湖南省永州市第一中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题（解析版）

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永州市一中2022年高一上学期阶段性考试数学试卷考生注意：1.本试题共4页.时量120分钟，满分150分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号填入相应位置内.2.客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的签字笔书写在答题卷上.考试结束时，只交答题卷，试卷请妥善保管.一、单选题（本题包括8小题，每题5分，共40分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合A、B，再去求，进而求得【详解】，，所以，所以．故选：B．2.命题“存在实数，使”的否定为（）A.存在实数，使B.对任意一个实数，都有C.对任意一个实数，都有D.存在实数，使【答案】C【解析】【分析】利用特称命题的否定可得出结论.【详解】命题“存在实数，使”为特称命题，该命题的否定为“对任意一个实数，都有”.故选：C.3.中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将以坐标原点O为圆心的圆的周长和面积同时平分的函数称为此圆的“优美函数”，则下列函数中一定是“优美函数”的为（）第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

1A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可知优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，再分别检验四个选项即可得出正确选项.【详解】根据优美函数的定义可知，优美函数的图像过坐标原点，图像关于坐标原点对称，是奇函数，对于A，不奇函数，A选项错误；对于B，不是奇函数，B选项错误；对于C，的定义域为，且是奇函数，C项正确；对于D，的定义域为，所以图像不经过坐标原点，D选项错误；故选：C．4.下列四个函数：①，②，③，④，其中定义域和值域相同的函数有（）A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】B【解析】【分析】分别求出四个函数的定义域和值域即可求解.【详解】对于①：由一次函数的性质可知定义域为，值域为；定义域和值域相同，故①符合题意；对于②：根据分段函数性质可知：分段函数的定义域为，当时，的值域为，当时，的值域为，因此分段函数的值域为；定义域和值域相同，故②符合题意；第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

2对于③：由可得，所以的定义域为，，当时，在上单调递增，此时值域为，当时，在上单调递减，此时值域为，所以的值域为，定义域和值域不同，故③不符合题意；对于④：由可得，所以的定义域为，，因为，所以，即，所以的值域为，定义域和值域相同，故④符合题意；定义域和值域相同的函数有①②④，有个.故选：B.5.已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合幂函数的图象与性质，运用函数的单调性解不等式.【详解】根据幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数可知且为奇数，又，故，代入得，，由的单调性得，解得：故选：B6.函数的图象是（）A.B.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

3C.D.【答案】B【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定.【详解】解：，因为，所以是偶函数，故排除AD，当时，令，得或，当或时，，当时，，故选：B7.已知函数在区间上的最小值为，则a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据二倍角得余弦公式化简，从而问题可转化为在区间上有解，再分，和三种情况讨论即可得出答案.【详解】解：，因为函数在区间上的最小值为，所以在区间上有解，当时，由，得，则有，解得，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

4当时，，与题意矛盾，当时，由，得，则有或，解得，综上a的取值范围为.故选：A.8.已知函数，，函数有4个不同的零点且，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】令，得，问题转化为，有4个不同的根，即函数与函数有4个不同的交点，分别作出与的图像，利用二次函数与对数函数的图像性质，计算可得答案.【详解】，令，得，函数有4个不同的零点，即有4个不同的根；根据题意，作出的图像，如图明显地，根据二次函数和对数函数的性质，有，，因为，故，令，得或，故，又因为，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

5则，整理得故的取值范围为.故选：B二、多选题（本题包括4小题，每题5分，共20分）9.如图是某市夏季某一天的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则下列说法正确的是（）A.该函数的周期是16B.该函数图象的一条对称轴是直线C.该函数的解析式是D.这一天的函数关系式也适用于第二天【答案】ABC【解析】【分析】由题意以及函数的图象可求，的值，可求周期的值，即可判断A，利用三角函数周期公式可求，由图象经过点，结合范围，可求的值，得解函数解析式即可判断BC，由题意判断D选项即可得解．【详解】解：由题意以及函数的图象可知，，，解得，．，，所以A正确；，，．图象经过点，，，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

6，，，所以BC正确；这一天的函数关系式只适用于当天，第二天这个关系式不一定适用，故D错误．故选：ABC10.若，，则（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由，得，再利用对数运算公式对进行，，运算，从而可判断各选项.【详解】由，得，则，选项A错误；，选项B正确，选项D错误；，，，，选项C正确.故选：BC.11.已知，，其中，为锐角，以下判断正确的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据同角关系可求，根据配凑角的方式即可求解B,根据积化和差即可求解C，根据弦切互化即可求解D.【详解】因为，，其中，为锐角，故第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

7所以：，故A正确；因为，所以，故B错误；可得，故C正确；可得，所以，故D错误．故选:AC12.已知奇函数，恒成立，且当时，，设，则（）A.B.函数为周期函数C.函数在区间上单调递减D.函数的图像既有对称轴又有对称中心【答案】BCD【解析】【分析】由与的关系式及的周期性、奇偶性，即可求和判断的周期，进而判断A和B；利用奇函数性质求在上的解析式，结合的周期性及求上的解析式判断C，利用对称性判断、是否成立判断D.【详解】因为，所以，，又为奇函数，故，利用，可得，故的周期为4；因为周期为4，则的周期为4，又是奇函数，所以，A错误，B正确；当时，，因为为奇函数，故时，，因为恒成立，令，此时，，则，，故时，，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

8令，即，则，即；令，即，则，即；令，即，，所以，根据周期性在上的图像与在相同，所以，当，即时，，故在上单调递减，C正确；由是周期为4的奇函数，则且，所以，故关于对称，，所以关于对称，D正确.故选：BCD三、填空题（本题包括4小题，每题5分，共20分）13.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.【答案】120【解析】【分析】利用扇形的面积公式求解.【详解】由题意得：扇形的弧长为30，半径为8，所以扇形的面积为：，故答案为：12014.已知正实数满足，那么的最大值为_________．【答案】##【解析】【分析】由题意和基本不等式可得，解不等式即可求出．【详解】∵，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

9∴，整理可得，解得，∴当且仅当即且时取等号，∴的最大值为，故答案为：．15.已知函数f（x）＝|sinx|﹣cosx，给出以下四个命题：①f（x）的图象关于y轴对称；②f（x）在[﹣π，0]上是减函数；③f（x）是周期函数；④f（x）在[﹣π，π]上恰有三个零点．其中真命题的序号是_____．（请写出所有真命题的序号）【答案】①③【解析】【分析】求函数的奇偶性即可判断①；结合取值范围，可去绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，从而可求单调性即可判断②；由f（x+2π）＝f（x）可判断③；求[﹣π，0]上的解析式，从而可求出该区间上的零点，结合函数的奇偶性即可判断[﹣π，π]上零点个数.【详解】解：对于①，函数f（x）＝sinx﹣cosx的定义域为R，且满足f（﹣x）＝f（x），所以f（x）是定义域在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，①为真命题；对于②，当x∈[﹣π，0]时，sinx≤0，，对于，，所以在[﹣π，0]上先减后增，那么f（x）在[﹣π，0]上先增后减，②为假命题；对于③，因为f（x+2π）＝|sin（x+2π）|﹣cos（x+2π）＝|sinx|﹣cosx＝f（x），函数f（x）是周期为2π的周期函数，③为真命题；对于④，当x∈[﹣π，0]时，sinx≤0，，且，f（x）在[﹣π，0]上恰有一个零点是，又由①知道f（x第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

10）是定义在R上的偶函数，所以在（0，π]上有一个零点是，则④为假命题．故答案为:①③.【点睛】关键点睛：在判断命题②④时，关键是结合自变量取值范围去掉绝对值号，结合辅助角公式求出函数的解析式，再结合正弦函数的性质进行判断.16.已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】由恒成立和能成立的思想可将问题转化为，利用复合函数单调性的判断方法可知在上单调递减，由此得到；分别讨论、和的情况，根据一次函数单调性确定，由可解不等式求得的范围.【详解】对任意的，总存在，使得成立，；，在上单调递减，单调递增，在上单调递减，；当时，，则，满足题意；当时，在上单调递减，，，解得：；当时，在上单调递增，，，解得：；综上所述：实数的取值范围为.故答案为：.四、解答题（本题包括6小题，共70分）17.集合.（1）求；（2）在①，②，③条件是第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

11的充分不必要条件，这三个条件中任选一个填到横线上，并解答.已知__________，求实数的取值范围.注：如果选择多个条件作答，按第一个解答计分.【答案】（1）（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）解不等式求得，由此求得.（2）根据所选条件，对分类讨论，列不等式来求得的取值范围.【小问1详解】，解得，所以.，解得，所以.所以.【小问2详解】由（1）得.若选①，则或，解得或，所以的取值范围是.若选②，则或或，解得，所以的取值范围是.若选③条件是的充分不必要条件，则Ü,则或，且等号不同时成立解得或，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

12所以的取值范围是.18.已知函数，.（1）求的最小正周期及单调递减区间；（2）若在区间上的最大值为3，求m的最小值.【答案】（1）；单调递减区间是；（2）.【解析】分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（2）由（1）知，由的取值范围，求出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）由己知，有，所以的最小正周期：.由，得的单调递减区间是.（2）由（1）知，因为，所以.要使在区间上的最大值为3.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

13即在区间的最大值为1.所以.即所以m的最小值为.【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．19.某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，先准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系式为（0≤x≤15），若距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需10万元，铺设路面每千米成本为4万元．设为建造宿舍与修路费用之和．（1）求的表达式；（2）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值．【答案】（1）；（2）宿舍应建在离工厂km处，可使总费用最小，最小值为65万元．【解析】【分析】（1）根据距离为时，测算宿舍建造费用为20万元，可求的值，由此，可得的表达式；（2），利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：（1）由题意可知，距离为10km时，测算宿舍建造费用为20万元，则，解得k=900，所以，则；（2）因为，当且仅当，即时取等号，此时总费用最小．答：宿舍应建在离工厂km处，可使总费用最小，最小值为65万元．【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

14（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方20.已知函数，将函数向右平移个单位得到的图像关于y轴对称且当时，取得最大值.（1）求函数的解析式：（2）方程在上有4个不相等的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦函数的平移变换结合图像和性质求解即可；（2）利用正弦函数的图像和一元二次函数根与系数的关系求解即可.【小问1详解】函数向右平移个单位可得，因为关于轴对称，所以解得，因为，所以或，又因为当时，取得最大值，所以解得，综上，所以.【小问2详解】令，由（1）得当时，，由正弦函数的图像可得当时有两个解，第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

15所以要使方程有4个不相等的实数根，则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根且两根都在区间内，所以，且，解得.21.设函数是定义R上的奇函数．（1）求k的值；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围；（3）设，求在上的最小值，并指出取得最小值时的x的值．【答案】（1）1；（2）；（3）最小值为，此时.【解析】【分析】（1）根据题意可得，即可求得k值，经检验，符合题意；（2）有解，等价为，利用二次函数图象与性质，即可求得答案；（3）由题意，令，可得t的范围，整理可得，，利用二次函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）因为是定义域为R上的奇函数，所以，所以，解得，所以，当时，，所以为奇函数，故；（2）有解，所以有解，所以只需，因为（时，等号成立），第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

16所以；（3）因为，所以，可令，可得函数t在递增，即，则，可得函数，，由为开口向上，对称轴为的抛物线，所以时，取得最小值，此时，解得，所以在上的最小值为，此时．【点睛】解题的关键熟练掌握二次函数的图象与性质，并灵活应用，处理存在性问题时，若，只需，若，只需，处理恒成立问题时，若，只需，若，只需，考查分析理解，计算化简的能力属中档题.22.如图，直线，点是之间的一个定点，过点的直线垂直于直线，（为常数），点分别为上的动点，已知.设（）.（1）求面积关于角的函数解析式；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用三角函数表示各个边长的关系,再用梯形的面积减去两个直角三角形表达出即可.(2)由(1)有第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

17,将正切值用正弦除以余弦表示,再利用三角函数的和差角二倍角与辅助角公式化简成再求最值即可.【详解】（1）由题意,,∴,在中,,,,在中,.∴的面积,∴的面积,∴梯形的面积.∴.（2）令.∴当时,即时,取得最小值,第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司

18此时取得最小值.【点睛】本题主要考查了三角函数求解几何图形中的关系的方法.同时也考查了三角函数的公式以及最值的方法等.属于难题.第19页/共19页学科网（北京）股份有限公司