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2020-2021学年江西省新余市高二(下)期末数学试卷(文科)一、选择题(共12小题,每小题5分).1.已知集合A={x|0≤x<4},B={x|x2﹣2x﹣3≤0},则A∩B=( )A.{x|﹣1≤x<4}B.{x|﹣1≤x≤0}C.{x|﹣1≤x≤3}D.{x|0≤x≤3}2.下列命题中正确的是( )A.命题“若x2﹣x=0,则x=0或x=1”的否命题为“若x2﹣x=0,则x≠0且x≠1”B.命题p:∃x>0,sinx>2x﹣1,则¬p为∀x>0,sinx≤2x﹣1C.“a>b”是的充分不必要条件D.方程mx2+ny2=1(m,n是常数)表示双曲线的充要条件是m•n>03.已知x,y∈R,则“x=y”是“lnx=lny”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件4.下列函数的求导正确的是( )A.(x﹣2)′=﹣2xB.(sinx)′=﹣cosxC.D.5.曲线y=x3﹣ex﹣1在点(1,0)处的切线的斜率为( )A.0B.1C.2D.36.若椭圆的离心率为,则m=( )A.B.C.D.或7.已知函数f(x)=ex﹣e﹣x﹣2x,若f(t+3)+f(t﹣t2)>0成立,则实数t的取值范围为( )A.(0,1)B.(﹣1,3)C.(﹣1,1)D.(0,3)8.已知椭圆C:+=1,过点P(1,1)的直线l与椭圆C交于A,B两点,若点P恰为弦AB中点,则直线l斜率是( )A.﹣3B.﹣C.﹣D.﹣9.已知定义在R上的奇函数f(x)的部分图象如图所示,f′(x)是f(x)的导函数,则( )
1A.f(2)=﹣1B.f(1)•f(2)<4C.f′(1)•f′(2)<0D.方程f′(x)=0无解10.已知动点M的坐标满足方程,则动点M的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆11.双曲线的右焦点为F(4,0),设A、B为双曲线上关于原点对称的两点,AF的中点为M,BF的中点为N,若原点O在以线段MN为直径的圆上,直线AB的斜率为,则双曲线的离心率为( )A.4B.2C.D.12.若函数f(x)=(x﹣a)lnx﹣ax2+a2x恰有3个零点,则a的取值范围是( )A.B.C.(0,1)D.(﹣∞,1)二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.f(x)=x3+2x2+mx+1在(﹣∞,+∞)上单调递增,则m的取值范围为 .14.已知F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,M(﹣4,3),则|PF|+|PM|的最小值是 .15.若函数f(x)=在[﹣2,2]上的极小值为1,则非零实数a的取值范围是 .16.已知椭圆C:(3>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,P是椭圆上一点,延长PF2与椭圆交于点A,若|OF1|=|OA|,△OF1A的面积为2,则|PF2|= .三、解答题(共5小题,满分60分)17.已知命题p:实数x满足不等式(x﹣a)(x﹣3a)<0(a>0),命题q:实数x满足不等式|x﹣5|<3.(1)当a=1时,命题p,q均为真命题,求实数x的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.18.某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动,决定对某“著名品牌”A系列进行市场销售量调研,随机选择了一个商场进行调研,通过对该品牌的A系列一个阶段的调研得知,发现A
2系列每日的销售量f(x)(单位:千克)与销售价格x(元/千克)近似满足关系式,其中4<x<7,a为常数.已知销售价格为6元/千克时,每日可售出A系列15千克.(1)求函数f(x)的解析式.(2)若A系列的成本为4元/千克,试确定销售价格x的值,使该商场每日销售A系列所获得的利润最大.19.已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,M(1,t)为抛物线C上的点,且.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线y=x﹣2与抛物线C相交于A,B两点,求弦长|AB|.20.已知函数f(x)=x+alnx+1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为﹣a+1,求实数a的值.21.已知椭圆的离心率为,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点,A,B分别为椭圆的左顶点和下顶点,直线MB与x轴交于点C,直线MA与轴交于点D,求证:四边形ABCD的面积为定值.请考生在第22、第23二题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做第一个题目计分.22.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l过点与直线垂直曲线C的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的普通方程;(Ⅱ)若1与曲线C交于点A,B,求的值.23.已知a>0,b>0,c>0函数f(x)=|x+a|+|x﹣b|+c.(1)当a=b=c=1时,求不等式f(x)>5的解集;
3(2)若f(x)的最小值为5时,求a+b+c的值,并求的最小值.
4参考答案一、选择题(共12小题,每小题5分).1.已知集合A={x|0≤x<4},B={x|x2﹣2x﹣3≤0},则A∩B=( )A.{x|﹣1≤x<4}B.{x|﹣1≤x≤0}C.{x|﹣1≤x≤3}D.{x|0≤x≤3}解:∵A={x|0≤x<4},B={x|﹣1≤x≤3},∴A∩B={x|0≤x≤3}.故选:D.2.下列命题中正确的是( )A.命题“若x2﹣x=0,则x=0或x=1”的否命题为“若x2﹣x=0,则x≠0且x≠1”B.命题p:∃x>0,sinx>2x﹣1,则¬p为∀x>0,sinx≤2x﹣1C.“a>b”是的充分不必要条件D.方程mx2+ny2=1(m,n是常数)表示双曲线的充要条件是m•n>0解:命题“若x2﹣x=0,则x=0或x=1”的否命题为“若x2﹣x≠0,则x≠0且x≠1”,所以A不正确;命题p:∃x>0,sinx>2x﹣1,则¬p为∀x>0,sinx≤2x﹣1,满足命题的否定形式,所以B正确;“a>b”推不出,反之不成立,所以“a>b”是的既不充分也不必要条件,所以C不正确;方程mx2+ny2=1(m,n是常数)表示双曲线的充要条件是m•n<0,所以D不正确.故选:B.3.已知x,y∈R,则“x=y”是“lnx=lny”的( )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件解:∵x,y∈R,∴x=y<0时,不能推出lnx=lny,lnx=lny⇔x=y>0,故由lnx=lny,可得x=y,故x,y∈R,则“x=y”是“lnx=lny”的必要非充分条件.故选:B.4.下列函数的求导正确的是( )A.(x﹣2)′=﹣2xB.(sinx)′=﹣cosx
5C.D.解:根据题意,依次分析选项:对于A,(x﹣2)′=﹣2x﹣3=,A错误;对于B,(sinx)′=cosx,B错误;对于C,(ex+ln3)′=(ex)′+(ln3)′=ex,C错误;对于D,(lnx2)′=,D正确;故选:D.5.曲线y=x3﹣ex﹣1在点(1,0)处的切线的斜率为( )A.0B.1C.2D.3解:y=x3﹣ex﹣1的导数为:y′=3x2﹣ex﹣1,将点坐标代入,即可得斜率为:y′|x=1=3﹣2=2.故选:C.6.若椭圆的离心率为,则m=( )A.B.C.D.或解:椭圆的离心率为,可得焦点坐标在x轴时,或焦点坐标在y轴时,,解得m=或.故选:D.7.已知函数f(x)=ex﹣e﹣x﹣2x,若f(t+3)+f(t﹣t2)>0成立,则实数t的取值范围为( )A.(0,1)B.(﹣1,3)C.(﹣1,1)D.(0,3)解:函数f(x)=ex﹣e﹣x﹣2x的定义域为R,且f(﹣x)+f(x)=e﹣x﹣ex+2x+ex﹣e﹣x﹣2x=0,故函数f(x)是R上的奇函数,∴f(t+3)+f(t﹣t2)>0可化为f(t﹣t2)>f(﹣t﹣3),又∵f′(x)=ex+e﹣x﹣2≥0,∴函数f(x)是R上的增函数,∴t﹣t2>﹣t﹣3,解得﹣1<t<3,故选:B.
68.已知椭圆C:+=1,过点P(1,1)的直线l与椭圆C交于A,B两点,若点P恰为弦AB中点,则直线l斜率是( )A.﹣3B.﹣C.﹣D.﹣解:设A,B点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B在椭圆上,则①,②,①﹣②得:,由AB的中点坐标为P(1,1),即=1,=1,∴=﹣,∴直线AB的斜率k=﹣,故选:C.9.已知定义在R上的奇函数f(x)的部分图象如图所示,f′(x)是f(x)的导函数,则( )A.f(2)=﹣1B.f(1)•f(2)<4C.f′(1)•f′(2)<0D.方程f′(x)=0无解解:根据题意,依次分析选项:对于A,f(x)为奇函数,且f(﹣2)>2,则f(2)=﹣f(﹣2)<﹣2,A错误;对于B,f(x)为奇函数,且f(﹣1)=2,则f(1)=﹣2,则有f(1)f(2)>4,B错误;对于C,由所给的函数f(x)的图象,可得f'(﹣1)<0,f'(﹣2)>0,必有f'(﹣1)•f'(﹣2)<0,C正确;对于D,由C的结论f'(﹣1)•f'(﹣2)<0,则必定存在x0∈(﹣2,﹣1),使得f'(x0)=0,即f′(x)=0一定有解,D错误;故选:C.
710.已知动点M的坐标满足方程,则动点M的轨迹是( )A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【解答】解方程,此式表示的是动点M(x,y)到定点(0,0)与定直线3x+4y﹣12=0的距离相等且定点不在定直线上,根据抛物线的定义可知:动点的轨迹是以定点为焦点,定直线为准线的一条抛物线.故选:C.11.双曲线的右焦点为F(4,0),设A、B为双曲线上关于原点对称的两点,AF的中点为M,BF的中点为N,若原点O在以线段MN为直径的圆上,直线AB的斜率为,则双曲线的离心率为( )A.4B.2C.D.解:根据题意,设A(x1,y1),则B(﹣x1,﹣y1),∵AF的中点为M,BF的中点为N,∴M((x1+4),y1),N((﹣x1+4),﹣y1),∵原点O在以线段MN为直径的圆上,∴∠NOM=90°,可得•=(16﹣x12)﹣y12=0,…①又∵点A在双曲线上,且直线AB的斜率为,∴,…②由①②联解消去x1、y1,得﹣=,…③又∵F(4,0)是双曲线的右焦点,可得b2=c2﹣a2=16﹣a2,∴代入③,化简整理得a4﹣32a2+7×16=0,解之得a2=4或28,由于a2<c2=16,所以a2=28不合题意,舍去,故a2=1,得a=1,离心率e==4,故选:A.12.若函数f(x)=(x﹣a)lnx﹣ax2+a2x恰有3个零点,则a的取值范围是( )A.B.C.(0,1)D.(﹣∞,1)
8解:f(x)=(x﹣a)lnx﹣ax2+a2x=(x﹣a)(lnx﹣ax)=0,令f(x)=0,得x=a或=a,令g(x)=,则g′(x)=,条件等价于函数g(x)与y=a图象有2个交点,当x∈(0,e)时,g′(x)>0,g(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减.所以g(x)在x=e时取极大值也是最大值g(e)=,则要想满足条件,则需a∈(0,),故选:A.二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.f(x)=x3+2x2+mx+1在(﹣∞,+∞)上单调递增,则m的取值范围为 [,+∞) .解:∵f(x)=x3+2x2+mx+1,∴f′(x)=3x2+4x+m,若f(x)在R递增,则f′(x)≥0在R恒成立,故△=16﹣12m≤0,解得:m≥,故m的取值范围是[,+∞),故答案为:[,+∞).14.已知F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,M(﹣4,3),则|PF|+|PM|的最小值是 .解:由抛物线的方程可得抛物线的焦点F(0,2),由题意可得M在抛物线的外部,连接MF,交抛物线于P,则|PF|+|PM|≥|MF|==,故答案为:.
915.若函数f(x)=在[﹣2,2]上的极小值为1,则非零实数a的取值范围是 (0,+∞) .解:x≤0时,f(x)=2x3+3x2+1,f′(x)=6x2+6x=6x(x+1),令f′(x)>0,解得:x>0或x<﹣1,令f′(x)<0,解得:﹣1<x<0,故f(x)在[﹣2,﹣1)递增,在(﹣1,0)递减,x=﹣1是极大值点,若f(x)在[﹣2,2]上有极小值1,则f(x)在(0,2]递增,故a>0,此时满足f(x)的极小值是f(0)=1,符合题意,故a的取值范围是(0,+∞),故答案为:(0,+∞).16.已知椭圆C:(3>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,P是椭圆上一点,延长PF2与椭圆交于点A,若|OF1|=|OA|,△OF1A的面积为2,则|PF2|= 1或 .解:因为|OF1|=|OA|,所以∠F1AF2=90°,故△OF1A的面积为,则|AF1|•|AF2|=8,由椭圆的定理可知,|AF1|+|AF2|=2a=6,所以或,设|PF2|=n,则|PF1|=6﹣n,当时,由勾股定理可得,则22+(4+n)2=(6﹣n)2,解得n=;当时,由勾股定理可得42+(2+n)2=(6﹣n)2,解得n=1.
10综上所述,|PF2|=1或.故答案为:1或.三、解答题(共5小题,满分60分)17.已知命题p:实数x满足不等式(x﹣a)(x﹣3a)<0(a>0),命题q:实数x满足不等式|x﹣5|<3.(1)当a=1时,命题p,q均为真命题,求实数x的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.解:∵p:实数x满足不等式(x﹣a)(x﹣3a)<0(a>0),∴a<x<3a,∵命题q:实数x满足不等式|x﹣5|<3,即2<x<8,(1)当a=1时,p:∴1<x<3,∵命题p,q均为真命题,∴1<x<3且2<x<8,则实数x的取值范围为(2,3).(2)∵p是q的充分不必要条件,∴{x|a<x<3a}⊆{x|2<x<8},∴a≥2且3a≤8,解得,经检验得a=2或a=符合题意,故a的取值范围为.18.某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动,决定对某“著名品牌”A系列进行市场销售量调研,随机选择了一个商场进行调研,通过对该品牌的A系列一个阶段的调研得知,发现A系列每日的销售量f(x)(单位:千克)与销售价格x(元/千克)近似满足关系式,其中4<x<7,a为常数.已知销售价格为6元/千克时,每日可售出A系列15千克.(1)求函数f(x)的解析式.(2)若A系列的成本为4元/千克,试确定销售价格x的值,使该商场每日销售A系列所获得的利润最大.
11解:(1)由题意可知,当x=6时,f(x)=5,即+10=15,解得a=10,∴f(x)=+10(x﹣7)2,(4<x<7)(2)商场每日销售A系列所获得的利润为h(x),则h(x)=(x﹣4)[+10(x﹣7)2]=10x3﹣180x2+1050x﹣1950,(4<x<7),即h′(x)=30x2﹣360x+1050,令h′(x)=30x2﹣360x+1050=0,解得x=5或x=7(舍去),∴当4<x<5时,h′(x)>0,函数h(x)单调递增,当5<x<7时,h′(x)<0,函数h(x)单调递减,∴当x=5时,函数h(x)在区间(4,7)内取的极大值点,也是最大值点,∴h(x)max=h(5)=50,∴当售价格5元/千克时,该商场每日销售A系列所获得的利润最大.19.已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,M(1,t)为抛物线C上的点,且.(1)求抛物线C的方程;(2)若直线y=x﹣2与抛物线C相交于A,B两点,求弦长|AB|.解:(1)∵M(1,t)在抛物线C:y2=2px上,且|MF|=,∴|MF|=,则p=1,故抛物线C的方程为y2=2x;(2)联立,可得x2﹣6x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1+x2=6,x1x2=4,∴|AB|===.20.已知函数f(x)=x+alnx+1.(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为﹣a+1,求实数a的值.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),,
12当a≥0时,f'(x)>0恒成立,f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值;当a<0时,令f'(x)>0,解得x>﹣a,令f'(x)<0,解得x<﹣a,所以f(x)的单调递增区间为(﹣a,+∞),单调递减区间为(0,﹣a),此时f(x)有极小值f(﹣a)=﹣a+aln(﹣a)+1,无极大值;…………………(2)x∈[1,e],由f'(x)=0得x=﹣a,①若a≥﹣1,则x+a≥0,即f'(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,∴f(x)min=f(1)=﹣a+1,即2=﹣a+1,则a=﹣1,符合条件.②若a≤﹣e,则x+a≤0,即f'(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,∴f(x)min=f(e)=﹣a+1,即e+a+1=﹣a+1,则a=,不符合条件.③若﹣e<a<﹣1,当1<x<﹣a时,f'(x)<0,∴f(x)在(1,﹣a)上为减函数;当﹣a<x<e时,f'(x)>0,∴f(x)在(﹣a,e)上为增函数,∴f(x)min=f(﹣a)=﹣a+1,即﹣a+aln(﹣a)+1=﹣a+1,则a=0或a=﹣1,均不符合条件.综上所述,a=﹣1.…………………21.已知椭圆的离心率为,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1.(1)求椭圆C的方程;(2)设点M为椭圆上位于第一象限内一动点,A,B分别为椭圆的左顶点和下顶点,直线MB与x轴交于点C,直线MA与轴交于点D,求证:四边形ABCD的面积为定值.解:(1)∵椭圆的离心率为,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1,
13∴,解得a=2,b=1,∴椭圆C的方程为.证明:(2)∵椭圆C的方程为=1,∴A(﹣2,0),B(0,﹣1),设M(m,n),(m>0,n>0),则=1,即m2+4n2=4,则直线BM的方程为y=,令y=0,得,同理,直线AM的方程为y=,令x=0,得,∴×|+2|×||====2,∴四边形ABCD的面积为定值2.请考生在第22、第23二题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目,如果多做,则按所做第一个题目计分.22.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l过点与直线垂直曲线C的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线l的普通方程和曲线C的普通方程;(Ⅱ)若1与曲线C交于点A,B,求的值.解:(Ⅰ)因为点在直角坐标系中为(0,2),直线在直角坐标系中为,所以直线l的方程为,所以曲线C的普通方程为y=4x2.因为,即,所以y=4x2(x≠0).(Ⅱ)直线l的参数方程为(t为参数),
14代入y=4x2得,,则,t1t2=﹣2,.23.已知a>0,b>0,c>0函数f(x)=|x+a|+|x﹣b|+c.(1)当a=b=c=1时,求不等式f(x)>5的解集;(2)若f(x)的最小值为5时,求a+b+c的值,并求的最小值.解:(1)当a=b=c=1时,不等式f(x)>5即|x+1|+|x﹣1|+1>5,化为:|x+1|+|x﹣1|>4.①x≥1时,化为:x+1+x﹣1>4,解得x>2.②﹣1<x<1时,化为:x+1﹣(x﹣1)>4,化为:0>2,解得x∈∅.③x≤﹣1时,化为:﹣(x+1)﹣(x﹣1)>4,化为:x<﹣2.综上可得:不等式f(x)>5的解集为:(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞).(2)不妨设a≥b>0.①x>b时,f(x)=x+a+x﹣b+c=2x+a﹣b+c,②﹣a≤x≤b时,f(x)=a+x﹣(x﹣b)+c=a+b+c,③x<﹣a时,f(x)=﹣(a+x)+b﹣x+c=﹣2x﹣a+b+c.可知:﹣a≤x≤b时,f(x)取得最小值a+b+c=5.∴=(a+b+c)≥×=,当且仅当a=b=c=时取等号.∴的最小值为.