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2020-2021学年安徽省宣城市高二(下)期末数学试卷(文科)一、选择题(共12小题,每题5分,共60分).1.已知集合A={x|y=ln(1﹣x)},,则A∩B=( )A.(﹣∞,1)B.[0,1)C.(0,1)D.(0,2]2.复数z满足(1+i)z=|i|,其中i为虚数单位,则z的共轭复数的虚部为( )A.B.C.D.3.在△ABC中,sinA>sinB是A>B的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.我国古代数学名著《九章算术》有一衰分问题:“今有北乡八千一百人,西乡九千人,南乡五千四百人,凡三乡,发役五百人.”若要用分层抽样从这三个乡中抽出500人服役,则北乡比南乡多抽出人数为( )A.60B.70C.80D.905.人口普查是世界各国所广泛采取的一种调查方法,根据人口普查的基本情况,可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策,是国家科学决策的重要基础工作.截止2021年6月,我国共进行了七次人口普查,如图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况,下列说法错误的是( )A.城镇人口数逐次增加B.历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C.城镇人口比重逐次增加
1D.乡村人口数逐次增加6.已知圆A:x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0,圆B:x2+y2+2x+2y﹣2=0,则两圆的公切线的条数是( )A.1条B.2条C.3条D.4条7.函数的图象向左平移2个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x)的图象大致为( )A.B.C.D.8.已知函数f(x)为R上的奇函数,且f(﹣x)=f(2+x),当x∈[0,1]时,,则f(2019)+f(2022)的值为( )A.B.0C.D.9.如果执行如图的框图,输入2021,则输出的数为( )
2A.B.C.D.10.若,α为锐角,则=( )A.B.C.D.11.已知过抛物线x2=4y焦点F的直线m交抛物线于M、N两点,则的最小值为( )A.﹣3B.C.D.612.已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在球O上,D,E分别是PB,BC的中点,PA⊥平面ABC,BC=2PA=2AB=4,.下列结论:(1)BC⊥平面PAB;(2)球O的体积是;(3)直线AC与平面PAB所成角的正弦值是;(4)平面ADE被球O所截的截面积是.以上命题正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.命题“∀x≥0,x2﹣2x+3>0”的否定是 .14.已知向量,,当与的夹角为锐角时,则实数m的取值范围是 .
315.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=2lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时,t的值为 .16.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,且a1=1,a2,a4,a8成等比数例,设向量,则的模的最大值是 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.为了进一步提高垃圾分类规范化水平,某市公开向社会招募垃圾分类志愿者100名,向市民宣传垃圾分类政策.某部门为了了解志愿者的基本情况,调查得到了他们年龄的中位数为34岁,年龄在[40,45)岁内的人数为15,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:(1)求m和n的值;(2)此次活动的100名志愿者通过现场和网络两种方式报名.他们报名方式的部分数据如下表所示.请完善下表,并通过计算说明能否有99.9%的把握认为“选择哪种报名方式与性别有关系”?男女总计现场报名50网络报名31总计50参考公式及数据:,其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.82818.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣2n+1+2(n∈N*).(1)设bn=,求证:数列{bn}为等差数列,并求出数列{an}的通项公式;(2)设cn=,若Tn=c1+c2+c3+⋅⋅⋅+cn,求Tn.19.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且满足.
4(1)求角B;(2)若,,点D满足,求△ABD的面积.20.如图,在三棱锥S﹣ABC中,△SAC是等边三角形,AB=BC,O是AC中点,平面SAC⊥平面ABC,OD⊥SC于D.(1)求证:SC⊥平面BOD;(2)若,求三棱锥A﹣BOD的体积.21.已知椭圆上的点到左、右两个焦点F1,F2的距离之和等于4.(1)求椭圆C的方程;(2)设过原点O且与坐标轴不垂直的直线n交椭圆C于M,N两点,点,求△BMN面积的最大值.22.已知函数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式对于x>0的一切值恒成立,求实数a的取值范围.
5参考答案一、选择题(共12小题,每题5分,共60分).1.已知集合A={x|y=ln(1﹣x)},,则A∩B=( )A.(﹣∞,1)B.[0,1)C.(0,1)D.(0,2]解:∵A={x|x<1},B={x|0<x≤2},∴A∩B=(0,1).故选:C.2.复数z满足(1+i)z=|i|,其中i为虚数单位,则z的共轭复数的虚部为( )A.B.C.D.解:由(1+i)z=|i|=1,得z=,∴,则z的共轭复数的虚部为,故选:B.3.在△ABC中,sinA>sinB是A>B的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:若sinA>sinB成立,由正弦定理=2R,所以a>b,所以A>B.反之,若A>B成立,所以a>b,因为a=2RsinA,b=2RsinB,所以sinA>sinB,所以sinA>sinB是A>B的充要条件.故选:C.
64.我国古代数学名著《九章算术》有一衰分问题:“今有北乡八千一百人,西乡九千人,南乡五千四百人,凡三乡,发役五百人.”若要用分层抽样从这三个乡中抽出500人服役,则北乡比南乡多抽出人数为( )A.60B.70C.80D.90【分析】根据分层抽样原理建立比例关系,即可得到结论.解:由题意知,抽样比为=;所以北乡应抽8100×=180,南乡应抽5400×=120,所以180﹣120=60,即北乡比南乡多抽60人.故选:A.5.人口普查是世界各国所广泛采取的一种调查方法,根据人口普查的基本情况,可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策,是国家科学决策的重要基础工作.截止2021年6月,我国共进行了七次人口普查,如图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况,下列说法错误的是( )A.城镇人口数逐次增加B.历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C.城镇人口比重逐次增加D.乡村人口数逐次增加【分析】利用题中柱形图和折线图中的数据信息以及变化趋势,对四个选项逐一分析判断即可.解:由图可知,城镇人口数逐次增加,且第七次普查人口最多,城镇人口比重逐次增加,故A、B、C正确;
7而乡村人数数在第五次、第六次普查时减少,故D错误,故选:D.6.已知圆A:x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0,圆B:x2+y2+2x+2y﹣2=0,则两圆的公切线的条数是( )A.1条B.2条C.3条D.4条【分析】根据题意,先求出两圆的圆心和半径,分析两个圆的位置关系,据此分析可得答案.解:根据题意,圆A:x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0,即(x﹣1)2+(y﹣2)2=9,其圆心A(1,2),半径R=3,圆B:x2+y2+2x+2y﹣2=0,即(x+1)2+(y+1)2=4,其圆心B(﹣1,﹣1),半径r=2,圆心距|AB|==,则有3﹣2<<3+2,两圆相交,则两圆有2条公切线,故选:B.7.函数的图象向左平移2个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x)的图象大致为( )A.B.C.D.【分析】根据题意,求出g(x)的解析式,分析区间(﹣1,0)和(0,1)上,f(x)的符号,利用排除法分析可得答案.
8解:根据题意,函数的图象向左平移2个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x)=,在区间(0,1)上,|x﹣1|=1﹣x<1,则有ln|x﹣1|=ln(1﹣x)<0,必有g(x)<0,排除A、C,在区间(﹣1,0)上,|x﹣1|=1﹣x>1,则有ln|x﹣1|=ln(1﹣x)>0,必有g(x)<0,排除B,故选:D.8.已知函数f(x)为R上的奇函数,且f(﹣x)=f(2+x),当x∈[0,1]时,,则f(2019)+f(2022)的值为( )A.B.0C.D.【分析】根据题意,由奇函数的性质和函数的解析式可得f(0)=1+a=0,可得a的值,又由f(﹣x)=f(2+x),变形可得f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),f(x)是周期为4的周期函数,据此求出f(2019)和f(2022)的值,相加可得答案.解:根据题意,函数f(x)为R上的奇函数,且当x∈[0,1]时,,则f(0)=1+a=0,则a=﹣1,又由f(﹣x)=f(2+x),则f(x+2)=﹣f(x),则有f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),f(x)是周期为4的周期函数;f(2019)=f(﹣1+2020)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(2﹣)=﹣,f(2022)=f(2+505×4)=f(2)=f(0)=0,故f(2019)+f(2022)=﹣,故选:A.9.如果执行如图的框图,输入2021,则输出的数为( )
9A.B.C.D.【分析】由程序图已知,该程序的功能是利用循环变量计算并输出变量S=的值,结合数列的裂项相消法,即可求解.解:由程序图已知,该程序的功能是利用循环变量计算并输出变量S=的值,∴S===.故选:C.10.若,α为锐角,则=( )A.B.C.D.【分析】结合三角函数的同角公式,可得=,把看成整体,将表示为,再结合二倍角公式求解.解:∵,α为锐角,∴=,所以=
10=故选:D.11.已知过抛物线x2=4y焦点F的直线m交抛物线于M、N两点,则的最小值为( )A.﹣3B.C.D.6【分析】作MP⊥y轴于点P,NQ⊥y轴于Q,设∠MFQ=θ,作MA⊥l于A,NB⊥l于B,由抛物线的定义可得|MF|=|AM|,|NF|=|BN|,则|AM|+|FP|=2,|BN|﹣|FQ|=2,分两种情况:当θ≠180°时,当θ=180°时,结合基本不等式即可得出|MF|﹣的最小值.解:作MP⊥y轴于点P,NQ⊥y轴于Q,设∠MFQ=θ,由抛物线的方程可得F(0,1),准线l的方程为y=﹣1,作MA⊥l于A,NB⊥l于B,由抛物线的定义可得|MF|=|AM|,|NF|=|BN|,所以|AM|+|FP|=2,|BN|﹣|FQ|=2,当θ≠180°时,所以|AF|+|AF|cosθ=2,|BF|﹣|BF|cosθ=2,所以|AF|=,|BF|=,所以|MF|﹣=+(cosθ﹣1)=+(cosθ+1)﹣9≥2﹣9=﹣3,当θ=180°时,|MF|=|AM|=2,|NF|=|BN|=2,所以|MF|﹣=2﹣=﹣,综上,|MF|﹣的最小值为﹣3,故选:A.
1112.已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在球O上,D,E分别是PB,BC的中点,PA⊥平面ABC,BC=2PA=2AB=4,.下列结论:(1)BC⊥平面PAB;(2)球O的体积是;(3)直线AC与平面PAB所成角的正弦值是;(4)平面ADE被球O所截的截面积是.以上命题正确的个数是( )A.1B.2C.3D.4【分析】由题意作图,根据条件得到AB⊥BC,PA⊥BC,再由线面垂直的判定定理即可证明BC⊥平面PAB;三棱锥P﹣ABC可看作由长、宽、高分别为4,2,2的长方体截得,再求出球O的体积即可;可判断直线AC与平面PAB所成角的平面角为∠CAB,然后求出直线AC与平面PAB所成角的正弦值即可;由等体积法求得点O到平面ADE的距离h,得到平面ADE被球O所截的截面圆的半径,再求出平面ADE被球O所截的截面积即可.解:在Rt△PAC中,PA=2,PC=2,则AC==2,又∵AB=2,BC=4,∴△ABC为直角三角形,∴AB⊥BC,又∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,∴BC⊥平面PAB,故(1)正确;结合结论(1)知,三棱锥P﹣ABC可看作由长、宽、高分别为4,2,2的长方体截得,故球O的直径为=2,故球O的体积V=•π•R3=•π•3=8π,故(2)正确;由图可知,直线AC与平面PAB所成角的平面角为∠CAB,
12sin∠CAB==,故(3)错误;在Rt△PAB中,AD=PB=,在△PBC中,DE=PC=,在Rt△DAE中,S△DAE=××=,S△DOE=S△PBC=××2×4=,设点O到平面ADE的距离为h,则×S△DOE×AD=×S△DAE×h,解得h=,故平面ADE被球O所截的截面圆的半径r==,故平面ADE被球O所截的截面积是S=π×=,故(4)正确;故选:C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.命题“∀x≥0,x2﹣2x+3>0”的否定是 ∃x0≥0, .【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题,直接写出该命题的否定命题即可.解:根据全称量词命题的否定是存在量词命题知,命题“∀x≥0,x2﹣2x+3>0”的否定是:“∃x0≥0,﹣2x0+3≤0”.故答案为:“∃x0≥0,﹣2x0+3≤0”.
1314.已知向量,,当与的夹角为锐角时,则实数m的取值范围是 {m|m<3且m≠﹣1} .【分析】根据与的夹角为锐角,可得•>0,且与不共线,然后建立关于m的关系式,再求出m的取值范围.解:因为与的夹角为锐角,向量,所以•>0,且与不共线,所以•=m+3﹣2m>0且﹣m﹣3﹣2m≠0,解得m<3且m≠﹣1,所以m的取值范围是{m|m<3且m≠﹣1};故答案为:{m|m<3且m≠﹣1}.15.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=2lnx的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时,t的值为 1 .【分析】构造函数h(t)=f(t)﹣g(t)=t2﹣2lnt,求导,判断其单调性,进而求得其取得最小值时t的值.解:设h(t)=f(t)﹣g(t)=t2﹣2lnt,则,易知,当0<t<1时,h′(t)<0,当t>1时,h′(t)>0,∴函数h(t)在(0,1)为减函数,在(1,+∞)为增函数,∴h(t)min=h(1),即|MN|达到最小值时,t的值为1.故答案为:1.16.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,且a1=1,a2,a4,a8成等比数例,设向量,则的模的最大值是 .【分析】设公差为d,由等差数列的通项公式和等比数列中项性质,解方程可得d,进而得到数列{an}的通项与前n项和,求得向量的坐标,再由向量模的计算公式求解.解:数列{an}是公差d不为零的等差数列,且a1=1,Sn为其前n项和,由a2,a4,a8成等比数例,可得a42=a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),化为a1=d=1,可得d=1,则an=1+1×(n﹣1)=n,Sn=n(n+1),
14向量=(1,),可得,则当n=1时,取得最大值1,可得.故答案为:.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.为了进一步提高垃圾分类规范化水平,某市公开向社会招募垃圾分类志愿者100名,向市民宣传垃圾分类政策.某部门为了了解志愿者的基本情况,调查得到了他们年龄的中位数为34岁,年龄在[40,45)岁内的人数为15,并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图:(1)求m和n的值;(2)此次活动的100名志愿者通过现场和网络两种方式报名.他们报名方式的部分数据如下表所示.请完善下表,并通过计算说明能否有99.9%的把握认为“选择哪种报名方式与性别有关系”?男女总计现场报名50网络报名31总计50参考公式及数据:,其中n=a+b+c+d.P(K2≥k0)0.050.010.0050.001k03.8416.6357.87910.828【分析】(1)利用频率和为1及中位数列出关于m,n的方程组,通过解方程组得出答案.(2)完成列联表,计算K2的值,并与10.828比较得出结论.解:(1)志愿者年龄在[40,45)内的频率为:由(0.020+2m+4n+0.010)×5+0.15=1,得m+2n=0.07,①
15由中位数为34可得0.020×5+2m×5+2n×(34﹣30)=0.5,即5m+4n=0.2.②由①②解得m=0.020,n=0.025(2)根据题意得到列联表:男女总计现场报名193150网络报名311950总计5050100K2的观测值所以没有99.9%的把握“认为选择哪种报名方式与性别有关系”.18.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an﹣2n+1+2(n∈N*).(1)设bn=,求证:数列{bn}为等差数列,并求出数列{an}的通项公式;(2)设cn=,若Tn=c1+c2+c3+⋅⋅⋅+cn,求Tn.【分析】(1)直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式;(2)利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和.【解答】证明:(1)由已知,①,n≥2时,,②①﹣②得:,故即bn﹣bn﹣1=1(n≥2),又n=1时,a1=2a1﹣4+2,得a1=2,则,故数列{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列,∴bn=1+(n﹣1)⋅1=n,∴;
16(2)由,得,,,由错位相减法得,得,∴.19.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且满足.(1)求角B;(2)若,,点D满足,求△ABD的面积.【分析】(1)根据正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得,进而可求B的值.(2)由已知利用余弦定理可求a的值,由题意利用平面向量的运算可得,可求BD的值,进而根据三角形的面积公式即可求解.解:(1)根据正弦定理,由已知,得,得2sinC⋅cosB=sin(A+B),∴,∵B∈(0,π),∴.(2)由,及b2=a2+c2﹣2ac⋅cosB,知,由题意知,.∴,∴,∴S△ABD=c•BD•sinB=××=.20.如图,在三棱锥S﹣ABC中,△SAC是等边三角形,AB=BC,O是AC中点,平面SAC⊥平面ABC,
17OD⊥SC于D.(1)求证:SC⊥平面BOD;(2)若,求三棱锥A﹣BOD的体积.【分析】(1)先根据面面垂直的性质和定理证明BO⊥平面SAC,得到BO⊥SC,再结合OD⊥SC,得到SC⊥平面BOD;(2)由VA﹣BOD=VB﹣AOD=VB﹣COD,结合三棱锥的体积公式即可求解.解:(1)证明:∵AB=BC,O是AC中点,∴BO⊥AC又平面SAC⊥平面ABC,且BO⊂平面ABC,平面SAC∩平面ABC=AC,∴BO⊥平面SAC,∴BO⊥SC,又OD⊥SC,BO∩OD=O,∴SC⊥平面BOD.(2)∵△AOD与△COD面积相等,∴VA﹣BOD=VB﹣AOD=VB﹣COD,∵BO⊥平面SAC,∴,∵,∠DOC=30°.∴CD=1,∴,∴,即三棱椎A﹣BOD的体积为.21.已知椭圆上的点到左、右两个焦点F1,F2的距离之和等于4.(1)求椭圆C的方程;(2)设过原点O且与坐标轴不垂直的直线n交椭圆C于M,N两点,点,求△BMN面积的最大值.【分析】(1)由椭圆C上点A到两个焦点距离之和为4,则2a=4,,进而解得a2,b2
18,即可得出答案.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线n的方程为y=kx(k≠0),联立椭圆的方程,结合韦达定理可得x1+x2,x1x2,由弦长公式可得|MN|,再得点到直线n的距离d,进而可得S△BMN,结合基本不等式,即可得出答案.解:(1)由题意得2a=4,即a=2,又点在椭圆C上,∴,即b2=1,∴椭圆C的方程为.(2)设直线n的方程为y=kx(k≠0),由,得(1+4k2)x2﹣4=0,则Δ>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),x1+x2=0,则,又点到直线n的距离为,∴当k>0时,S△MAN<1;当k<0时,当当且仅当时取等号,综上所述,△BMN面积的最大值为.22.已知函数.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式对于x>0的一切值恒成立,求实数a的取值范围.【分析】(1)求出函数的导数,通过a的范围,判断导函数的符号,然后推出函数的单调区间.(2)原式等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在(0+∞)上恒成立.令g(x)=xlnx+a+e﹣2﹣ax
19,通过函数的导数求解g(x)的最小值,令t(a)=a+e﹣2﹣ea﹣1.推出t(a)=a+e﹣2﹣ea﹣1≥0=t,然后求解实数a的取值范围为(0,2].解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),,令f'(x)=0得x=ax(0,a)a(a,+∞)f'(x)﹣0+f(x)↘极小值↗所以f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增(2)原式等价于xlnx+a+e﹣2﹣ax≥0在(0+∞)上恒成立.令g(x)=xlnx+a+e﹣2﹣ax.∵g'(x)=lnx+1﹣a,令g'(x)=0,得x=ea﹣1,当0<x<ea﹣1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x>ea﹣1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,∴g(x)的最小值为g(ea﹣1)=(a﹣1)ea﹣1+a+e﹣2﹣aea﹣1=a+e﹣2﹣ea﹣1.令t(a)=a+e﹣2﹣ea﹣1.t'(a)=1﹣ea﹣1.令t'(a)=0得a=1.且当0<a<1时,t'(a)>0,t(a)单调递增,当a>1时,t'(a)<0,t(a)单调违减,∴当a∈(0,1)时,,当a∈[1,+∞)时,t(a)=a+e﹣2﹣ea﹣1≥0=t(2),∴a∈[1,2],综上所述,实数a的取值范围为(0,2].