变化率与导数、导数的计算(V)

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1、第二章函数、导数及其应用第十一节变化率与导数、导数的计算抓基础明考向提能力教你一招我来演练[备考方向要明了]怎么考1.导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般不单独命题，而在考查导数应用的同时进行考查．2.导数的几何意义是高考重点考查的内容，常与解析几何知识交汇命题．3.多以选择题和填空题的形式出现，有时也出现在解答题中关键的一步.一、导数的概念1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(1)定义：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

2、，即f′(x0)＝＝.＝(2)几何意义：函

3、数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点处的．(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为．(x0，f(x0))切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)2．函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝axf′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝0nxn－1cosx－sinxaxlnaex原函数导函数f(

4、x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝三、导数的运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝；2．[f(x)·g(x)]′＝；f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)［理］四、复合函数的导数设u=v（x）在点x处可导，y=f（u）在点u处可导，则复合函数f［v（x）］在点x处可导，且f′（x）=，即y′x=.f′（u）·v′（x）y′u·u′x解析：由题意知y′＝ex，故所求切线斜率k＝ex

5、x＝0＝e0＝1答案：A解析：由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)

6、＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．答案：A3．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝x′cosx＋x(cosx)′－cosx＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案：B5．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*.若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．答案：211．函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重

7、视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别与联系(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．一质点运动的方程为s＝8－3t2.(1

8、)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法)．[冲关锦囊][例2](2011·江西高考)若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)[答案]C答案：D3．(2012·济南一中质检)函数y＝x5·ax(1≠a>0)的导数是()A．5x4·axlnaB．5x4·ax＋x5·axlnaC．5x4·ax＋x5·axD．5x4·ax＋x5·axlogax解析：y＝x5ax，y′＝(x5)′ax＋x5(

9、ax)′＝5x4·ax＋x5·axlna.答案：B[冲关锦囊]求函数的导数时，要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算的形式，再利用运算法则求导数．对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形；对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出错，此时，可将解析式进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数．但必须注意变形的等价性，避免不必要的运算失误.[精析考题][例3](2011·山东高考)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．15[答案]C[自主解答

10、]y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.若例3变为