上海市大同中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学Word版含解析

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2020-2021学年上海市黄浦区大同中学高二(下)期末数学试卷一、填空题(共10小题).1.已知方程x2﹣(2i﹣1)x+3m﹣i=0有实数根,则实数m为  .2.f(n)=in+i﹣n(n∈N*),则{f(n)}=  .3.一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6,则此三棱锥的侧面积为  .4.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的高为  .5.若,则n等于  .6.已知复数z和ω满足|z|﹣=,且ω2=z,则复数ω=  .7.在半径为3的球面上有A、B、C三点,∠ABC=90°,BA=BC,球心O到平面ABC的距离是,则B、C两点的球面距离是  .8.已知甲射击的命中率为72%,乙射击的命中率为78%,两人的射击互不影响,这目标被击中的概率是  (精确到0.01).9.从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中随机选取一个数,它是奇数或3的倍数的概率是  .10.设x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为12,则的最小值为  .二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,将正确结论的代号写在相应的括号内.11.下列四个命题中真命题是(  )A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等,侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个12.已知某个几何体的三视图如图,根据图中的尺寸,可得这个几何体的体积是(  )

1A.B.C.2000cm3D.4000cm313.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”,根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据,一定符合该标志的是(  )A.甲地:总体均值为2,总体方差为3B.乙地:总体均值为3,中位数为4C.丙地:总体均值为1,总体方差大于0D.丁地:中位数为2,总体方差为314.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为(  )A.35B.50C.70D.100三、解答题(本大题满分0分)本大题共有5题,解答下列各题须写出必要的步骤.15.已知(+)n的展开式前三项中的系数成等差数列.(1)求n的值和展开式系数的和;(2)求展开式中所有x的有理项.16.(1)某外商计划在4个城市投资3个不同的项目,且在同一城市投资的项目不超过2个,求该外商不同的投资方案有多少种?(用数字作答)(2)某单位安排7位员工在10月1日至10月7日值班,每天1人,每人值班1天,求员工甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日的概率.17.已知复数z=a+bi(a,b∈R),若存在实数t,使=﹣3ati成立.(1)求证:2a+b为定值;(2)若|z﹣2|<a,求|z|的取值范围.18.如图,圆锥的顶点是S,底面中心为O,OC是与底面直径AB垂直的一条半径,D是母线SC的中点.

2(1)设圆锥的高为4,异面直线AD与BC所成角为,求圆锥的体积;(2)当圆锥的高和底面半径是(1)中的值时,求直线AB与平面ACD的所成角大小.19.四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,∠DAB=60°,PA=AB=AD=2,点E是棱PC上一点.(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面BDE;(Ⅱ)当E为PC中点时,求二面角A﹣BE﹣D的余弦值;(Ⅲ)若直线BE与平面PAC所成的角为45°时,求CE.

3参考答案一、填空题(本大题满分30分)本大题共10题,将结果直接写在相应的空格内.1.已知方程x2﹣(2i﹣1)x+3m﹣i=0有实数根,则实数m为  .解:设方程的实根为x0,则,∵x0、m∈R,∴方程变形为,由复数相等的充要条件得,解得.则实数m为.故答案为:.2.f(n)=in+i﹣n(n∈N*),则{f(n)}= {﹣2,0,2}. .解:因为f(n)=in+i﹣n(n∈N*),所以当n=4k时,f(n)=1+1=2;当n=4k+1时,f(n)=;当n=4k+2时,f(n)=;当n=4k+3时,f(n)=﹣i+i=0,故{f(n)}={﹣2,0,2}.故答案为:{﹣2,0,2}.3.一个高为1的正三棱锥的底面正三角形的边长为6,则此三棱锥的侧面积为 18 .解:由题意作出图形如图:因为三棱锥P﹣ABC是正三棱锥,顶点在底面上的射影D是底面的中心,在三角PDF中,∵三角形PDF三边长PD=1,DF=,∴PF=2则这个棱锥的侧面积S侧=3××6×1=18.故答案为:18.

44.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,则该圆锥的高为  .解:由题意一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面,因为4π=πl2,所以母线长为l=2,又半圆的弧长为2π,圆锥的底面的周长为2πr=2π,所以底面圆半径为r=1,所以该圆锥的高为h===.故答案为:.5.若,则n等于 14 .解:由,得.所以n+1=7+8=15.所以n=14.故答案为14.6.已知复数z和ω满足|z|﹣=,且ω2=z,则复数ω= 1+i或﹣1﹣i .解:设z=a+bi(a,b∈R),由|z|﹣=,得,∴,则a=0,b=2.∴z=2i.令ω=m+ni(m,n∈R),由ω2=z,得(m+ni)2=m2﹣n2+2mni=2i,∴,则m=n=1或m=n=﹣1.∴ω=1+i或﹣1﹣i.

5故答案为:1+i或﹣1﹣i.7.在半径为3的球面上有A、B、C三点,∠ABC=90°,BA=BC,球心O到平面ABC的距离是,则B、C两点的球面距离是 π .解:根据题意,∠ABC=90°,AC是小圆的直径.所以过球心O作小圆的垂线,垂足O’是AC的中点,|O′C|==,AC=3,则BC=OB=OC=3,则∠BOC=,故B、C两点的球面距离l=×3=π;故答案为:π.8.已知甲射击的命中率为72%,乙射击的命中率为78%,两人的射击互不影响,这目标被击中的概率是 0.94 (精确到0.01).解:∵目标被击中的对立事件是2人都没有命中目标,∴目标被击中的概率为:P=1﹣(1﹣0.72)(1﹣0.78)≈0.94.故答案为:0.94.9.从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中随机选取一个数,它是奇数或3的倍数的概率是  .解:这10个数中满足“是奇数或3的倍数”的有:1,3,5,6,7,9共6个,所以从中随机抽取一个是奇数或3的倍数的概率是=.故答案为:.10.设x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的值是最大值为12,则的最小值为  .解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大12,

6即4a+6b=12,即2a+3b=6,而=.故答案为:.二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,将正确结论的代号写在相应的括号内.11.下列四个命题中真命题是(  )A.同垂直于一直线的两条直线互相平行B.底面各边相等,侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个解:对于A,同垂直于一直线的两条直线不一定互相平行,故错;对于B,底面各边相等,侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱,不一定是正四棱柱,故错;对于C,两条异面直线的公垂线是唯一的,所以过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条,正确;对于D,过球面上任意两点的大圆有无数个,故错;故选:C.12.已知某个几何体的三视图如图,根据图中的尺寸,可得这个几何体的体积是(  )

7A.B.C.2000cm3D.4000cm3解:根据几何体的三视图转换为直观图为:该几何体为由两个底面边长为20和10的直角三角形,高为20的两个三棱锥构成的几何体;如图所示:所以:V==.故选:A.13.在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”,根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增病例数据,一定符合该标志的是(  )A.甲地:总体均值为2,总体方差为3B.乙地:总体均值为3,中位数为4C.丙地:总体均值为1,总体方差大于0D.丁地:中位数为2,总体方差为3解:对于A,当总体平均数为2,若有一个数据超过7,则方差就接近3,所以总计均值为2,总体方差为3时,没有数据超过7,故选项A正确;对于B,因为平均数和中位数不能限制某一天的病例不超过7,故选项B错误;

8对于C,当总体方差大于0,不知道总体方差的具体数值,因此不等确定数据波动的大小,故选项C错误;对于D,中位数为2,总体方差为3,则存在大于7的数,故选项D错误.故选:A.14.6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人,则不同的乘车方法数为(  )A.35B.50C.70D.100解:根据题意,假设两辆汽车为甲、乙,分3种情况讨论:①、甲车里坐2人,则乙车坐4人,有C62种坐法,②、甲车里坐3人,则乙车坐3人,有C63种坐法,③、甲车里坐4人,则乙车坐2人,有C64种坐法,则不同的乘车方法有C62+C63+C64=50种;故选:B.三、解答题(本大题满分0分)本大题共有5题,解答下列各题须写出必要的步骤.15.已知(+)n的展开式前三项中的系数成等差数列.(1)求n的值和展开式系数的和;(2)求展开式中所有x的有理项.解:(1)根据题意,(+)n的展开式的通项为Tr+1=∁nr()n﹣r()r,其系数为×∁nr,其第一项的系数为∁n0=1,第二项的系数为∁n1=,第三项的系数为∁n2=,若其展开式前三项中的系数成等差数列,则2×=1+,解可得:n=8或n=1,又由n≥3,则n=8,在(+)8中,令x=1可得:(+)8=()8=;(2)由(1)的结论,n=8,则(+)8的展开式的通项为Tr+1=C8r()8﹣r()r=×C8r,

9当r=0时,有T1=x4,当r=4时,有T5=x,当r=8时,有T9=x﹣2;则展开式中所有x的有理项为x4,x,x﹣2.16.(1)某外商计划在4个城市投资3个不同的项目,且在同一城市投资的项目不超过2个,求该外商不同的投资方案有多少种?(用数字作答)(2)某单位安排7位员工在10月1日至10月7日值班,每天1人,每人值班1天,求员工甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日的概率.解:(1)有两类不同的投资方法:①从4个候选城市中选择3个城市,各投资1个项目,则有4×3×2=24种投法;②从4个候选城市中只选择2个城市分别投资1个项目、2个项目,再从3个项目中选一个项目投到1个城市,则有3×4×3=36种投法.综上所述,该外商不同的投资方案有24+36=60种;(2)由题意,员工甲、乙排在相邻两天的排法共有=1440种,其中员工甲、乙排在相邻两天,丙排在10月1日的排法有种,故员工甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日的排法共有1440﹣240=1200种,总的排法有种,故员工甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日的概率为=.17.已知复数z=a+bi(a,b∈R),若存在实数t,使=﹣3ati成立.(1)求证:2a+b为定值;(2)若|z﹣2|<a,求|z|的取值范围.解:(1)证明:∵复数z=a+bi(a、b∈R),若存在实数t使a﹣bi=﹣3ati成立,则ta﹣tbi=2+(4﹣3at2)i,可得ta=2,﹣tb=4﹣3at2,∴﹣b•=4﹣3a•,即﹣2b=4a﹣12,化简可得2a+b=6,即2a+b为定值.(2)若|z﹣2|<a,则<a,∴a>0,且<a.化简可得(a﹣2)(a﹣5)<0,求得2<a<5.

10而|z|===,故当a=时,|z|取得最小值为,当a趋于5时,|z|趋于最大值.综上可得,|z|的取值范围为[,).18.如图,圆锥的顶点是S,底面中心为O,OC是与底面直径AB垂直的一条半径,D是母线SC的中点.(1)设圆锥的高为4,异面直线AD与BC所成角为,求圆锥的体积;(2)当圆锥的高和底面半径是(1)中的值时,求直线AB与平面ACD的所成角大小.解:(1)以点O为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,因为高为4,则,S(0,0,4),所以,因为异面直线AD与BC所成角的余弦值为,则,解得r=2,所以圆锥的体积=;(2)由(1)可得,A(0,﹣2,0),B(0,2,0),D(1,0,2),C(2,0,0),所以,设平面ACD的法向量为,则,取x=1,则,

11所以=,故直线AB与平面ACD的所成角大小为arcsin.19.四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是平行四边形,∠DAB=60°,PA=AB=AD=2,点E是棱PC上一点.(Ⅰ)求证:平面PAC⊥平面BDE;(Ⅱ)当E为PC中点时,求二面角A﹣BE﹣D的余弦值;(Ⅲ)若直线BE与平面PAC所成的角为45°时,求CE.【解答】(Ⅰ)证明:∵底面ABCD是平行四边形,∠DAB=60°,AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,∴PA⊥BD,又BD⊥AC,PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC,又BD⊂平面BDE,∴平面PAC⊥平面BDE.(Ⅱ)解:设AC∩BD=O,以O为原点,以OA、OB、平面ABCD过点O的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系O﹣xyz,如图所示,则A(,0,0),B(0,1,0),C(﹣,0,0),D(0,﹣1,0),P(,0,2),∴E(0,0,1),

12∴=(﹣,1,0),=(0,﹣1,1),=(0,2,0),设平面ABE的法向量为=(x1,y1,z1),则,即,令x1=1可得=(1,,),设平面BDE的法向量为=(x2,y2,z2),则,即,令x2=1可得=(1,0,0),∴cos<>===,∴当E为PC中点时,二面角A﹣BE﹣D的余弦值为.(Ⅲ)解:由(I)知BD⊥平面PAC,∴∠BEO为BE与平面PAC所成的角,即∠BEO=45°,∴OE=OB=1,在△PAC中,PA=2,AC=2,故PC==4,∴cos∠PCA==,在△OCE中,由余弦定理可得cos∠ECO===,解得CE=1或CE=2.

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