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《变化率与导数、导数的计算(III)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§3.1变化率与导数、导数的计算第三编导数及其应用要点梳理1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为，若Δx=x2-x1,Δy=f（x2）-f（x1），则平均变化率可表示为.基础知识自主学习2.函数y=f（x）在x=x0处的导数（1）定义称函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率=为函数y=f（x）在x=x0处的导数，记作f′（x0）或y′
2、x=x0，即f′(x0)==.（2）几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f（x）上点处的.相应地，切线方程为.(x0,f(x0))切线的斜率y-y0=f′(x0)(x-x0
3、)3.函数f(x)的导函数称函数f′(x)=为f（x）的导函数，导函数有时也记作y′.4.基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x）=cf′(x)=f(x)=xn(n∈Q*)f′(x)=f(x)=sinxf′(x)=f(x)=cosxf′(x)=f(x)=axf′(x)=cosx0-sinxaxlna(a＞0)nxn-1ex5.导数运算法则（1）［f（x）±g(x)］′=;(2)［f(x)·g(x)］′=;(3)′=(g(x)≠0).f(x)=exf′(x)=f(x)=logaxf′(x)=f(x)=lnxf′(x)=(a＞0,且a≠1)f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)
4、g′(x)基础自测1.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+Δx，2+Δy），则为（）A.Δx++2B.Δx--2C.Δx+2D.2+Δx-解析∵Δy=（1+Δx）2+1-12-1=(Δx)2+2Δx,∴=Δx+2.C2.设正弦函数y=sinx在x=0和x=附近的平均变化率为k1,k2,则k1,k2的大小关系为（）A.k1＞k2B.k1＜k2C.k1=k2D.不确定解析∵y=sinx,∴y′=(sinx)′=cosx,k1=cos0=1，k2=cos=0，∴k1＞k2.A3.曲线y=x3-3x2+1在点（1，-1）处的切线方程为（）A.y=3x-4B.y=-3x+2C
5、.y=-4x+3D.y=4x-5解析由y′=3x2-6x在点（1，-1）的值为-3，故切线方程为y+1=-3(x-1)，即y=-3x+2.B4.若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)＞-f(x)恒成立，且常数a,b满足a＞b,则下列不等式一定成立的是（）A.af(b)＞bf(a)B.af(a)＞bf(b)C.af(a)＜bf(b)D.af(b)＜bf(a)解析令g(x)=xf(x),∴g′(x)=xf′(x)+f(x)＞0.∴g(x)在R上为增函数，∵a＞b,∴g（a)＞g(b),即af(a)＞bf(b).B5.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾
6、斜角的取值范围是[0，]，则点P横坐标的取值范围为（）A.B.［-1，0］C.［0，1］D.解析∵y=x2+2x+3，∴y′=2x+2.∵曲线在点P(x0,y0)处切线倾斜角的取值范围是[0,],∴曲线在点P处的切线斜率0≤k≤1.∴0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤.A题型一利用导数的定义求函数的导数【例1】求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.紧扣定义进行计算.解思维启迪题型分类深度剖析探究提高求函数f（x）平均变化率的步骤：①求函数值的增量Δf=f（x2）-f（x1）；②计算平均变化率解这类题目仅仅是简单套用公式，解答过程相对简单，只要注意运算过程就可以了.知能迁移1利用导
7、数定义，求函数在x=1处的导数.解方法一（导数定义法）方法二（导函数的函数值法）题型二导数的运算【例2】求下列函数的导数.（1）y=2x3+x-6；（2）y=；（3）y=(x+1)(x+2)(x+3)；（4）y=-sin(1-2cos2）；（5）.如式子能化简的，可先化简，再利用导数公式和运算法则求导.思维启迪解（1）y′=6x2+1.(3)方法一y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.方法二y′=［(x+1)(x+2)］′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′=［(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′］(x+3)+(x+1
8、)(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.求函数的导数要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复合运算，再利用运算法则求导数.在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣求导法则，联系基本函数求导公式.对于不具备求导法则结构形式的要适当恒等变形，如（3）小题;对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使求导过程繁琐冗长，且易出
