变化率与导数导数的计算

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1、变化率与导数导数的计算caobxyde温馨提示:请点击相关栏目。整知识·萃取知识精华整方法·启迪发散思维考向分层突破一考向分层突破二1．有关导数的基本概念整知识考点•分类整合结束放映返回导航页(4)(理)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u•u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切

2、线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．结束放映返回导航页2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝结束放映返回导航页3.导数的运算法则结束放映返回导航页导数运算的技巧整方法考点•分类整合(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用

3、运算法则求导数；(2)对于不具备求导法则结构形式的，要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误．(3)(理)求复合函数时，要正确分清函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程．熟悉复合函数的求导过程后，不必再设出中间变量．结束放映返回导航页1．f(x)＝x(2013＋lnx)，若f′(x0)＝2014，则x0＝(　)A．e2B．1C．ln2D．e考向分层突破一：导数的计算解析：f′(x)＝2013＋lnx＋x×＝2014＋l

4、nx，故由f′(x0)＝2014得2014＋lnx0＝2014，则lnx0＝0，解得x0＝1.答案：　B结束放映返回导航页2．求下列函数的导数：(1)y＝x2sinx；解析：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx；(2)y＝3xex－2x＋e；(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3•ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)•(3e)x－2xln2；(3)y＝结束放映返回导航页(4)y＝(1＋sinx)2.(4)设u＝1＋sinx，则y＝(1＋s

5、inx)2，由y＝u2与u＝1＋sinx复合而成．∴y′＝f′(u)•u′＝2u•cosx＝2(1＋sinx)•cosx.结束放映返回导航页导数计算的方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导．归纳升华[提醒]求导前应利用代数、三角恒等变形将函数先化简，然后求导，这样可以减少

6、运算量，提高运算速度，减少差错．结束放映返回导航页例1(1)(2014•全国卷Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)A．0　　B．1C．2D．3考向分层突破二：导数的几何意义又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.解析：　(1)令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.结束放映返回导航页(2)根据题意可知切点坐标为(0，－1)，f′(x)＝故切线的斜率为k＝f′(0)＝＝－2，则直线的方程为y－(－1)＝(－2)(

7、x－0)⇒2x＋y＋1＝0，故填2x＋y＋1＝0.(2)(2014•广东肇庆一模)曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为________．结束放映返回导航页同类练1．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值等于(　　)A．2B．－1C．1D．－2由此解得k＝2，a＝－1，b＝3,2a＋b＝1，选C.答案：　C解析：　依题意得：y＝x3＋ax＋b的导数y′＝3x2＋a，则结束放映返回导航页同类练2．(2014•北京东城一模)曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_________．解析：　对函数y＝xex

8、＋2x＋1求导数得y′＝(x＋1)ex＋2，当x＝0时，y′＝3，因此曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)