吉林省长春市博硕学校（原北京师范大学长春附属学校）2022-2023学年高一上学期期中考试数学（解析版）

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北师大长春附属学校2022—2023学年度高一年级上学期期中考试数学试卷考试时间：90分钟满分：120分一、单选题1.，，（）.A.{1，2}B.{3，4，5}C.{1，2，3，4，5，6，7}D.{6，7}【答案】B【解析】【分析】根据交集的定义求交集即可.详解】A＝{1，2，3，4，5}，B＝{3，4，5，6，7}，则A∩B＝{3，4，5}.故选：B.2.已知集合，则集合的真子集的个数为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先化简集合，得到集合的元素个数，继而可以得到真子集的个数.【详解】不等式可化，集合，所以集合中的元素个数为9，故其真子集的个数为个，故选：.3.若，则的取值范围是（）A.B.C.(0，4)D.(0，10)【答案】B【解析】【分析】求出，，由不等式的性质即可得出答案.【详解】∵，∴，∵，，∴.故选：B.第10页/共10页学科网（北京）股份有限公司

14.如图是函数的图象，则不等式的解集为（）A.B.C.或D.【答案】C【解析】【分析】由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.【详解】由二次函数图象可得：若，则或，故不等式的解集为或.故选：C.5.设，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据指数和对数函数单调性，结合临界值即可判断出大小关系.详解】，.故选：B.6.函数过定点（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数恒过点，令，即得解.【详解】由于函数恒过点，令，则，，故函数恒过定点.故选：C7.设，则的值是（）第10页/共10页学科网（北京）股份有限公司

2A.4B.2C.0D.【答案】A【解析】【分析】由分段函数解析式，结合有，即周期为2，得即可求值.【详解】由题设，.故选：A8.已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（）A.0B.2021C.D.【答案】D【解析】【分析】先由偶函数的性质求得，再由求得，由此得到的解析式，观察所求式子容易考虑的值，求之可解得结果.【详解】因为是偶函数，所以，即，解得，所以，又因为，所以，解得，所以．因为，所以．故选：D．二、多选题9.下列计算正确的有（）第10页/共10页学科网（北京）股份有限公司

3A.B.C.D.已知，则【答案】CD【解析】【分析】利用指数幂运算、根式与有理数指数幂互化，对各选项化简求值.【详解】A：，错误；B：，错误；C：，正确；D：，正确.故选：CD10.已知是定义在上的奇函数，当时，，则（）A.B.函数为奇函数C.D.当时，【答案】AC【解析】【分析】根据定义在上的奇函数性质可判断A；利用奇函数的定义来判断B;根据奇函数满足可判断C和D【详解】对于A，因为是定义在上的奇函数，所以，故A正确；对于B，由是定义在上的奇函数可得，所以，所以为偶函数，故B不正确；对于C和D，令，则，所以，所以，所以，故C正确，D不正确，故选：AC11.下列命题中，为真命题的是（）第10页/共10页学科网（北京）股份有限公司

4A.若，则B.若，，则C.若，，则D.若，则【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性质逐个判断各个选项即可.【详解】对于A，若，则，故A错误.对于B，若，则，，即，故B正确.对于C，取，故C错误.对于D，若，则=，因为，所以，所以，即，故D正确.故选：BD12.一元二次方程有正数解的充分不必要条件可以是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据题意参变分离可得当时，有解，又时所以，故当取负数时为充分不必要条件，即可得解.【详解】若一元二次方程有正数解，即当时，有解，而当时，即，故当取负数时，为一元二次方程有正数解的充分不必要条件，故选：BD三、填空题13.设表示集合，表示集合，已知且，则____.【答案】【解析】【分析】依题意可得，解得，再代入中检验即可.第10页/共10页学科网（北京）股份有限公司

5【详解】解：因为，所以，解得或，当时，，不符合题意，舍去；当时，，符合题意，所以.故答案为：14.若是奇函数，则a＝__．【答案】##【解析】【分析】由已知结合奇函数的定义即可求解．【详解】解：因为是奇函数，所以，即，整理得当时，符合题意故答案为：．15.数学家狄里克雷对数学分析和数学物理有突出贡献，是解析数论的创始人之一．函数，称为狄里克雷函数．则____．【答案】6【解析】【分析】从所给的值中找出所有的有理数，可求得结果．【详解】故答案为：6．16.某次全程为长跑比赛中，选手甲总共用时为，前一半时间以速度匀速跑，后一半时间以速度匀速跑：乙前一半路程以速度匀速跑，后一半路程以速度匀速跑：若，则__________先到达终点（填“甲”或“乙”）.第10页/共10页学科网（北京）股份有限公司

6【答案】甲【解析】【分析】设乙选手总共用时，根据题意表示出，然后与作差，比较大小，即可得到结果【详解】由题意可知对于选手甲，，则，，设选手乙总共用时，则对于选手乙，，则，，即，即甲先到达终点，故答案为：甲四、解答题17.计算：（1）．（2）．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】利用指数、对数的运算性质可得解.【小问1详解】【小问2详解】.18.已知集合，.（1）若，求；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.第10页/共10页学科网（北京）股份有限公司

7【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）确定集合,求得集合B,以及其补集，根据交集运算即可求得答案;（2）根据是的充分不必要条件，可得Ü,从而可得关于m的不等式，求得答案.【小问1详解】当时，，或，则，故；【小问2详解】若是的充分不必要条件，则Ü,故，即实数的取值范围是.19.某企业投资万元购入一套垃圾处理设备.该设备维护费用（万元）与使用时间（年）之间满足函数关系，此外该设备每年的运转费用是万元.（1）求该企业使用这套设备年的年平均垃圾处理费用（万元）；（2）该企业使用这套设备几年年平均垃圾处理费用最低？最低是多少万元？【答案】（1）.（2）10年，最低费用（万元）【解析】【分析】（1）由垃圾处理费用的构成即可求得关于的解析式；（2）利用基本不等式即可求得最小值.【小问1详解】由题意可知：使用年的垃圾处理费用=投资费用+维护费用+运转费用，使用这套设备年，维护费用为，运转费用为，投资万元，故有.【小问2详解】由基本不等式可得：，第10页/共10页学科网（北京）股份有限公司

8当且仅当，，即时取等号.即该企业使用这套设备10年，年平均费用最低，最低费用为（万元）.20.已知函数，（1）判断函数在上的单调性并证明；（2）若集合，对于都有，求实数的取值范围．【答案】（1）单调递减，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）依题意可得，根据反比例函数的性质判断函数的单调性，再利用单调性的定义证明即可；（2）由（1）中函数的单调性求出集合，依题意都有，参变分离可得，对恒成立，根据函数的单调性求出，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】解：在上单调递减，证明：设，则，又由，则，，，则，故函数在上单调递减；【小问2详解】解：由（1）可得在上单调递减，又、，所以，因为都有，即都有，所以，对恒成立，第10页/共10页学科网（北京）股份有限公司

9令，，因为在上单调递减，所以，所以.第10页/共10页学科网（北京）股份有限公司