江苏省泰州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021学年江苏省泰州市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知i为虚数单位，复数z＝2﹣3i，则z的虚部是（　　）A．3iB．3C．﹣3iD．﹣32．已知f（x）＝x2cosx，则其导函数为（　　）A．f'（x）＝2xsinxB．f'（x）＝﹣2xsinxC．f'（x）＝2xcosx﹣x2sinxD．f'（x）＝2xcosx+x2sinx3．在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）（x﹣6）的展开式中，x5的系数为（　　）A．﹣21B．21C．﹣15D．154．一个袋子里装有相同大小的黑球8个，红球10个，白球2个，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到白球的概率为（　　）A．B．C．D．5．已知函数f（x）满足f（x）＝x2f'（1）+lnx，则＝（　　）A．﹣1B．1C．﹣2D．26．2021年4月21日至28日在国家会展中心（上海）举行的车展上，由于众多的新能源车型相继亮相，使得本次车展成为了一次历史转折，传统的燃油车型正在被新能源车型逐渐取代．某咨询公司做了关于新能源车购买意向的调查，随机抽取了100份有效问卷统计得到下面的2×2列联表，则根据列联表可知（　　）愿意购买不愿意购买合计男451055女252045合计7030100附：，其中n＝a+b+c+d．P（χ2≥x0）0.100.050.0250.100.005x02.7063.8415.0246.6357.879A．该抽样方式为分层抽样B．由列联表可知，女性顾客购买新能源车的意向较强

1C．没有97.5%的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关D．有99.5%的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关7．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第5名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的排名有（　　）种不同情况A．24B．36C．60D．728．已知定义在R上的函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（　　）A．（0，1）∪（1，5）B．（0，1）C．（0，5）D．（1，5）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设随机变量，则下列说法正确的有（　　）A．B．P（X＝2）＝P（X＝3）C．X的数学期望D．X的方差10．设z为复数，则下列说法正确的有（　　）A．实数集与虚数集的交集为{0}B．C．若，则z为纯虚数D．若|z﹣1|＝1，则0≤|z|≤211．已知函数f（x）的定义域为R，f（0）＝﹣1，其导函数f′满足f'（x）＞1，则下列说法正确的有（　　）A．若x1＜x2，则x1﹣x2＞f（x1）﹣f（x2）B．若x1＜x2，则x1﹣x2＞f（x2）﹣f（x1）C．不等式f（x﹣1）＞x﹣2的解集为（1，+∞）D．方程f（x）﹣lnx＝0在（0，+∞）上有解12．已知（1+2x）n（n∈N*）的展开式中第r+1项的二项式系数记为ar，系数记为br，r＝0，1，2，⋯，n，则下列结论正确的有（　　）A．当n＝2021时，ar≤a1009B．当n＝2021时，br≤b1347

2C．D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则x的值为　　．14．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系．其定理表述如下：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的图象不间断，在开区间（a，b）内可导，那么在开区间（a，b）内至少有一个点ε（a＜ε＜b）使得等式f（b）﹣f（a）＝f'（ε）（b﹣a）成立，其中ε称为函数f（x）在闭区间[a，b]上的中值点，函数f（x）＝x+sinx在闭区间[0，π]上的中值点为　　．15．在复数范围内，﹣4的所有平方根为　　，并由此写出﹣4的一个四次方根　　．16．随机变量X的分布如表所示：X﹣1012Pab若，则D（X）＝　　．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知复数z＝m+ni（m，n∈R）满足为纯虚数，z+4i为实数，其中i是虚数单位．（1）求实数m，n的值；（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．18．已知（﹣）n的展开式中，第2项与第4项的二项式系数之比为1：12．（1）求正整数n的值；（2）求展开式中的常数项．19．新个体经济是中国经济社会数字化转型条件下出现的新生事物，指微商电商、网络直播、职业创作者等，如表是2021年1至4月份某市新增“微商电商”的统计数据：月份1234新增微商电商个数90105125140（1）请利用所给数据求新增微商电商个数y与月份x之间的线性回归方程，并预测该市2021年5月新增“微商电商”的个数（结果用四舍五入法保留整数）；（2）一般认为当|r|≥0.9时，线性回归方程的拟合效果非常好；当0.75≤|r

3|＜0.9时，线性回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．附：，，，，，．20．已知函数，m∈R．（1）当时，求函数y＝f（x）在区间[0，3]的最大值和最小值；（2）若f（x0）为f（x）的一个极值，求证：．21．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，2021年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩ξ～N（μ，σ2），其分布密度函数，x∈R的最大值为，且P（ξ≤50）＝P（ξ≥70）．笔试成绩高于70分的学生进入面试环节．（1）求μ和σ；（2）从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率；（3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、．设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6827，P（|X﹣μ|≤2σ）≈0.9545，0.8413510≈0.1777，0.9772510≈0.7944．22．已知函数f（x）＝lnx﹣x．（1）若函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝g（x），求证：f（x）≤g（x）；（2）若函数h（x）＝xe1﹣x+af（x）的最小值为2，求实数a的值．

4参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．已知i为虚数单位，复数z＝2﹣3i，则z的虚部是（　　）A．3iB．3C．﹣3iD．﹣3解：因为z＝2﹣3i，则z的虚部是﹣3．故选：D．2．已知f（x）＝x2cosx，则其导函数为（　　）A．f'（x）＝2xsinxB．f'（x）＝﹣2xsinxC．f'（x）＝2xcosx﹣x2sinxD．f'（x）＝2xcosx+x2sinx解：∵f（x）＝x2cosx，∴f′（x）＝（x2）′cosx+x2（cosx）′＝2xcosx﹣x2sinx，故选：C．3．在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）（x﹣6）的展开式中，x5的系数为（　　）A．﹣21B．21C．﹣15D．15解：在（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）（x﹣5）（x﹣6）的展开式中，x5的系数为﹣1﹣2﹣3﹣4﹣5﹣6＝﹣21，故选：A．4．一个袋子里装有相同大小的黑球8个，红球10个，白球2个，每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．则在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到白球的概率为（　　）A．B．C．D．解：因为第1次摸到红球，则剩下黑球8个，红球9个，白球2个，所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到白球的概率为．故选：C．5．已知函数f（x）满足f（x）＝x2f'（1）+lnx，则＝（　　）A．﹣1B．1C．﹣2D．2解：∵f（x）＝x2f'（1）+lnx，∴f′（x）＝2xf′（1）+，∴f′（1）＝﹣1，

5∴f′（x）＝﹣2x+，∴f′（）＝﹣1+2＝1．故选：B．6．2021年4月21日至28日在国家会展中心（上海）举行的车展上，由于众多的新能源车型相继亮相，使得本次车展成为了一次历史转折，传统的燃油车型正在被新能源车型逐渐取代．某咨询公司做了关于新能源车购买意向的调查，随机抽取了100份有效问卷统计得到下面的2×2列联表，则根据列联表可知（　　）愿意购买不愿意购买合计男451055女252045合计7030100附：，其中n＝a+b+c+d．P（χ2≥x0）0.100.050.0250.100.005x02.7063.8415.0246.6357.879A．该抽样方式为分层抽样B．由列联表可知，女性顾客购买新能源车的意向较强C．没有97.5%的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关D．有99.5%的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关解：由题意中表格中的数据可知，男女抽取的比例不相等，所以不是分层抽样，故选项A错误；由题意中表格中的数据可知，，所以女性顾客购买新能源车的意向较弱，故选项B错误；由题意中表格中的数据可知，＝8.1289＞7.879，所以有99.5%的把握认为是否愿意购买新能源车与性别有关，故选项C错误，选项D正确．故选：D．7．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行党史知识比赛，决出第1名到第5名的名次（名次无重复），其中前2名将获得参加市级比赛的资格．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，5人的排名有（　　）种不同情况A．24B．36C．60D．72

6解：根据题意，甲不在前2名，乙不是最后1名，若甲是最后1名，剩下4人没有限制，有A＝24种情况，若甲不是最后1名，甲有2种情况，乙有3种情况，剩下3人没有限制，有2×3×A＝36种情况，则5人有24+36＝60种不同情况，故选：C．8．已知定义在R上的函数恰有4个零点，则实数a的取值范围为（　　）A．（0，1）∪（1，5）B．（0，1）C．（0，5）D．（1，5）解：因为f（x）恰有四个零点，所以f（x）＝0有四个根，当x≤0时，方程f（x）＝0为ex﹣1＝ax，此时x＝0为方程的一个根，当x＞0时，方程f（x）＝0为|x3﹣4x2﹣x|＝ax，分两种情况：①当x≤0时，方程f（x）＝0为ex﹣1＝ax除有x＝0一个根外还有另一个根时，当x＞0时，方程f（x）＝0为|x3﹣4x2﹣x|＝ax有2个根，设g（x）＝ex﹣1，先考虑g（x）＝ex﹣1与y＝ax相切于点（x0，y0）时，，解得a＝1，所以方程f（x）＝0为ex﹣1＝ax除有x＝0一个根外还有另一个根时，0＜a＜1，②当x≤0时，方程f（x）＝0为ex﹣1＝ax只有x＝0一个根时，当x＞0时，方程f（x）＝0为|x3﹣4x2﹣x|＝ax有三个根，设h（x）＝x3﹣4x2﹣x＝x（x2﹣4x﹣1）＝x[x﹣（2﹣）][x﹣（2+）]，所以当0＜x＜2+时，h（x）＜0；当x＞2+时，h（x）＞0，h′（x）＝3x2﹣8x﹣1，△＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣1）＝76＞0，令h′（x）＝0，得x＝＝，又x＞0，所以x＝，

7所以在（0，）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，在（，+∞）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，0＜＜2+，作出h（x）得图像，f（x）的图象如下：所以f（x）＝，设y＝ax与f（x）＝﹣（x3﹣4x2﹣x）＝﹣x3+4x2+x相切，切点为（m，n），所以，解得m＝2或0，所以切点为（0，0）或（2，0），所以k切＝1或5，所以当x≤0时，方程f（x）＝0为ex﹣1＝ax只有x＝0一个根，当x＞0时，方程f（x）＝0为|x3﹣4x2﹣x|＝ax有三个根时，1＜a＜5，当a＜0时，y＝ax与y＝f（x）只有一个根0，不合题意，综上所述，a的取值范围为（0，1）∪（1，5），故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

89．设随机变量，则下列说法正确的有（　　）A．B．P（X＝2）＝P（X＝3）C．X的数学期望D．X的方差解：∵随机变量，∴P（X＝1）＝，故A选项正确，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，即P（X＝2）≠P（X＝3），故B选项错误，X的数学期望E（X）＝4×＝，故C选项正确，X的方差D（X）＝4××（1﹣）＝，故D选项正确．故选：ACD．10．设z为复数，则下列说法正确的有（　　）A．实数集与虚数集的交集为{0}B．C．若，则z为纯虚数D．若|z﹣1|＝1，则0≤|z|≤2解：实数集与虚数集的交集为空集，故选项A错误；设z＝a+bi，a，b∈R，则，所以，故选项B正确；设z＝a+bi，a，b∈R，则，因为，则2a＝0，解得a＝0，则z＝bi，当b≠0时，z为纯虚数，当b＝0时，z＝0为实数，故选项C错误；设z＝a+bi，a，b∈R，所以，故（x﹣1）2+y2＝1①，则|z|2＝x2+y2＝x2+1﹣（x﹣1）2＝2x，由①可知，（x﹣1）2≤1，解得0≤x≤2，则0≤|z|2≤4，所以0≤|z|≤2，故选项D正确．

9故选：BD．11．已知函数f（x）的定义域为R，f（0）＝﹣1，其导函数f′满足f'（x）＞1，则下列说法正确的有（　　）A．若x1＜x2，则x1﹣x2＞f（x1）﹣f（x2）B．若x1＜x2，则x1﹣x2＞f（x2）﹣f（x1）C．不等式f（x﹣1）＞x﹣2的解集为（1，+∞）D．方程f（x）﹣lnx＝0在（0，+∞）上有解解：设函数F（x）＝f（x）﹣x，则F'（x）＝f'（x）﹣1＞0，所以F（x）在R上单调递增，若x1＜x2，则F（x1）＜F（x2），即f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2，所以x1﹣x2＞f（x1）﹣f（x2），故A正确，B错误．C选项，F（0）＝f（0）﹣0＝﹣1，不等式f（x﹣1）＞x﹣2整理为f（x﹣1）﹣（x﹣1）＞﹣1，即F（x﹣1）＞F（0），因为F（x）单调递增，所以x﹣1＞0，x＞1，所以解集为（1，+∞），故C正确．D选项，不妨取f（x）＝2x﹣1，设g（x）＝f（x）﹣lnx＝2x﹣1﹣lnx，则，所以g（x）在上单调递减，在上单调递增，所以，即函数g（x）无零点，方程f（x）﹣lnx＝0无解，D错误．故选：AC．12．已知（1+2x）n（n∈N*）的展开式中第r+1项的二项式系数记为ar，系数记为br，r＝0，1，2，⋯，n，则下列结论正确的有（　　）A．当n＝2021时，ar≤a1009B．当n＝2021时，br≤b1347C．D．解：（1+2x）n（n∈N*）的展开式中，第r+1项的二项式系数ar＝，第r+1项的系数br＝•2r，r＝0，1，2，⋯，n，对于选项A：当n＝2021时，由二项式系数的性质知，a1010与a1011是最大项，故A错误；对于选项B：当n＝2021时，＝＝2•＝﹣2+，则当﹣2+＝1，即r＝1347时，b1348＝b1347，都是最大值，故B正确；对于选项C：∵（1+x）n＝，∴n（1+x）n﹣1＝，

10令x＝1得，n•2n﹣1＝＝，故C正确；对于选项D：∵（1+2x）n＝brxr，∴2n（1+2x）n﹣1＝rbrxr﹣1，令x＝1得，2n•3n﹣1＝rbr，故D正确；故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，则x的值为　4或6　．解：∵，∴x＝3x﹣8，或x+（3x﹣8）＝16，解得x＝4，或x＝6，故答案为：4或6．14．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系．其定理表述如下：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上的图象不间断，在开区间（a，b）内可导，那么在开区间（a，b）内至少有一个点ε（a＜ε＜b）使得等式f（b）﹣f（a）＝f'（ε）（b﹣a）成立，其中ε称为函数f（x）在闭区间[a，b]上的中值点，函数f（x）＝x+sinx在闭区间[0，π]上的中值点为　　．解：根据题意，设函数f（x）＝x+sinx在闭区间[0，π]上的中值点为m，函数f（x）＝x+sinx，其导数f′（x）＝1+cosx，则有f（π）﹣f（0）＝（1+cosm）（π﹣0），即cosm＝0，又由0≤m≤π，则m＝；故答案为：．15．在复数范围内，﹣4的所有平方根为　±2i　，并由此写出﹣4的一个四次方根　1+i　．解：在复数范围内，∵（±2i）2＝﹣4，故﹣4的所有平方根为±2i．∵﹣4＝4（cosπ+isinπ），故它的四次方根为（cos+isin），故它的一个四次方根（+i）＝1+i，故答案为：±2i；1+i．16．随机变量X的分布如表所示：

11X﹣1012Pab若，则D（X）＝　　．解：由分布列的性质可得，a+b＝1﹣＝①，∵，∴，即a+2b＝②，联立①②解得a＝，b＝，∴D（X）＝＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知复数z＝m+ni（m，n∈R）满足为纯虚数，z+4i为实数，其中i是虚数单位．（1）求实数m，n的值；（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．解：（1）由z＝m+ni（m，n∈R），得z+4i＝m+（n+4）i，＝＝＝+i，由题意可得，解得．（2）由（1）得＝﹣2+4i，则＝（﹣2+2a）+（a2﹣1）i，由题意可得，∴﹣1＜a＜1，∴实数a的取值范围为（﹣1，1）．18．已知（﹣）n的展开式中，第2项与第4项的二项式系数之比为1：12．（1）求正整数n的值；（2）求展开式中的常数项．解：（1）∵第2项与第4项的二项式系数之比为1：12，

12∴：＝1：12，即＝，化简可得n²﹣3n﹣70＝0，解得n＝10．（2）由（1）得二项式展开式的通项为Tr+1＝＝（﹣2）r，令＝0，则r＝2，∴常数项为第3项，即T3＝（﹣2）2＝180．19．新个体经济是中国经济社会数字化转型条件下出现的新生事物，指微商电商、网络直播、职业创作者等，如表是2021年1至4月份某市新增“微商电商”的统计数据：月份1234新增微商电商个数90105125140（1）请利用所给数据求新增微商电商个数y与月份x之间的线性回归方程，并预测该市2021年5月新增“微商电商”的个数（结果用四舍五入法保留整数）；（2）一般认为当|r|≥0.9时，线性回归方程的拟合效果非常好；当0.75≤|r|＜0.9时，线性回归方程的拟合效果良好．试问该线性回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由．附：，，，，，．解：（1）由表中数据可得，，，则＝，，

13故所求回归直线方程为，令x＝5，则．（2），，，r＝＝，故线性回归方程的拟合效果非常好．20．已知函数，m∈R．（1）当时，求函数y＝f（x）在区间[0，3]的最大值和最小值；（2）若f（x0）为f（x）的一个极值，求证：．解：（1），令f′（x）＝0，解得或x＝2，f′（x）在各区间上的正负，以及f（x）的单调性如下表所示，x02（2，3）3f′（x）+0﹣0+f（x）0单调递增单调递减单调递增所以当x＝2时，f（x）取得最小值；当x＝3时，f（x）取得最大值．（2）证明：因为f（x0）是f（x）的一个极值，所以f′（x）＝x2﹣2mx+1＝0有两个解，所以Δ＞0，即m2＞1，且，即，所以．

1421．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节，2021年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩ξ～N（μ，σ2），其分布密度函数，x∈R的最大值为，且P（ξ≤50）＝P（ξ≥70）．笔试成绩高于70分的学生进入面试环节．（1）求μ和σ；（2）从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率；（3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、．设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：若X～N（μ，σ2），则P（|X﹣μ|≤σ）≈0.6827，P（|X﹣μ|≤2σ）≈0.9545，0.8413510≈0.1777，0.9772510≈0.7944．解：（1）∵，∴，解得σ＝10，∵P（ξ≤50）＝P（ξ≥70），∴．（2）设“至少有一名学生进入面试”为事件A，∵μ＝60，σ＝10，∴P（ξ≤70）＝＝0.84135，∴P（A）＝1﹣0.8413510≈1﹣0.1777＝0.8223，故10人中至少有一人进入面试的概率0.8223．（3）X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X＝0）＝，P（X＝0）＝P（X＝1）＝+，P（X＝2）＝++，P（X＝3）＝+，P（X＝4）＝，∴E（X）＝+．22．已知函数f（x）＝lnx﹣x．

15（1）若函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝g（x），求证：f（x）≤g（x）；（2）若函数h（x）＝xe1﹣x+af（x）的最小值为2，求实数a的值．解：（1）证明：由f（x）＝lnx﹣x，得，函数f（x）的图象在点（x0，f（x0））处的切线方程为，即，∴，设，则，当x∈（0，x0）时，s'（x）＜0，s（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，s（x）＞0，s（x）单调递增，所以s（x）≥s（x0）＝0，即f（x）≤g（x）．（2）因为函数h（x）的最小值为2，所以h（1）＝1﹣a≥2，从而有a≤﹣1，又，设t（x）＝xe1﹣x+a，则t′（x）＝（1﹣x）e1﹣x，当x∈（0，1）时，t′（x）＞0，t（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，t′（x）＜0，t（x）单调递减，所以t（x）≤t（1）＝1+a≤0，故h（x）≥h（1）＝1﹣a＝2，解得a＝﹣1．