初中数学公切线练习题

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专题9数形结合秒杀公切线秒杀秘籍：第一讲公切线的几何探秘y=f(x)与y=g(x)是否有公切线，决定它们公切线条数的是由函数凹凸性和共单调区间交点。凹凸性相同的两曲线，在两个曲线f(x)>0,g(x)>0时，两个函数均为凹函数，且f(x)>0,g(x)>0时均在递增区间，如图1，若y=f(x)与y=g(x)无交点，可以类比圆的外公切线，当小圆内含于大圆时，无公切线；若y=f(x)与y=g(x)有唯一交点时，如图2，可以类比于当小圆与大圆内切时，有唯一的外公切线；若y=f(x)与y=g(x)有两个交点时，如图3，可以类比于当小圆与大圆相交时，有两条外公切线；图1无公切线图2有一条公切线图3两条公切线考点1切线与一曲线的切点已知，且与另一曲线相切，求另一曲线方程【例1】（2017•许昌二模）已知函数yx1lnx在点A(1,2)处的切线l，若直线l与二次函数2yax(a2)x1的图象也相切，则实数a的取值为（）A．12B．8C．0D．41【解析】yx1lnx的导数为y'1，曲线yx1lnx在x1处的切线斜率为k2，则曲线x2yx1lnx在x1处的切线方程为y22x2，即y2x．由于切线与曲线yax(a2)x1相切，222yax(a2)x1可联立y2x，得axax10，又a0，两线相切有一切点，所以有a4a0，解得a4．故选D．x【例2】已知函数fxxeaa0，且yfx的图象在x0处的切线l与曲yex相切，符合情况的切线有（）A．0B．1C．2D．3xx1【解析】函数fxxea的导数为fx1ea,a0，易知,曲线y=f(x)在x=0处的切线l的斜率a11x为1-,切点为(0,−1)，可得切线的方程为y1x1假设l与曲线y=e相切,设切点为(x0,y0)，即aa，有ex0=1-1=1-1x-1，消去a得ex0=ex0x-1,设hx=xex-ex-1，则h¢x=xex令h¢x>000()()()，则x>0aa所以h(x)在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增，当x®-¥，h(x)®-1，x®+¥，h(x)®+¥，所以ex0>11x0h(x)在(0,+∞)有唯一解,则，而a>0时,1-<1与e>1矛盾，不存在．故选A.axxx法二：特值法，取a=1，f(x)=x-e，fx1e,f00,而ye0，故不存在切线l．318

1学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数秒杀秘籍：公切线的几何探秘图4无公切线图5有一条公切线图6有两条公切线同理，凹凸性不同的两条曲线，在两个曲线f(x)>0为凹函数，g(x)<0为凸函数时，且f(x)>0,g(x)>0均在递增区间，如图4，若y=f(x)与y=g(x)有两个交点，可以类比圆的内公切线，当两圆相交时，无内公切线；若y=f(x)与y=g(x)有唯一交点时，如图5所示，可以类比于当两圆外切时，有唯一的内公切线．若y=f(x)与y=g(x)无交点时，如图6所示，可以类比于当两圆相离时，有两条内公切线．公切线定理代数表达：当yfx与ygx具有公切线时，设直线与yfx切于点x1,fx1,与ygx切于点x2,gx2,fx0gx0①当yfx与ygx切于同一点，设切点为Px,y，则有00fx0gx0②当yfx与ygx为平行曲线，即gxfxab，则有fx1fx2bbfx1fx2xxa12③公切线方程的等量关系fx1gx2，求参数取范围或者切点的取值范围．fx1gx2xx12考点2平行曲线公切线问题两平行曲线由于曲率相同，通常单调性单一的两曲线仅有一个交点，故只有一条公切线，类比于两圆的单边外公切线模型．f(x1)=f(x2+a),\x1=x2+a根据切线方程y2-y1=k(x2-x1)f(x2+a)-b-f(x1)=f¢(x1)(x2-x1)b-b=-af(x1)Þf(x1)=k=a图7凸函数图8凹函数【例3】（2018•邹城期中）若直线ykxb是曲线ylnx3的切线，也是曲线yln(x2)的切线，则实数b的值是（）319

2学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数23A．2lnB．2ln6C．2ln6D．2ln32【解析】根据题意，设ykxb与ylnx3的切点为(x，lnx3)，与yln(x2)的切点为(x，ln(x2))；1122111对于ylnx3，其导数y，则切线的斜率y|，切线的方程为y(lnx3)(xx)，即xx111xxx1111111yx(lnx3)1；对于yln(x2)，其导数y，则切线的斜率y|，，1xx2x1x2x22x1x22x422xx22则，则2；解可得x，x；则b(lnx3)12ln；故选A．12211x23332xx2【例4】（2018•青山月考）若直线ykxb与曲线C:y3e和曲线C:ye同时相切，则b（）1293311A．lnB．2ln2C．lnD．3ln322222【解析】根据题意，设直线直线ykxb与曲线xmx2C:y3e相切于(m,3e)，与曲线C:ye相切12于点(n,en2)，曲线C:y3exyex，则有|mm，其导数ye，则在点(m,3e)处切线的方程为1xmy(3em)em(xm)，即mm(3m)x2x2y|en2，则yexmee，曲线C2:ye，其导数ye，则有xn在(n,en2)处切线的方程为yen2en2(xn)，即n2n2n2emen2，则有mn2，yexnee，则有又由mem(3em)nen2en2，则有n233n2n2933e，则nln2，则bneeln；故选A．22222考点3两曲线公共点公切线问题当yfx与ygx切于同一点，设切点为Px,y，则有fx0gx0，从而确定参数的取值范围．00fx0gx02【例5】（2018•攀枝花期末）若曲线yax与曲线ylnx在它们的公共点处具有公共切线，则实数a的值为（）111A．B．C．eD．2e2e212【解析】yax，y2ax，ylnx，y，曲线yax与曲线ylnx在它们的公共点设为x1211P(s,t)处具有公共切线，2as，tas，tlns，t，se，a，故选A．s22e【例6】（2017•太原一模）设函数322fxx2ax(a0)与gxalnxb有公共点，且在公共点处的切线方2程相同，则实数b的最大值为（）11213A．B．eC．D．2222ee2e2aa2【解析】设公共点坐标为x0,y0,则f'x3x2a,g'x,所以有f'x0g'x0，即3x02a,xx0322解出x0a(x03a舍去),又y0fx0gx0,所以有x02ax0alnx0b,故2320

3学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数322122bx02ax0alnx0b,所以有baalna,对b求导有b'2a1lna，故b关于a的函数在2211110,为增函数,在,为减函数，所以当a时b有最大值2,故选A.eee2e122【例7】（2014•盐城期末）设点P为函数fxx2ax与gx3alnx2ba0图象的公共点，以P为2切点可作直线l与两曲线都相切，则实数b的最大值为（）33222343A．e4B．e4C．e3D．e3323423a【解析】设yfx与ygxx0在公共点Px0,y0处的切线相同，f'xx2a,g'x，由x221223a3a题意fx0gx0,f'x0g'x0，即x02ax03alnx02b,x02a，由x02a得x0a或2x0x01222522522x3a（舍去），即有2ba2a3alnaa3alna，令htt3tlntt0，则0222110te3时，h't0；当t13lnt0，即te3时，h't0，h't2t13lnt，于是当t13lnt0，即11123故ht在0,e3为增函数，在e3,为减函数，于是ht在0,的最大值为he3e3，故b的223最大值为e3，故选D.4考点4两曲线公切线存在性判断和参数取值范围问题2x【例8】（2018•高安期末）若曲线C:yaxa0与曲线C:ye（其中无理数e2.718)存在公切线，12则整数a的最值情况为（）A．最大值为2，没有最小值B．最小值为2，没有最大值C．既没有最大值也没有最小值D．最小值为1，最大值为22xx2x【解析】由yax，得y2ax，由ye，得ye，曲线C:yax与曲线C:ye存在公共切线，12ex2ax2设公切线与曲线C切于点(x，ax2)，与曲线C切于点(x，ex2)，则x21，可得2xx2，111222ax1e21xx21xx111x1e2e2e2(x2)a，记f(x)，则f(x)，当x(,2)时，f(x)0，f(x)递减；当x(2,)时，22x2x4x122eef(x)0，f(x)递增．当x2时，f(x)．a的范围是[，)，则整数a的最小值为2，无min44最大值．故选B．图9图10321

4学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数2x秒杀解法：由于C1:yaxa0与曲线C2:ye均为凹函数，故根据图9和图10可知，先求出C1与C2公2x2e共点的公切线，即2ax=e0=axÞx=2,a=，若C与C要有两个交点，则抛物线开口越小时成立，0001242e开口大时将没有交点，与题意不符合，故a³，故选B．4【例9】（2018•北京模拟）若两曲线2yx1与yalnx1存在公切线，则正实数a的取值范围是．22a【解析】两曲线yx1与yalnx1存在公切线，yx1的导数y2x，yalnx1的导数为y，x222设yx1相切的切点为(n,n1)与曲线yalnx1相切的切点为(m,alnm1)，y(n1)2n(xn)，即2aay2nxn1，y(alnm1)(xm)，即：yxaalnm1mma22naaa2m2aalnm，a0，21lnm，即m(1lnm)有解即可，令n21a1alnm4m4m4221g(x)x(1lnx)，y2x(1lnx)x()x(12lnx)0，可得xe，g(x)在(0,e)是增函数；(e，xeae)是减函数，g(x)的最大值为：g(e)，又g(0)0，0，0a2e．故答案为(0，2e]．242图11图12ìa2ï2x0=ìx=e秒杀解法：如图11，找到yx1与yalnx1相切于同一点的情况，即xÞ0，由02îa=2eïîx-1=alnx-100于两函数是一凹一凸，故类比于两圆的内公切线原理，两曲线相离时，有两条公切线，如图12所示，故曲线yalnx1要更加平缓，根据几何性质即可知道0a2e．通常，曲线y=af(x)越陡，则系数a越大，曲线y=af(x)越缓，则系数a越小，类比二次函数图像即可得知．考点5不切于同一点的两曲线，已知公切线切一曲线的范围，求切于另一条曲线的范围．fx1gx2公切线方程的等量关系：fxgx12xx1222【例10】已知曲线yx1在点P(x,x+1)处的切线为l，若l也与函数ylnx,x0,1的图象相00切，则x0满足()（其中e2.71828...）A．1x2B．2xeC．ex3D．3x2000022【解析】设fx02x0，所以切线l的方程为yx012x0xx0，整理为：y2x0xx01，同1时直线l也是函数ylnx,x0,1的切线，设切点为x1,lnx1，所以切线方程为ylnx1xx1，整x1322

5学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数112x0理为yxlnx11，直线方程是同一方程（如图13），那么x1，x01,，整理为x12x01lnx1121222x01ln1，即x01ln2x01x0ln2x020，设gxxln2x2(x1)，2x0212x1gx2x0，所以函数gx在1,是单调递增，g10,g22ln2220，xxgeeln2e20，g33ln2321ln230，g24ln420，即g3g20，所以x03,2，故选D.图13图142xx,x0【例11】（2017•鄂尔多斯期中）已知函数f(x)1的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线,x0xyf(x)在这两点处的切线重合，则点A的横坐标的取值范围可能是（）111A．(，0)B．(1,)C．(，1)D．(1,2)222211【解析】当x0时，f(x)xx的导数为f(x)2x1；当x0时，f(x)的导数为f(x)，2xx设A(x，f(x))，B(x，f(x))为该函数图象上的两点，且xx，当xx0，或0xx时，1122121212f(x)f(x)，故x0x，当x0时，函数f(x)在点A(x，f(x))处的切线方程为12121112x0y(xx)(2x1)(xx)；当时，函数f(x)在点B(x，f(x))处的切线方程为1111222111221y2(xx2)．两直线重合的充要条件是22x11①，x1②，由x10x2得01，x2x2x2x2x21414111由①②可得x12x110，设f(x)x2x1，由f()0，f(0)10，可得x1(，0)，4426425221A可能；由f(1)0，B不正确；由①可得x21，由②可得x1，即有x28，则C，D不4x24正确．故选A．秒杀解法：如图14，易知曲线位于分段的两个区间，且两段属于一凹一凸模型，故可以类比两圆相离时的1内公切线，两区间一定属于同一单调区间，x>0时，f(x)=-属于单调增区间，故当x<0时，x21f(x)=x+x的单调增区间为-,0，根据图像，A可以位于此区间，另一个点B所在区间®+¥，不好2把握，故选A．323

6学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数2l【例12】（2018•葫芦岛一模）若对于函数f(x)1n(x1)x图象上任意一点处的切线，在函数1g(x)asinxcosxx的图象上总存在一条切线l，使得ll，则实数a的取值范围为（）2122112A．[,1]B．[1,]221221C．(,][,)D．(,1][1,)22211【解析】函数f(x)1n(x1)x，f(x)2x，其中x1，函数g(x)asinxcosxxasin2xx，x12g(x)acos2x1；要使过曲线f(x)上任意一点的切线为l，总存在过曲线g(x)ax2cosx上一点处的111切线l2，使得l1l2，则(2x1)(acos2x21)1，acos2x21x1112x11x111122x12(x11)2222x1，x2使得等式成立，(，0)[1|a|，1|a|]，1x11x12解得|a|1，即a的取值范围为a1或a1．故选D．达标训练x1．（2018•江岸月考）设曲线f(x)alnxb和曲线g(x)sincx在它们的公共点M(1,2)处有相同的切线，2则abc的值为（）A．0B．C．2D．41272．（2017•微山月考）已知f(x)lnx，g(x)xmx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相22切，与f(x)图象的切点为(1,f(1))，则m等于()A．1B．3C．4D．223.（2017•海淀期中）函数f(x)lnx与函数g(x)axa的图象在点(1,0)的切线相同，则实数a的值为（）1111A．1B．C．D．或22224.（2018•宁城模拟）已知曲线ylnx2和曲线yln(x1)有相同的切线，则该切线的斜率为（）A．eB．3C．1ln2D．23225.（2017•雁塔期末）若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)x3x2x和yxa都相切，则a的值是（）111A．1B．C．1或D．1或646464226.（2017•太原一模）设函数fx3x4axa0与gx2alnxb有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为（）324

7学习数学领悟数学秒杀数学第五章导数1111A．B．C．D．2222e2e3e4exa27．已知曲线ye与yx恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是（）A．2ln22,B．2ln2,C．,2ln22D．,2ln22x8．（2016•荆州期中）函数f(x)lnx在点P(x，f(x))处的切线l与函数lg(x)e的图象也相切，则满00足条件的切点P的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2x9．（2016•益阳模拟）若曲线C:yax(a0)与曲线C:ye存在公共切线，则a的取值范围为（）122222eeeeA．0,B．0,C．,D．,84842210．（2017•南雄二模）已知曲线C1:yx与曲线C2:ylnx(x),直线l是曲线C1和曲线C2的公切2线，设直线l与曲线C切点为P,则点P的横坐标t满足（）1111122A．0tB．tC．tD．t22e2e2222x2x2x11．（2018•四川模拟）已知直线l是曲线ye与曲线ye2的一条公切线，l与曲线ye2切于点(a,b)，且a是函数f(x)的零点，则f(x)的解析式可能为（）2x2xA．f(x)e(2x2ln21)1B．f(x)e(2x2ln21)22x2xC．f(x)e(2x2ln21)1D．f(x)e(2x2ln21)2x12．（2018•盐湖模拟）设过曲线f(x)ex3a上任意一点处的切线为l，总存在过曲线1g(x)(x1)a2cosx上一点处的切线l，使得ll，则实数a的取值范围为（）212A．[1,1]B．[2,2]C．[2,1]D．[1,2]213．（2018•长沙月考）若函数f(x)lnx与函数g(x)x2xa(x0)有公切线，则a的取值范围为（）1A．(ln,)B．(1,)C．(1,)D．(ln2,)2e2xxa,x014．（2016•辽宁期末）已知函数f(x)1的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线yf(x),x0x在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（）111A．(,1)B．(2,)C．(,2)(,)D．(,)444xa215.（2017•红塔月考）已知曲线ye与y(x1)恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围为（）A．(,2ln23)B．(,2ln23)C．(2ln23,)D．(2ln23,)16．曲线yax(a0)与曲线ylnx有公共点，且在公共点处的切线相同，则a的值为．mx217．（2018•全国四模）函数fxlnx与gxx1有公切线yax(a0)，则实数m的值为x1．325