天津市新华中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(解析版)

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2021级高二年级第一学期期末学习情况反馈数学试题本试卷分为第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共100分,用时90分钟.将自己的姓名、准考号填写在答题卡上.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第I卷注意事项:1.每题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如雷改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共9题,每题4分,共36分.在每题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.一、单选题(本大题共9小题,共36.0分)1.数列,,,,…的第10项是(  )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据数列的前几项,归纳处数列的通项公式,即可求解数列的第10项,得到答案.【详解】由题意,根据数列,可求得数列的通项公式,所以数列的第10项为,故选C.【点睛】本题主要考查了归纳数列的通项公式,其中根据数列的前几项,找出数列的数字排布规律,得出数列的通项公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.2.设函数,当自变量由改变到时,函数的改变量是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据自变量对应的函数值,得出函数值的改变量.第13页/共13页学科网(北京)股份有限公司

1【详解】自变量由改变到当时,当时,故选:D【点睛】本题主要考查了平均变化率,属于基础题.3.准线方程为的抛物线的标准方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】试题分析:由题意得,抛物线,可得,且开口向左,其准线方程为.故选B.考点:抛物线的几何性质.4.数列满足,则()A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】根据数列的递推关系式,推断出数列是周期为的数列,从而可得的值.【详解】数列满足,所以,,,,,……第13页/共13页学科网(北京)股份有限公司

2所以数列是周期为的数列,则.故选:C.5.在等比数列中,、是方程的两根,则的值为()AB.3C.D.【答案】B【解析】【分析】利用韦达定理可得,,从而得到,,即可得到,再根据等比数列下标和性质计算可得;【详解】解:因为、是方程的两根,所以,,所以,,又为等比数列,则,所以,所以或(舍去),所以故选:B6.已知双曲线的右焦点到抛物线的准线的距离为,点是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,则双曲线的标准方程为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由抛物线方程结合双曲线的几何性质即可求解.【详解】将代入抛物线方程,可得,则抛物线方程为,准线方程为,又双曲线右焦点到抛物线的准线的距离为,则,又,第13页/共13页学科网(北京)股份有限公司

3可得,所以双曲线方程为.故选:D.7.已知函数的图象如图所示,则其导函数的图象大致形状为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快,结合导数的几何意义判断即可.【详解】由f(x)的图象可知,函数f(x)先单调递增的速度由快到慢,再由慢到快,由导数的几何意义可知,先减后增,且恒大于0,故符合题意的只有选项A.第13页/共13页学科网(北京)股份有限公司

4故选:A8.已知函数,则A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据分式的求导法则求解即可.【详解】因为,故.故选:C【点睛】本题主要考查了导数的分式运算,属于基础题.9.已知双曲线的右焦点为,左、右顶点分别为,,若以线段为直径的圆与该双曲线的渐近线在第一象限内的交点为P,O为坐标原点,,则双曲线的离心率为A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】过点作轴于,根据三角形中的长度关系得到,得到离心率.【详解】过点作轴于,根据题意知:双曲线的离心率故答案选B【点睛】本题考查了双曲线的离心率,意在考查学生的计算能力.第13页/共13页学科网(北京)股份有限公司

5第II卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本物共9题,共64分.二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)10.已知数列是等差数列,是其前n项和.若,则的值是_____.【答案】16.【解析】【分析】由题意首先求得首项和公差,然后求解前8项和即可.【详解】由题意可得:,解得:,则.【点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题,是高考必考内容,解题过程中要注意应用函数方程思想,灵活应用通项公式、求和公式等,构建方程(组),如本题,从已知出发,构建的方程组.11.已知双曲线C:一个焦点是,则它的离心率为______.【答案】##【解析】【分析】根据题意求出即可得出离心率.【详解】由题可得,所以,所以离心率.故答案为:.12.设等比数列的前n项和为,公比为q,若,,则________.【答案】1或【解析】第13页/共13页学科网(北京)股份有限公司

6【分析】利用等比数列的通项公式列出方程组即可解出答案.【详解】∵∴或.故答案为:1或.13.已知函数导函数为,且满足关系式,则的值等于_______.【答案】【解析】【分析】对两边求导可得:,对赋值为可得:,问题得解.【详解】因为,所以令,则有:,解得:所以故答案为【点睛】本题主要考查了函数求导公式及赋值方法,考查方程思想及计算能力,属于中档题.14.已知直线与直线平行,且与曲线相切,则直线的方程是______.【答案】(或)【解析】【分析】由题意可知,直线的斜率为,对函数求导,由求得切点的坐标,再利用点斜式可求得直线的方程.【详解】直线的斜率为,由于直线与直线平行,则直线的斜率为,第13页/共13页学科网(北京)股份有限公司

7对函数求导得,令,解得或(舍去),所以切点的坐标为.故直线的方程为,即故答案为:(或).15.已知数列是各项均不为零的等差数列,为其前项和,且,若不等式对任意恒成立,则实数的最小值是_____________.【答案】2【解析】【分析】利用等差数列的前项和公式及等差数列的性质求得,用裂项相消法求得不等式左边的和,然后不等式化简为,求得的最大值后解相应不等式可得结论.【详解】是等差数列,则,,∴,,所以所以由不等式对任意恒成立,得,,易知是递减数列,因此它的最大项是第一项为,,.所以的最小值是2.故答案为:2.三、解答题(本大题共3小题,共34.0分.解答写出文字说明,证明过程或演算步骤,拍照上传)第13页/共13页学科网(北京)股份有限公司

816.数列的前项和,已知,.(1)证明:是等比数列;(2)证明:.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据,把递推关系化成数列前后两项间的关系,从而判断是否是等比数列.(2)根据递推关系及(1)中结论求得与间的关系.【详解】(1),所以,即有,故所以是等比数列,首项为1,公比为2.(2)由(1)可知,所以,又因,所以,因此又因为,因此【点睛】方法点睛:通过,构造出新数列的前后两项关系,从而证明相关关系.17.双曲线离心率为,抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点在双曲线的顶点上.(1)求抛物线C的方程;(2)过M(-1,0)的直线l与抛物线C交于E,F两点,又过E,F作抛物线C的切线l1,l2,当l1⊥l2时,求直线l的方程.【答案】(1)x2=4y(2)x-y+1=0第13页/共13页学科网(北京)股份有限公司

9【解析】【分析】(1)根据离心率得到a=1,再计算双曲线的焦点为(0,1),得到抛物线方程.(2)设直线l的方程为y=k(x+1),E(x1,y1),F(x2,y2),求导得到y′=x,根据韦达定理得到,计算得到答案.【详解】(1)双曲线的离心率e==,又a>0,所以a=1,双曲线的顶点为(0,1),所以抛物线的焦点为(0,1),又p>0,所以=1,所以抛物线方程为x2=4y.(2)由题知直线l的斜率必存在.设直线l的方程为y=k(x+1),E(x1,y1),F(x2,y2).因为y=x2,所以y′=x,所以切线l1,l2的斜率分别为,当l1⊥l2时,·=-1,所以.由得x2-4kx-4k=0,并Δ=(-4k)2-4(-4k)>0,所以k<-1或k>0.①由根与系数的关系得,所以k=1,满足①即直线l的方程为x-y+1=0.【点睛】本题考查了抛物线方程,直线和抛物线的位置关系,意在考查学生的计算能力.18.已知等比数列的公比,且满足,,数列的前项和,.(1)求数列和的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1);;(2).【解析】【分析】(1)根据题干已知条件可列出关于首项与公比的方程组,解出与的值,即可计算出数列第13页/共13页学科网(北京)股份有限公司

10的通项公式,再根据公式进行计算可得数列的通项公式;(2)先分为奇数和为偶数分别计算出数列的通项公式,在求前项和时,对奇数项运用裂项相消法求和,对偶数项运用错位相减法求和,最后相加进行计算即可得到前项和.【详解】(1)依题意,由,,可得,因为,所以解得,,,,对于数列:当时,,当时,,当时,也满足上式,,.(2)由题意及(1),可知:当为奇数时,,当为偶数时,,令,,则,,,第13页/共13页学科网(北京)股份有限公司

11两式相减,可得,,,,,.【点睛】关键点点睛:第二问中当为奇数时,求出,并对进行裂项为是解题关键,本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的运算,以及数列求和问题.考查了方程思想,分类讨论思想,转化与化归能力,整体思想,裂项相消法和错位相减法求和,以及逻辑推理能力和数学运算能力.本题属中档偏难题.第13页/共13页学科网(北京)股份有限公司

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