高考数学精编　变化率与导数、导数的计算.doc

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计时双基练十三　变化率与导数、导数的计算A组　基础必做1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)解析　f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)。答案　C2．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(　　)A．2B．6C．－2D．4解析　由图可知，f(5)＝3，f′(5)＝－1，因此f(5)＋f′(5)＝2。答案　A3．设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于(　　)A．－1B.C．－2D．2解析　∵y′＝，∴y′|x＝＝－1，由条件知＝－1，∴ a＝－1，故选A。答案　A4．下面四个图像中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图像，则f(－1)＝(　　)A.B．－C.D．－或解析　∵f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，∴f′(x)的图像开口向上，则②④排除。若f′(x)的图像为①，此时a＝0，f(－1)＝；若f′(x)的图像为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(－1)＝－。答案　D5．(2015·保定调研)已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)A．eB．－eC.D．－解析　y＝lnx的定义域为(0，＋∞)。设切点为(x0，y0)，则k＝f′(x0)＝，∴切线方程为y－y0＝(x－x0 )，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y0＝1，则x0＝e，∴k＝f′(x0)＝＝。答案　C6．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N＋，则f2016(x)等于(　　)A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx解析　∵f1(x)＝sinx＋cosx，∴f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sinx－cosx，∴f4(x)＝f3′(x)＝－cosx＋sinx，∴f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2016(x)＝f4(x)＝sinx－cosx，故选B。答案　B7．已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝________。解析　∵f(x)＝2xf′(1)＋lnx，∴f′(x)＝[2xf′(1)]′＋(lnx)′＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，即f′(1)＝－1。答案　－18．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y ＋3＝0平行，则a＋b的值是________。解析　y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－。由题意得解得则a＋b＝－3。答案　－39．(2015·开封调研)若函数f(x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________。解析　∵f(x)＝x2－ax＋lnx，∴f′(x)＝x－a＋。∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，∴x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(x>0)。答案　[2，＋∞)10．求下列函数的导数。(1)y＝x·tanx；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)。解　(1)y′＝(x·tanx)′＝x′tanx＋x(tanx)′＝tanx＋x·′＝tanx＋x·＝tanx＋。(2)y′＝(x＋1)′[(x＋2)(x＋3)]＋(x＋1)[(x＋2)(x＋3)]′＝(x＋2)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋12x＋11。 11．已知函数f(x)＝x3＋x－16。(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程。解　(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上。∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13。∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32。(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8，∴x0＝－2。∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13。∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)。(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率k＝4。设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1。∴或 切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18。即y＝4x－18或y＝4x－14。B组　培优演练1．已知f(x)＝x2＋sin，则f′(x)的图像是(　　)解析　解法一：f(x)＝x2＋sin＝x2＋cosx，故f′(x)＝x－sinx，记g(x)＝f′(x)，其定义域为R，且g(－x)＝(－x)－sin(－x)＝－＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以排除B、D两个选项。又当x＝时，g＝×－sin＝－1<0，故排除C，选A。解法二：同解法一排除B，D两个选项。g′(x)＝－cosx，显然当x∈时，g′(x)<0，g(x)在上单调递减，故排除C，选A。 答案　A2．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数。记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数。以下四个函数在上不是凸函数的是(　　)A．f(x)＝sinx＋cosxB．f(x)＝lnx－2xC．f(x)＝－x3＋2x－1D．f(x)＝x·ex解析　由凸函数的定义可得该题即判断f(x)的二阶导函数f″(x)的正负。对于A，f′(x)＝cosx－sinx，f″(x)＝－sinx－cosx，在x∈上，恒有f″(x)<0；对于B，f′(x)＝－2，f″(x)＝－，在x∈上，恒有f″(x)<0；对于C，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x，在x∈上，恒有f″(x)<0；对于D，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝ex＋ex＋xex＝2ex＋xex，在x∈上，恒有f″(x)>0。答案　D3．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于(　　)A．－1或－B．－1或 C．－或－D．－或7解析　设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－，当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1，所以选A。答案　A4．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0。(1)求f(x)的解析式；(2)曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值。解　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3。当x＝2时，y＝。又f′(x)＝a＋，于是解得故f(x)＝x－。(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)， 即y－＝(x－x0)。令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为。令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)。所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6。故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值为6。