变化率与导数导数计算

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1、一、选择题1．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)A．4x－y－3＝0　　　　　　B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0解析：y′＝4x3＝4，得x＝1，即切点为(1,1)．所以过该点的切线方程为y－1＝4(x－1)．整理得4x－y－3＝0.答案：A2．(2011·山东高考)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是(　　)A．－9　　B．－3C．9D．15解析：y′＝3x2，故曲线在点P(1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y－12＝3(x－1)，令x＝0得y＝9.答案：C3．(2011·重庆高考)曲

2、线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　)A．y＝3x－1B．y＝－3x＋5C．y＝3x＋5D．y＝2x解析：依题意得，y′＝－3x2＋6x，y′

3、x＝1＝－3×12＋6×1＝3，即所求切线的斜率等于3.故所求直线的方程是y－2＝3(x－1)，整理得y＝3x－1.答案：A4．(2011·湖南高考)曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为(　　)A．－B.C．－D.解析：y′＝＝，把x＝代入得导数值为.答案：B5．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝(　　)A．1B.C．－D．－1解析：∵y′＝2ax，∴y′

4、x＝1＝2a.即y＝ax2在点

5、(1，a)处的切线斜率为2a.直线2x－y－6＝0的斜率为2.∵这两直线平行，∴它们的斜率相等，即2a＝2，解得a＝1.答案：A6．(2011·湖北高考)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝(　　)A．5太贝克B．75ln2太贝克C．150ln2太贝克D．150太贝克解析：因为M′(t)＝－M02－·ln2，所以

6、M′(30)＝－M0ln2＝－10ln2.所以M0＝600.所以M(t)＝600×2.所以M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．答案：D二、填空题7．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________.解析：∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)．即f′(1)＝－2.∴f′(x)＝2x－4.∴f′(0)＝－4.答案：－48．(2012·启东中学模拟)已知函数f(x)＝－x3＋ax－4(a∈R)，若函数y＝f(x)的图像在点P(1，f(1))处的切线的倾斜角为，则a＝________.解析：f′(x)＝－3x2＋a，y＝f(x)的图像在点P

7、处的切线的倾斜角为，即f′(1)＝tan，∴－3＋a＝1.解得a＝4.答案：49．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．解析：∵点(2，e2)在曲线上，∴切线的斜率k＝y′

8、x＝2＝ex

9、x＝2＝e2.∴切线的方程为y－e2＝e2(x－2)．即e2x－y－e2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e2)，(1,0)，∴S△＝×1×e2＝.答案：三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝；解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)法一：y′＝＝＝.法二：∵y＝＝1＋，∴y′＝1

10、′＋()′，即y′＝.11．(文)设曲线C：y＝－lnx(0＜x≤1)在点M(e－t，t)(t≥0)处的切线为l.(1)求直线l的方程；(2)若直线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S(t)，求S(t)的最大值．解：(1)∵y′＝(－lnx)′＝－(0＜x≤1)，∴在点M(e－t，t)处的切线l的斜率为－et，故切线l的方程为y－t＝－et(x－e－t)，即etx＋y－1－t＝0.(2)令x＝0，得y＝t＋1；再令y＝0，得x＝.∴S(t)＝(t＋1)＝(t＋1)2e－t(t≥0)．从而S′(t)＝e－t(1－t)(1＋t)．∵当t∈[0,1)时，S′(t)>0；当t∈(1，＋∞)时，S

11、′(t)<0，∴S(t)的最大值为S(1)＝.11．(理)已知曲线f(x)＝e2x－1在点A处的切线和曲线g(x)＝e－2x－1在点B处切线互相垂直，O为坐标原点且·＝0，求△AOB的面积．解：f′(x)＝e2x－1·(2x－1)′＝e2x－1，g′(x)＝e－2x－1·(－2x－1)′＝－e－2x－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴y1＝e2x1－1，y2＝e－2x1－1，f′(x1)＝e2x1－1，g′(x2)＝－e－