，点在椭圆上．（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E的右焦点F作互相垂直的两条直线l1，l2，其中直线l1交椭圆于M，N两点．直线l2交椭圆于P，Q，求M，N，P，Q这四点围成的四边形的面积的取值范围．解：（1）因为椭圆的离心率为e＝，点在椭圆上，所以，解得a2＝4，b2＝3，c2＝1，所以椭圆的方程为+＝1．（2）由（1）知椭圆E的右焦点F（1，0），①当l1的斜率不存在或为0时，l1，l2两条直线有一条为椭圆的对称轴，过F且垂直于x轴的直线交椭圆于两点（1，），（1，﹣），所以四边形MPNQ的面积S＝×2a×[﹣（﹣）]＝6．②当l1的斜率存在且不为0时，

13设直线l1的方程为y＝k（x﹣1），则l2的方程为y＝﹣（x﹣1），联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，所以|MN|＝＝＝，同理可得|PQ|＝，所以S四边形MPNQ＝•|MN|•|PQ|＝••＝72•＝6•＝6•＝6•（1﹣）＝6﹣6•≥6﹣6•＝，（当且仅当k＝±1时，取“＝”），且S四边形MPNQ＜6，综上所述，M，N，P，Q这四点围成的四边形的面积的取值范围为[，6）．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

1420．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，过点P（2，）作倾斜角为α的直线l与交于M，N两点．（1）写出l的参数方程及C的直角坐标方程；（2）求的取值范围．解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）．消去参数转换为直角坐标方程为x2+y2＝2，点P（2，）转换为直角坐标为（），过点P（2，）作倾斜角为α的直线l的参数方程为（t为参数），（2）把直线的参数方程（t为参数），代入x2+y2＝2，得到：，化简得：，所以，t1t2＝2，直线l与交于M，N两点，所以，故．[选修4-5：不等式选讲]21．已知a，b为正数，函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|的值域为[1﹣c，+∞）．（1）若c＝﹣1，证明：a+b≥2ab；（2）若c＞0，证明：．【解答】证明：（1）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|（x﹣a）﹣（x+b）|＝|a+b|，因为a＞0，b＞0，f（x）的值域为[2，+∞），则有a+b＝2．因为（当且仅当a＝b时取等号），所以a+b≥2ab．（2）由题意可知a+b＝1﹣c，即a+b+c＝1，

15，根据基本不等式可知，同理，，则有，当且仅当a＝b＝c时等号成立，即．