安徽省宣城市2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文科）Word版含解析

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2020-2021学年安徽省宣城市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|y＝ln（1﹣x）}，，则A∩B＝（　　）A．（﹣∞，1）B．[0，1）C．（0，1）D．（0，2]2．复数z满足（1+i）z＝|i|，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（　　）A．B．C．D．3．在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．我国古代数学名著《九章算术》有一衰分问题：“今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百人．”若要用分层抽样从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽出人数为（　　）A．60B．70C．80D．905．人口普查是世界各国所广泛采取的一种调查方法，根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作．截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，如图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是（　　）A．城镇人口数逐次增加B．历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C．城镇人口比重逐次增加

1D．乡村人口数逐次增加6．已知圆A：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0，圆B：x2+y2+2x+2y﹣2＝0，则两圆的公切线的条数是（　　）A．1条B．2条C．3条D．4条7．函数的图象向左平移2个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（x）的图象大致为（　　）A．B．C．D．8．已知函数f（x）为R上的奇函数，且f（﹣x）＝f（2+x），当x∈[0，1]时，，则f（2019）+f（2022）的值为（　　）A．B．0C．D．9．如果执行如图的框图，输入2021，则输出的数为（　　）

2A．B．C．D．10．若，α为锐角，则＝（　　）A．B．C．D．11．已知过抛物线x2＝4y焦点F的直线m交抛物线于M、N两点，则的最小值为（　　）A．﹣3B．C．D．612．已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在球O上，D，E分别是PB，BC的中点，PA⊥平面ABC，BC＝2PA＝2AB＝4，．下列结论：（1）BC⊥平面PAB；（2）球O的体积是；（3）直线AC与平面PAB所成角的正弦值是；（4）平面ADE被球O所截的截面积是．以上命题正确的个数是（　　）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∀x≥0，x2﹣2x+3＞0”的否定是　　．14．已知向量，，当与的夹角为锐角时，则实数m的取值范围是　　．

315．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝2lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时，t的值为　　．16．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且a1＝1，a2，a4，a8成等比数例，设向量，则的模的最大值是　　．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．为了进一步提高垃圾分类规范化水平，某市公开向社会招募垃圾分类志愿者100名，向市民宣传垃圾分类政策．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40，45）岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m和n的值；（2）此次活动的100名志愿者通过现场和网络两种方式报名．他们报名方式的部分数据如下表所示．请完善下表，并通过计算说明能否有99.9%的把握认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男女总计现场报名50网络报名31总计50参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.82818．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2n+1+2（n∈N*）．（1）设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；（2）设cn＝，若Tn＝c1+c2+c3+⋅⋅⋅+cn，求Tn．19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足．

4（1）求角B；（2）若，，点D满足，求△ABD的面积．20．如图，在三棱锥S﹣ABC中，△SAC是等边三角形，AB＝BC，O是AC中点，平面SAC⊥平面ABC，OD⊥SC于D．（1）求证：SC⊥平面BOD；（2）若，求三棱锥A﹣BOD的体积．21．已知椭圆上的点到左、右两个焦点F1，F2的距离之和等于4．（1）求椭圆C的方程；（2）设过原点O且与坐标轴不垂直的直线n交椭圆C于M，N两点，点，求△BMN面积的最大值．22．已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围．

5参考答案一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）.1．已知集合A＝{x|y＝ln（1﹣x）}，，则A∩B＝（　　）A．（﹣∞，1）B．[0，1）C．（0，1）D．（0，2]解：∵A＝{x|x＜1}，B＝{x|0＜x≤2}，∴A∩B＝（0，1）．故选：C．2．复数z满足（1+i）z＝|i|，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（　　）A．B．C．D．解：由（1+i）z＝|i|＝1，得z＝，∴，则z的共轭复数的虚部为，故选：B．3．在△ABC中，sinA＞sinB是A＞B的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：若sinA＞sinB成立，由正弦定理＝2R，所以a＞b，所以A＞B．反之，若A＞B成立，所以a＞b，因为a＝2RsinA，b＝2RsinB，所以sinA＞sinB，所以sinA＞sinB是A＞B的充要条件．故选：C．

64．我国古代数学名著《九章算术》有一衰分问题：“今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百人．”若要用分层抽样从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽出人数为（　　）A．60B．70C．80D．90【分析】根据分层抽样原理建立比例关系，即可得到结论．解：由题意知，抽样比为＝；所以北乡应抽8100×＝180，南乡应抽5400×＝120，所以180﹣120＝60，即北乡比南乡多抽60人．故选：A．5．人口普查是世界各国所广泛采取的一种调查方法，根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作．截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，如图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是（　　）A．城镇人口数逐次增加B．历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C．城镇人口比重逐次增加D．乡村人口数逐次增加【分析】利用题中柱形图和折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．解：由图可知，城镇人口数逐次增加，且第七次普查人口最多，城镇人口比重逐次增加，故A、B、C正确；

7而乡村人数数在第五次、第六次普查时减少，故D错误，故选：D．6．已知圆A：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0，圆B：x2+y2+2x+2y﹣2＝0，则两圆的公切线的条数是（　　）A．1条B．2条C．3条D．4条【分析】根据题意，先求出两圆的圆心和半径，分析两个圆的位置关系，据此分析可得答案．解：根据题意，圆A：x2+y2﹣2x﹣4y﹣4＝0，即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，其圆心A（1，2），半径R＝3，圆B：x2+y2+2x+2y﹣2＝0，即（x+1）2+（y+1）2＝4，其圆心B（﹣1，﹣1），半径r＝2，圆心距|AB|＝＝，则有3﹣2＜＜3+2，两圆相交，则两圆有2条公切线，故选：B．7．函数的图象向左平移2个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（x）的图象大致为（　　）A．B．C．D．【分析】根据题意，求出g（x）的解析式，分析区间（﹣1，0）和（0，1）上，f（x）的符号，利用排除法分析可得答案．

8解：根据题意，函数的图象向左平移2个单位长度得到函数g（x）的图象，则g（x）＝，在区间（0，1）上，|x﹣1|＝1﹣x＜1，则有ln|x﹣1|＝ln（1﹣x）＜0，必有g（x）＜0，排除A、C，在区间（﹣1，0）上，|x﹣1|＝1﹣x＞1，则有ln|x﹣1|＝ln（1﹣x）＞0，必有g（x）＜0，排除B，故选：D．8．已知函数f（x）为R上的奇函数，且f（﹣x）＝f（2+x），当x∈[0，1]时，，则f（2019）+f（2022）的值为（　　）A．B．0C．D．【分析】根据题意，由奇函数的性质和函数的解析式可得f（0）＝1+a＝0，可得a的值，又由f（﹣x）＝f（2+x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），f（x）是周期为4的周期函数，据此求出f（2019）和f（2022）的值，相加可得答案．解：根据题意，函数f（x）为R上的奇函数，且当x∈[0，1]时，，则f（0）＝1+a＝0，则a＝﹣1，又由f（﹣x）＝f（2+x），则f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），f（x）是周期为4的周期函数；f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（2﹣）＝﹣，f（2022）＝f（2+505×4）＝f（2）＝f（0）＝0，故f（2019）+f（2022）＝﹣，故选：A．9．如果执行如图的框图，输入2021，则输出的数为（　　）

9A．B．C．D．【分析】由程序图已知，该程序的功能是利用循环变量计算并输出变量S＝的值，结合数列的裂项相消法，即可求解．解：由程序图已知，该程序的功能是利用循环变量计算并输出变量S＝的值，∴S＝＝＝．故选：C．10．若，α为锐角，则＝（　　）A．B．C．D．【分析】结合三角函数的同角公式，可得＝，把看成整体，将表示为，再结合二倍角公式求解．解：∵，α为锐角，∴＝，所以＝

10＝故选：D．11．已知过抛物线x2＝4y焦点F的直线m交抛物线于M、N两点，则的最小值为（　　）A．﹣3B．C．D．6【分析】作MP⊥y轴于点P，NQ⊥y轴于Q，设∠MFQ＝θ，作MA⊥l于A，NB⊥l于B，由抛物线的定义可得|MF|＝|AM|，|NF|＝|BN|，则|AM|+|FP|＝2，|BN|﹣|FQ|＝2，分两种情况：当θ≠180°时，当θ＝180°时，结合基本不等式即可得出|MF|﹣的最小值．解：作MP⊥y轴于点P，NQ⊥y轴于Q，设∠MFQ＝θ，由抛物线的方程可得F（0，1），准线l的方程为y＝﹣1，作MA⊥l于A，NB⊥l于B，由抛物线的定义可得|MF|＝|AM|，|NF|＝|BN|，所以|AM|+|FP|＝2，|BN|﹣|FQ|＝2，当θ≠180°时，所以|AF|+|AF|cosθ＝2，|BF|﹣|BF|cosθ＝2，所以|AF|＝，|BF|＝，所以|MF|﹣＝+（cosθ﹣1）＝+（cosθ+1）﹣9≥2﹣9＝﹣3，当θ＝180°时，|MF|＝|AM|＝2，|NF|＝|BN|＝2，所以|MF|﹣＝2﹣＝﹣，综上，|MF|﹣的最小值为﹣3，故选：A．

1112．已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在球O上，D，E分别是PB，BC的中点，PA⊥平面ABC，BC＝2PA＝2AB＝4，．下列结论：（1）BC⊥平面PAB；（2）球O的体积是；（3）直线AC与平面PAB所成角的正弦值是；（4）平面ADE被球O所截的截面积是．以上命题正确的个数是（　　）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意作图，根据条件得到AB⊥BC，PA⊥BC，再由线面垂直的判定定理即可证明BC⊥平面PAB；三棱锥P﹣ABC可看作由长、宽、高分别为4，2，2的长方体截得，再求出球O的体积即可；可判断直线AC与平面PAB所成角的平面角为∠CAB，然后求出直线AC与平面PAB所成角的正弦值即可；由等体积法求得点O到平面ADE的距离h，得到平面ADE被球O所截的截面圆的半径，再求出平面ADE被球O所截的截面积即可．解：在Rt△PAC中，PA＝2，PC＝2，则AC＝＝2，又∵AB＝2，BC＝4，∴△ABC为直角三角形，∴AB⊥BC，又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，故（1）正确；结合结论（1）知，三棱锥P﹣ABC可看作由长、宽、高分别为4，2，2的长方体截得，故球O的直径为＝2，故球O的体积V＝•π•R3＝•π•3＝8π，故（2）正确；由图可知，直线AC与平面PAB所成角的平面角为∠CAB，

12sin∠CAB＝＝，故（3）错误；在Rt△PAB中，AD＝PB＝，在△PBC中，DE＝PC＝，在Rt△DAE中，S△DAE＝××＝，S△DOE＝S△PBC＝××2×4＝，设点O到平面ADE的距离为h，则×S△DOE×AD＝×S△DAE×h，解得h＝，故平面ADE被球O所截的截面圆的半径r＝＝，故平面ADE被球O所截的截面积是S＝π×＝，故（4）正确；故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．命题“∀x≥0，x2﹣2x+3＞0”的否定是　∃x0≥0，　．【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，直接写出该命题的否定命题即可．解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，命题“∀x≥0，x2﹣2x+3＞0”的否定是：“∃x0≥0，﹣2x0+3≤0”．故答案为：“∃x0≥0，﹣2x0+3≤0”．

1314．已知向量，，当与的夹角为锐角时，则实数m的取值范围是　{m|m＜3且m≠﹣1}　．【分析】根据与的夹角为锐角，可得•＞0，且与不共线，然后建立关于m的关系式，再求出m的取值范围．解：因为与的夹角为锐角，向量，所以•＞0，且与不共线，所以•＝m+3﹣2m＞0且﹣m﹣3﹣2m≠0，解得m＜3且m≠﹣1，所以m的取值范围是{m|m＜3且m≠﹣1}；故答案为：{m|m＜3且m≠﹣1}．15．设直线x＝t与函数f（x）＝x2，g（x）＝2lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时，t的值为　1　．【分析】构造函数h（t）＝f（t）﹣g（t）＝t2﹣2lnt，求导，判断其单调性，进而求得其取得最小值时t的值．解：设h（t）＝f（t）﹣g（t）＝t2﹣2lnt，则，易知，当0＜t＜1时，h′（t）＜0，当t＞1时，h′（t）＞0，∴函数h（t）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，∴h（t）min＝h（1），即|MN|达到最小值时，t的值为1．故答案为：1．16．已知数列{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且a1＝1，a2，a4，a8成等比数例，设向量，则的模的最大值是　　．【分析】设公差为d，由等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得d，进而得到数列{an}的通项与前n项和，求得向量的坐标，再由向量模的计算公式求解．解：数列{an}是公差d不为零的等差数列，且a1＝1，Sn为其前n项和，由a2，a4，a8成等比数例，可得a42＝a2a8，即（a1+3d）2＝（a1+d）（a1+7d），化为a1＝d＝1，可得d＝1，则an＝1+1×（n﹣1）＝n，Sn＝n（n+1），

14向量＝（1，），可得，则当n＝1时，取得最大值1，可得．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．为了进一步提高垃圾分类规范化水平，某市公开向社会招募垃圾分类志愿者100名，向市民宣传垃圾分类政策．某部门为了了解志愿者的基本情况，调查得到了他们年龄的中位数为34岁，年龄在[40，45）岁内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求m和n的值；（2）此次活动的100名志愿者通过现场和网络两种方式报名．他们报名方式的部分数据如下表所示．请完善下表，并通过计算说明能否有99.9%的把握认为“选择哪种报名方式与性别有关系”？男女总计现场报名50网络报名31总计50参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828【分析】（1）利用频率和为1及中位数列出关于m，n的方程组，通过解方程组得出答案．（2）完成列联表，计算K2的值，并与10.828比较得出结论．解：（1）志愿者年龄在[40，45）内的频率为：由（0.020+2m+4n+0.010）×5+0.15＝1，得m+2n＝0.07，①

15由中位数为34可得0.020×5+2m×5+2n×（34﹣30）＝0.5，即5m+4n＝0.2．②由①②解得m＝0.020，n＝0.025（2）根据题意得到列联表：男女总计现场报名193150网络报名311950总计5050100K2的观测值所以没有99.9%的把握“认为选择哪种报名方式与性别有关系”．18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an﹣2n+1+2（n∈N*）．（1）设bn＝，求证：数列{bn}为等差数列，并求出数列{an}的通项公式；（2）设cn＝，若Tn＝c1+c2+c3+⋅⋅⋅+cn，求Tn．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和．【解答】证明：（1）由已知，①，n≥2时，，②①﹣②得：，故即bn﹣bn﹣1＝1（n≥2），又n＝1时，a1＝2a1﹣4+2，得a1＝2，则，故数列{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列，∴bn＝1+（n﹣1）⋅1＝n，∴；

16（2）由，得，，，由错位相减法得，得，∴．19．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足．（1）求角B；（2）若，，点D满足，求△ABD的面积．【分析】（1）根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，进而可求B的值．（2）由已知利用余弦定理可求a的值，由题意利用平面向量的运算可得，可求BD的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）根据正弦定理，由已知，得，得2sinC⋅cosB＝sin（A+B），∴，∵B∈（0，π），∴．（2）由，及b2＝a2+c2﹣2ac⋅cosB，知，由题意知，．∴，∴，∴S△ABD＝c•BD•sinB＝××＝．20．如图，在三棱锥S﹣ABC中，△SAC是等边三角形，AB＝BC，O是AC中点，平面SAC⊥平面ABC，

17OD⊥SC于D．（1）求证：SC⊥平面BOD；（2）若，求三棱锥A﹣BOD的体积．【分析】（1）先根据面面垂直的性质和定理证明BO⊥平面SAC，得到BO⊥SC，再结合OD⊥SC，得到SC⊥平面BOD；（2）由VA﹣BOD＝VB﹣AOD＝VB﹣COD，结合三棱锥的体积公式即可求解．解：（1）证明：∵AB＝BC，O是AC中点，∴BO⊥AC又平面SAC⊥平面ABC，且BO⊂平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC，∴BO⊥平面SAC，∴BO⊥SC，又OD⊥SC，BO∩OD＝O，∴SC⊥平面BOD．（2）∵△AOD与△COD面积相等，∴VA﹣BOD＝VB﹣AOD＝VB﹣COD，∵BO⊥平面SAC，∴，∵，∠DOC＝30°．∴CD＝1，∴，∴，即三棱椎A﹣BOD的体积为．21．已知椭圆上的点到左、右两个焦点F1，F2的距离之和等于4．（1）求椭圆C的方程；（2）设过原点O且与坐标轴不垂直的直线n交椭圆C于M，N两点，点，求△BMN面积的最大值．【分析】（1）由椭圆C上点A到两个焦点距离之和为4，则2a＝4，，进而解得a2，b2

18，即可得出答案．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线n的方程为y＝kx（k≠0），联立椭圆的方程，结合韦达定理可得x1+x2，x1x2，由弦长公式可得|MN|，再得点到直线n的距离d，进而可得S△BMN，结合基本不等式，即可得出答案．解：（1）由题意得2a＝4，即a＝2，又点在椭圆C上，∴，即b2＝1，∴椭圆C的方程为．（2）设直线n的方程为y＝kx（k≠0），由，得（1+4k2）x2﹣4＝0，则Δ＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），x1+x2＝0，则，又点到直线n的距离为，∴当k＞0时，S△MAN＜1；当k＜0时，当当且仅当时取等号，综上所述，△BMN面积的最大值为．22．已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若不等式对于x＞0的一切值恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过a的范围，判断导函数的符号，然后推出函数的单调区间．（2）原式等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在（0+∞）上恒成立．令g（x）＝xlnx+a+e﹣2﹣ax

19，通过函数的导数求解g（x）的最小值，令t（a）＝a+e﹣2﹣ea﹣1.推出t（a）＝a+e﹣2﹣ea﹣1≥0＝t，然后求解实数a的取值范围为（0，2]．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，令f'（x）＝0得x＝ax（0，a）a（a，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小值↗所以f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增（2）原式等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在（0+∞）上恒成立．令g（x）＝xlnx+a+e﹣2﹣ax．∵g'（x）＝lnx+1﹣a，令g'（x）＝0，得x＝ea﹣1，当0＜x＜ea﹣1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x＞ea﹣1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴g（x）的最小值为g（ea﹣1）＝（a﹣1）ea﹣1+a+e﹣2﹣aea﹣1＝a+e﹣2﹣ea﹣1．令t（a）＝a+e﹣2﹣ea﹣1.t'（a）＝1﹣ea﹣1.令t'（a）＝0得a＝1．且当0＜a＜1时，t'（a）＞0，t（a）单调递增，当a＞1时，t'（a）＜0，t（a）单调违减，∴当a∈（0，1）时，，当a∈[1，+∞）时，t（a）＝a+e﹣2﹣ea﹣1≥0＝t（2），∴a∈[1，2]，综上所述，实数a的取值范围为（0，2]．