《变化率与导数导数的计算》---学生.doc

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1、《变化率与导数、导数的计算》基础知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

2、x＝x0，即f′(x0)＝＝.(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝为f(x)的导函数．[探究]　1.f′(

3、x)与f′(x0)有何区别与联系？2．曲线y＝f(x)在点P0(x0，y0)处的切线与过点，y0)的切线，两种说法有区别吗？3．过圆上一点P的切线与圆只有公共点P，过函数y＝f(x)图象上一点P的切线与图象也只有公共点P吗？2．几种常见函数的导数原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′

4、(x)＝3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．基础自测1．(教材习题改编)f′(x)是函数f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值为(　　)A．0　　　B．3C．4D．－2．曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为(　　)A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0C．x－y＋2＝0D．x－y－2＝03．y＝x2cosx的导数是(　　)A．y′＝2xcosx＋x2sinxB．y′＝2xcosx－x2s

5、inxC．y＝2xcosxD．y′＝－x2sinx4．(教材习题改编)曲线y＝在点M(π，0)处的切线方程是________．5．(教材习题改编)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.题型分类·深度剖析题型一导数的计算[例1]　求下列函数的导数(1)y＝(1－)；(2)y＝；(3)y＝tanx；(4)y＝3xex－2x＋e.互动探究若将本例(3)中“tanx”改为“sin”如何求解？探究提高：求函数的导数的方法(1)求导之前，应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简，然后求导

6、，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但可在求导前利用代数或三角恒等变形将其化简为整式形式，然后进行求导，这样可以避免使用商的求导法则，减少运算量．变式训练1．求下列函数的导数(1)y＝；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝＋；(4)y＝.题型二导数的几何意义[例2]　(1)(2012·辽宁高考)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．(2)已知曲线y＝x3＋.①求曲线

7、在点P(2,4)处的切线方程；②求斜率为4的曲线的切线方程．互动探究若将本例(2)①中“在点P(2,4)”改为“过点P(2,4)”如何求解？探究提高：1．求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．2．求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．变

8、式训练2．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．题型三导数几何意义的应用[例3]　已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x－lnx存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是(　　)A.　　　B.C.D.探究提高：导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0

9、，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不