江西省新余市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文科）Word版含解析

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2020-2021学年江西省新余市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分）.1．已知集合A＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B＝（　　）A．{x|﹣1≤x＜4}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|﹣1≤x≤3}D．{x|0≤x≤3}2．下列命题中正确的是（　　）A．命题“若x2﹣x＝0，则x＝0或x＝1”的否命题为“若x2﹣x＝0，则x≠0且x≠1”B．命题p：∃x＞0，sinx＞2x﹣1，则¬p为∀x＞0，sinx≤2x﹣1C．“a＞b”是的充分不必要条件D．方程mx2+ny2＝1（m，n是常数）表示双曲线的充要条件是m•n＞03．已知x，y∈R，则“x＝y”是“lnx＝lny”的（　　）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件4．下列函数的求导正确的是（　　）A．（x﹣2）′＝﹣2xB．（sinx）′＝﹣cosxC．D．5．曲线y＝x3﹣ex﹣1在点（1，0）处的切线的斜率为（　　）A．0B．1C．2D．36．若椭圆的离心率为，则m＝（　　）A．B．C．D．或7．已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，若f（t+3）+f（t﹣t2）＞0成立，则实数t的取值范围为（　　）A．（0，1）B．（﹣1，3）C．（﹣1，1）D．（0，3）8．已知椭圆C：+＝1，过点P（1，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB中点，则直线l斜率是（　　）A．﹣3B．﹣C．﹣D．﹣9．已知定义在R上的奇函数f（x）的部分图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则（　　）

1A．f（2）＝﹣1B．f（1）•f（2）＜4C．f′（1）•f′（2）＜0D．方程f′（x）＝0无解10．已知动点M的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（　　）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆11．双曲线的右焦点为F（4，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（　　）A．4B．2C．D．12．若函数f（x）＝（x﹣a）lnx﹣ax2+a2x恰有3个零点，则a的取值范围是（　　）A．B．C．（0，1）D．（﹣∞，1）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．f（x）＝x3+2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，则m的取值范围为　　．14．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则|PF|+|PM|的最小值是　　．15．若函数f（x）＝在[﹣2，2]上的极小值为1，则非零实数a的取值范围是　　．16．已知椭圆C：（3＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若|OF1|＝|OA|，△OF1A的面积为2，则|PF2|＝　　．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知命题p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），命题q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3．（1）当a＝1时，命题p，q均为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”A系列进行市场销售量调研，随机选择了一个商场进行调研，通过对该品牌的A系列一个阶段的调研得知，发现A

2系列每日的销售量f（x）（单位：千克）与销售价格x（元/千克）近似满足关系式，其中4＜x＜7，a为常数．已知销售价格为6元/千克时，每日可售出A系列15千克．（1）求函数f（x）的解析式．（2）若A系列的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使该商场每日销售A系列所获得的利润最大．19．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，M（1，t）为抛物线C上的点，且．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线y＝x﹣2与抛物线C相交于A，B两点，求弦长|AB|．20．已知函数f（x）＝x+alnx+1．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为﹣a+1，求实数a的值．21．已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．请考生在第22､第23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分.22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l过点与直线垂直曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）若1与曲线C交于点A，B，求的值．23．已知a＞0，b＞0，c＞0函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c．（1）当a＝b＝c＝1时，求不等式f（x）＞5的解集；

3（2）若f（x）的最小值为5时，求a+b+c的值，并求的最小值．

4参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分）.1．已知集合A＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B＝（　　）A．{x|﹣1≤x＜4}B．{x|﹣1≤x≤0}C．{x|﹣1≤x≤3}D．{x|0≤x≤3}解：∵A＝{x|0≤x＜4}，B＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|0≤x≤3}．故选：D．2．下列命题中正确的是（　　）A．命题“若x2﹣x＝0，则x＝0或x＝1”的否命题为“若x2﹣x＝0，则x≠0且x≠1”B．命题p：∃x＞0，sinx＞2x﹣1，则¬p为∀x＞0，sinx≤2x﹣1C．“a＞b”是的充分不必要条件D．方程mx2+ny2＝1（m，n是常数）表示双曲线的充要条件是m•n＞0解：命题“若x2﹣x＝0，则x＝0或x＝1”的否命题为“若x2﹣x≠0，则x≠0且x≠1”，所以A不正确；命题p：∃x＞0，sinx＞2x﹣1，则¬p为∀x＞0，sinx≤2x﹣1，满足命题的否定形式，所以B正确；“a＞b”推不出，反之不成立，所以“a＞b”是的既不充分也不必要条件，所以C不正确；方程mx2+ny2＝1（m，n是常数）表示双曲线的充要条件是m•n＜0，所以D不正确．故选：B．3．已知x，y∈R，则“x＝y”是“lnx＝lny”的（　　）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件解：∵x，y∈R，∴x＝y＜0时，不能推出lnx＝lny，lnx＝lny⇔x＝y＞0，故由lnx＝lny，可得x＝y，故x，y∈R，则“x＝y”是“lnx＝lny”的必要非充分条件．故选：B．4．下列函数的求导正确的是（　　）A．（x﹣2）′＝﹣2xB．（sinx）′＝﹣cosx

5C．D．解：根据题意，依次分析选项：对于A，（x﹣2）′＝﹣2x﹣3＝，A错误；对于B，（sinx）′＝cosx，B错误；对于C，（ex+ln3）′＝（ex）′+（ln3）′＝ex，C错误；对于D，（lnx2）′＝，D正确；故选：D．5．曲线y＝x3﹣ex﹣1在点（1，0）处的切线的斜率为（　　）A．0B．1C．2D．3解：y＝x3﹣ex﹣1的导数为：y′＝3x2﹣ex﹣1，将点坐标代入，即可得斜率为：y′|x＝1＝3﹣2＝2．故选：C．6．若椭圆的离心率为，则m＝（　　）A．B．C．D．或解：椭圆的离心率为，可得焦点坐标在x轴时，或焦点坐标在y轴时，，解得m＝或．故选：D．7．已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x，若f（t+3）+f（t﹣t2）＞0成立，则实数t的取值范围为（　　）A．（0，1）B．（﹣1，3）C．（﹣1，1）D．（0，3）解：函数f（x）＝ex﹣e﹣x﹣2x的定义域为R，且f（﹣x）+f（x）＝e﹣x﹣ex+2x+ex﹣e﹣x﹣2x＝0，故函数f（x）是R上的奇函数，∴f（t+3）+f（t﹣t2）＞0可化为f（t﹣t2）＞f（﹣t﹣3），又∵f′（x）＝ex+e﹣x﹣2≥0，∴函数f（x）是R上的增函数，∴t﹣t2＞﹣t﹣3，解得﹣1＜t＜3，故选：B．

68．已知椭圆C：+＝1，过点P（1，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB中点，则直线l斜率是（　　）A．﹣3B．﹣C．﹣D．﹣解：设A，B点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由A，B在椭圆上，则①，②，①﹣②得：，由AB的中点坐标为P（1，1），即＝1，＝1，∴＝﹣，∴直线AB的斜率k＝﹣，故选：C．9．已知定义在R上的奇函数f（x）的部分图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则（　　）A．f（2）＝﹣1B．f（1）•f（2）＜4C．f′（1）•f′（2）＜0D．方程f′（x）＝0无解解：根据题意，依次分析选项：对于A，f（x）为奇函数，且f（﹣2）＞2，则f（2）＝﹣f（﹣2）＜﹣2，A错误；对于B，f（x）为奇函数，且f（﹣1）＝2，则f（1）＝﹣2，则有f（1）f（2）＞4，B错误；对于C，由所给的函数f（x）的图象，可得f'（﹣1）＜0，f'（﹣2）＞0，必有f'（﹣1）•f'（﹣2）＜0，C正确；对于D，由C的结论f'（﹣1）•f'（﹣2）＜0，则必定存在x0∈（﹣2，﹣1），使得f'（x0）＝0，即f′（x）＝0一定有解，D错误；故选：C．

710．已知动点M的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（　　）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解答】解方程，此式表示的是动点M（x，y）到定点（0，0）与定直线3x+4y﹣12＝0的距离相等且定点不在定直线上，根据抛物线的定义可知：动点的轨迹是以定点为焦点，定直线为准线的一条抛物线．故选：C．11．双曲线的右焦点为F（4，0），设A、B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为（　　）A．4B．2C．D．解：根据题意，设A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），∵AF的中点为M，BF的中点为N，∴M（（x1+4），y1），N（（﹣x1+4），﹣y1），∵原点O在以线段MN为直径的圆上，∴∠NOM＝90°，可得•＝（16﹣x12）﹣y12＝0，…①又∵点A在双曲线上，且直线AB的斜率为，∴，…②由①②联解消去x1、y1，得﹣＝，…③又∵F（4，0）是双曲线的右焦点，可得b2＝c2﹣a2＝16﹣a2，∴代入③，化简整理得a4﹣32a2+7×16＝0，解之得a2＝4或28，由于a2＜c2＝16，所以a2＝28不合题意，舍去，故a2＝1，得a＝1，离心率e＝＝4，故选：A．12．若函数f（x）＝（x﹣a）lnx﹣ax2+a2x恰有3个零点，则a的取值范围是（　　）A．B．C．（0，1）D．（﹣∞，1）

8解：f（x）＝（x﹣a）lnx﹣ax2+a2x＝（x﹣a）（lnx﹣ax）＝0，令f（x）＝0，得x＝a或＝a，令g（x）＝，则g′（x）＝，条件等价于函数g（x）与y＝a图象有2个交点，当x∈（0，e）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）在x＝e时取极大值也是最大值g（e）＝，则要想满足条件，则需a∈（0，），故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．f（x）＝x3+2x2+mx+1在（﹣∞，+∞）上单调递增，则m的取值范围为　[，+∞）　．解：∵f（x）＝x3+2x2+mx+1，∴f′（x）＝3x2+4x+m，若f（x）在R递增，则f′（x）≥0在R恒成立，故△＝16﹣12m≤0，解得：m≥，故m的取值范围是[，+∞），故答案为：[，+∞）．14．已知F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，M（﹣4，3），则|PF|+|PM|的最小值是　　．解：由抛物线的方程可得抛物线的焦点F（0，2），由题意可得M在抛物线的外部，连接MF，交抛物线于P，则|PF|+|PM|≥|MF|＝＝，故答案为：．

915．若函数f（x）＝在[﹣2，2]上的极小值为1，则非零实数a的取值范围是　（0，+∞）　．解：x≤0时，f（x）＝2x3+3x2+1，f′（x）＝6x2+6x＝6x（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜﹣1，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜0，故f（x）在[﹣2，﹣1）递增，在（﹣1，0）递减，x＝﹣1是极大值点，若f（x）在[﹣2，2]上有极小值1，则f（x）在（0，2]递增，故a＞0，此时满足f（x）的极小值是f（0）＝1，符合题意，故a的取值范围是（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．16．已知椭圆C：（3＞b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是椭圆上一点，延长PF2与椭圆交于点A，若|OF1|＝|OA|，△OF1A的面积为2，则|PF2|＝　1或　．解：因为|OF1|＝|OA|，所以∠F1AF2＝90°，故△OF1A的面积为，则|AF1|•|AF2|＝8，由椭圆的定理可知，|AF1|+|AF2|＝2a＝6，所以或，设|PF2|＝n，则|PF1|＝6﹣n，当时，由勾股定理可得，则22+（4+n）2＝（6﹣n）2，解得n＝；当时，由勾股定理可得42+（2+n）2＝（6﹣n）2，解得n＝1．

10综上所述，|PF2|＝1或．故答案为：1或．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知命题p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），命题q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3．（1）当a＝1时，命题p，q均为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：∵p：实数x满足不等式（x﹣a）（x﹣3a）＜0（a＞0），∴a＜x＜3a，∵命题q：实数x满足不等式|x﹣5|＜3，即2＜x＜8，（1）当a＝1时，p：∴1＜x＜3，∵命题p，q均为真命题，∴1＜x＜3且2＜x＜8，则实数x的取值范围为（2，3）．（2）∵p是q的充分不必要条件，∴{x|a＜x＜3a}⊆{x|2＜x＜8}，∴a≥2且3a≤8，解得，经检验得a＝2或a＝符合题意，故a的取值范围为．18．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”A系列进行市场销售量调研，随机选择了一个商场进行调研，通过对该品牌的A系列一个阶段的调研得知，发现A系列每日的销售量f（x）（单位：千克）与销售价格x（元/千克）近似满足关系式，其中4＜x＜7，a为常数．已知销售价格为6元/千克时，每日可售出A系列15千克．（1）求函数f（x）的解析式．（2）若A系列的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使该商场每日销售A系列所获得的利润最大．

11解：（1）由题意可知，当x＝6时，f（x）＝5，即+10＝15，解得a＝10，∴f（x）＝+10（x﹣7）2，（4＜x＜7）（2）商场每日销售A系列所获得的利润为h（x），则h（x）＝（x﹣4）[+10（x﹣7）2]＝10x3﹣180x2+1050x﹣1950，（4＜x＜7），即h′（x）＝30x2﹣360x+1050，令h′（x）＝30x2﹣360x+1050＝0，解得x＝5或x＝7（舍去），∴当4＜x＜5时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，当5＜x＜7时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，∴当x＝5时，函数h（x）在区间（4，7）内取的极大值点，也是最大值点，∴h（x）max＝h（5）＝50，∴当售价格5元/千克时，该商场每日销售A系列所获得的利润最大．19．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，M（1，t）为抛物线C上的点，且．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线y＝x﹣2与抛物线C相交于A，B两点，求弦长|AB|．解：（1）∵M（1，t）在抛物线C：y2＝2px上，且|MF|＝，∴|MF|＝，则p＝1，故抛物线C的方程为y2＝2x；（2）联立，可得x2﹣6x+4＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2＝6，x1x2＝4，∴|AB|＝＝＝．20．已知函数f（x）＝x+alnx+1．（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为﹣a+1，求实数a的值．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，

12当a≥0时，f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值；当a＜0时，令f'（x）＞0，解得x＞﹣a，令f'（x）＜0，解得x＜﹣a，所以f（x）的单调递增区间为（﹣a，+∞），单调递减区间为（0，﹣a），此时f（x）有极小值f（﹣a）＝﹣a+aln（﹣a）+1，无极大值；…………………（2）x∈[1，e]，由f'（x）＝0得x＝﹣a，①若a≥﹣1，则x+a≥0，即f'（x）≥0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为增函数，∴f（x）min＝f（1）＝﹣a+1，即2＝﹣a+1，则a＝﹣1，符合条件．②若a≤﹣e，则x+a≤0，即f'（x）≤0在[1，e]上恒成立，此时f（x）在[1，e]上为减函数，∴f（x）min＝f（e）＝﹣a+1，即e+a+1＝﹣a+1，则a＝，不符合条件．③若﹣e＜a＜﹣1，当1＜x＜﹣a时，f'（x）＜0，∴f（x）在（1，﹣a）上为减函数；当﹣a＜x＜e时，f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣a，e）上为增函数，∴f（x）min＝f（﹣a）＝﹣a+1，即﹣a+aln（﹣a）+1＝﹣a+1，则a＝0或a＝﹣1，均不符合条件．综上所述，a＝﹣1．…………………21．已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．解：（1）∵椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，

13∴，解得a＝2，b＝1，∴椭圆C的方程为．证明：（2）∵椭圆C的方程为＝1，∴A（﹣2，0），B（0，﹣1），设M（m，n），（m＞0，n＞0），则＝1，即m2+4n2＝4，则直线BM的方程为y＝，令y＝0，得，同理，直线AM的方程为y＝，令x＝0，得，∴×|+2|×||＝＝＝＝2，∴四边形ABCD的面积为定值2．请考生在第22､第23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分.22．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l过点与直线垂直曲线C的极坐标方程为．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的普通方程；（Ⅱ）若1与曲线C交于点A，B，求的值．解：（Ⅰ）因为点在直角坐标系中为（0，2），直线在直角坐标系中为，所以直线l的方程为，所以曲线C的普通方程为y＝4x2．因为，即，所以y＝4x2（x≠0）．（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），

14代入y＝4x2得，，则，t1t2＝﹣2，．23．已知a＞0，b＞0，c＞0函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c．（1）当a＝b＝c＝1时，求不等式f（x）＞5的解集；（2）若f（x）的最小值为5时，求a+b+c的值，并求的最小值．解：（1）当a＝b＝c＝1时，不等式f（x）＞5即|x+1|+|x﹣1|+1＞5，化为：|x+1|+|x﹣1|＞4．①x≥1时，化为：x+1+x﹣1＞4，解得x＞2．②﹣1＜x＜1时，化为：x+1﹣（x﹣1）＞4，化为：0＞2，解得x∈∅．③x≤﹣1时，化为：﹣（x+1）﹣（x﹣1）＞4，化为：x＜﹣2．综上可得：不等式f（x）＞5的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（2）不妨设a≥b＞0．①x＞b时，f（x）＝x+a+x﹣b+c＝2x+a﹣b+c，②﹣a≤x≤b时，f（x）＝a+x﹣（x﹣b）+c＝a+b+c，③x＜﹣a时，f（x）＝﹣（a+x）+b﹣x+c＝﹣2x﹣a+b+c．可知：﹣a≤x≤b时，f（x）取得最小值a+b+c＝5．∴＝（a+b+c）≥×＝，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．∴的最小值为．