湖南省株洲市第二中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（解析版）

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株洲市二中教育集团2022年高一年级下学期期末考试数学试卷时量：120分钟分值：150分一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则的子集的个数是（）A.15B.8C.7D.16【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质，结合子集个数公式进行求解即可.【详解】因为，所以由，所以的子集的个数是，故选：D2.已知，，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由条件结合充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当时，若，则，故充分性不成立.当时，若，则，故必要性不成立，所以“”是“”的既不充分又不必要条件.故选：D3.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将以坐标原点O为圆心的圆的周长和面积同时平分的函数称为此圆的“优美函数”，则下列函数中一定是“优美函数”的为（）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

1A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可知优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，再分别检验四个选项即可得出正确选项.【详解】根据优美函数的定义可知，优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，对于A，不是奇函数，A选项错误；对于B，不是奇函数，B选项错误；对于C，的定义域为，且是奇函数，C项正确；对于D，的定义域为，所以图像不经过坐标原点，D选项错误；故选：C．4.己知函数，则函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式的性质，结合复合函数的定义域性质进行求解即可.【详解】由，于是有，故选：C5.下列函数中，以为最小正周期且在区间上单调递减的是（）A.B.C.D.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

2【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的最小正周期、单调性对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A选项，对于函数，由得，所以不满足“区间上单调递减”，A选项错误.B选项，对于函数，根据函数的图象可知，函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递减，符合题意，B选项正确.C选项，对于函数，其在区间上单调递增，不符合题意，C选项错误.D选项，对于函数，最小正周期，不符合题意，D选项错误.故选：B6.函数的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

3【详解】因为，定义域为R所以所以为奇函数，且，排除CD当时，，即，排除A故选：B.7.若，，，则、、的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】借助中间量比较大小即可.【详解】解：由题知，，，所以，即.故选：D8.函数，若互不相等，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用三角函数、对数函数的图像和性质，画出函数的图像，再利用图像数形结合即可发现、、间的关系和范围，最后求得所求范围.【详解】函数的图像如图所示：第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

4设，由函数图像数形结合可知：，，．故选：C．二、多项选择题：（本题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知，则下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】先求得的关系式，然后对选项逐一分析，从而确定正确答案.【详解】由于，所以，A选项，由于，所以，所以A选项错误.B选项，当时，，所以B选项错误.C选项，由于，所以，所以C选项正确.D选项，在上递减，，所以，所以D选项正确.故选：CD10.下列各式中，值为的是（）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

5A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据诱导公式，结合两角和的正弦公式、正切公式逐一判断即可.【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B正确：对于C，，故C正确；对于D，，故D错误；故选：ABC11.设函数（），则下列叙述正确的是（）A.的最小正周期为B.的图象关于直线对称C.在上的最小值为D.的图象关于点对称【答案】ABD【解析】【分析】根据正弦型函数的周期公式、对称性、最值逐一判断即可.【详解】∵，∴，又，∴，∴；对于A，的最小正周期，A正确；对于B，因为，所以的图象关于直线对称，B正确；对于C，当时，，则当，即时，，C第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

6错误；对于D，当时，，此时，∴的图象关于点对称，D正确.故选：ABD12.已知函数对都有，且函数的图像关于点对称，当时，，则下列结论正确的是（）A.B.在区间上单调递减C.是上的奇函数D.函数有6个零点【答案】ACD【解析】【分析】先分析清楚函数的单调性，对称性和周期性，再逐项分析.【详解】对都有，则，即函数是周期函数，周期为4；令，依题意有，即，令，则有，所以是奇函数，，C正确；又，令，则有，关于直线对称；当时，，当时，，对于A，，A正确；对于B，因函数在上递增，函数的周期为4，则在上递增，B错误；对于D，函数的零点，即函数与图像交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数与的部分图像，如图，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

7因函数的最大值为1，而当时，，因此函数与图像的交点在内，观察图像知，函数与图像在内只有6个交点，所以函数有6个零点，D正确；故选：ACD.三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.函数的图象恒过定点P，P在幂函数的图象上，则___________.【答案】64【解析】【分析】由题意可求得点，求出幂函数的解析式，从而求得.【详解】令，则，故点；设幂函数，则，则；故；故答案为：64.14.若正实数、，满足，则最小值为______.【答案】2【解析】【分析】求得的关系式，然后结合基本不等式求得正确答案.【详解】正数满足，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

8所以，当且仅当时等号成立.故答案为：15.已知，则______.【答案】0【解析】【分析】根据诱导公式进行求解即可.【详解】故答案为：16.已知函数（，）在区间上单调，且满足.（1）若，则函数的最小正周期为______.（2）若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为______.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）由题可得对称中心，根据三角函数的性质结合条件判断的大概取值范围，再结合条件可得函数的对称轴即可得到的值从而得出最小正周期；（2）根据函数的对称中心及的大概取值范围，结合三角函数的图象可得，从而解出.【详解】因为函数在区间上单调，且满足，∴对称中心为，代入可得，，①第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

9∵在区间上单调，且对称中心为，又∵，，∴在区间上单调，∴，，即，∴.（1）∵，∴关于对称，代入可得，，②①－②可得，，即，，又，∴，；（2）∵对称中心为，∴，∵在区间上恰有5个零点，∵相邻两个零点之间的距离为，五个零点之间即，六个零点之间即，∴只需即可，所以，又∵，∴.故答案为：；.四、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17.计算：（1）；第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

10（2）【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质，结合对数换底公式进行求解即可；（2）根据诱导公式，结合两角和正弦公式进行求解即可.【小问1详解】；【小问2详解】.18.已知全集，集合，.（1）当时，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）先求出集合、，进而求出，再根据集合间的并集运算即可；（2）由可得，分和两种情况讨论即可求解.【小问1详解】由，所以，即，所以，当时，，全集，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

11所以或，所以或.【小问2详解】因为，所以，当时，满足，所以，解得；当时，则，解得.综上所述，的取值范围是.19.已知，.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据诱导公式化简整理，上下同除，计算即可得答案.（2）根据题意及的范围，可求得的值，根据两角差的余弦公式，可得的值，进而可得的值，根据两角和的正切公式，可得的值，即可得答案.【小问1详解】∵，∴，解得.【小问2详解】第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

12∵，∴，且，∴，∴，∴，则，∴，又∵，∴.20.已知函数.（1）求函数的最小正周期、单调增区间及对称中心；（2）求函数在上的值域.【答案】（1）；，；，（2）【解析】【分析】（1）先化简函数，可得，再结合正弦函数的性质求解即可；（2）根据正弦函数的性质求解即可.【小问1详解】，即.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

13所以函数的最小正周期.令，，即，所以的单调递增区间，.令，，解得，所以对称中心，.【小问2详解】由（1）知：，当，，即，所以在上的值域为.21.已知函数为奇函数，.（1）求的值；（2）判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；（3）若存在，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）在上单调递减，证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，求出参数的值，再代入检验即可；（2）根据指数函数的单调性结合条件可得函数的单调性，再利用定义法证明即得；（3）根据函数的奇偶性与单调性得到在有解，然后根据二次函数的性质即得.【小问1详解】因为的定义域为R，又为奇函数，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

14所以，即，解得，所以，则，所以为奇函数，故；【小问2详解】在R上单调递减，证明：设任意的，且，所以，又因为，在上单调递增，所以，即，且，所以，即，所以在上单调递减；【小问3详解】因为是定义在上的奇函数，所以，因为函数在上单调递减，所以，因为存在，不等式有解，即在有解，因为，所以，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

15即实数取值范围为.22.函数，，记，且为偶函数.（1）求常数的值；（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围；（3）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，即可求出常数的值；（2）将不等式恒成立，转化为恒成立，利用换元法和基本不等式求出的最大值，即可得实数的取值范围；（3）将函数与的图象有且只有一个公共点，转化为仅有一解，设，依题意只有一个正实根，分类讨论a的不同情况，即可求出实数的取值范围.【小问1详解】由题意可知，，，为偶函数，，即，，，，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

16.【小问2详解】由（1）得，条件，即：，，设，令，当且仅当，即时等式成立，，即；【小问3详解】依题意：，即仅有一解，则即，故设，依题意只有一个正实根.当时，，（舍）当时，方程有一正根，一负根，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

17由，得.当时，方程有两个相等正根.由，得，即，其中，当时，符合题意；当时，不符合题意.综上所述，实数的取值范围是【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

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