中考数学专题复习练习：两圆公切线.doc

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1、例如图，半径分别为3、1的⊙O1与⊙O2外切，一直线分别切它们于A、B，又交O1O2于C．求：①切线AB长；②∠C的度数．分析：首先想到切线性质，故连结O1A、O2B，得直角梯形AO1O2B．一般要把它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质．解：（1）连结O1A、O2B，作O2D∥BA交O1A于D．　　则得Rt△O2DO1和矩形ADO2B．　　∵AD=O2B=1，　　O1A=3　　∴O1D=3-1=2　　∵O1O2=3+1=4，　AB=O2D=．（2）由（1）知O1D=2，O1O2=4，∴∠C=∠DO2O1=30°说明：（

2、1）求外公切线长，应用切线性质、构造三角形；（2）添加辅助线的方法．例如图，⊙O1、⊙O2的半径分别为4、5，O1O2=15，内公切线AB交O1O2于C．　　求：①AB长；②sin∠ACO1的值．　　解：（1）连结O1A、O2B，作O1D∥AB交O2B延长线于D，　则得Rt△O1DO2，AO1DB是矩形，∵O1D=4，O2B=5，∴O2D=5+4=9　　　　　∴AB=O1D=．（2）由（1）可知，sin∠ACO1=sin∠O2O1D=．说明：（1）求内公切线长；（2）构造三角形、矩形，应用勾股定理、三角函数；（3）此题还可以通

3、过△AO1C∽△BO2C，求出O1A、O2B，在求得．例（福州市，2002）已知：半径不等的⊙O1与⊙O2相切于点P，直线AB、CD都经过切点P，并且AB分别交⊙O1、⊙O2于A、B两点，CD分别交⊙O1、⊙O2于C、D两点(点A、B、C、D、P互不重合)，连结AC和BD．（1）请根据题意画出图形；（2）根据你所画的图形，写出一个与题设有关的正确结论，并证明这个结论(结论中不能出现题设以外的其他字母)．MN解：（1）如图所示．（2）第一个结论：AC∥BD．证明：过P作两圆的公切线MN，∴∠MPA=∠C，∠NPB=∠D．∵∠MP

4、A=∠NPB，∴∠C=∠D，∴AC∥BD．第二个结论：△APC∽△BPD．证明：过P作两圆的公切线MN，∴∠MPA=∠C，∠NPB=∠D．∵∠MPA=∠NPB，∴∠C=∠D，又∠APC=∠BPD，∴△APC∽△BPD．第三个结论：O1、P、O2三点共线（或连心线O1O2必过切点P）．证明：∵①圆是轴对称图形，②相切的两个圆也组成轴对称图形，③连心线O1O2是两个圆的对称轴，∴O1、P、O2三点共线（或连心线O1O2必过切点P）说明：①此题题型新颖，属于开放性题目，它源于教材P145练习第2题；②主要应用分类思想，作圆的公切线辅

5、助线．例已知：如图，⊙O1与⊙O2内切于点P，过点P的直线交⊙O1于点D，交⊙O2于点E；DA与⊙O2相切，切点为C．（1）求证：PC平分∠APD；（2）若PE=3，PA=6，求PC的长．证明：（1）过P作两圆的公切线PT，∴∠TPC=∠4，∠3=∠D．∵∠4=∠D+∠5，∴∠2+∠3=∠D+∠5，∴∠2=∠5又DA与⊙O2相切于点C，∴∠5=∠1，∴∠1=∠2，即PC平分∠APD．（2）∵DA与⊙O2相切于点C，∴∠PCA=∠4．由（1）知∠1=∠2，∴△PCA∽△PEC．∴，即．∵PE=3，PA=6，∴，∴．说明：①此题主

6、要应用：切线的性质、弦切角、相似形以及作辅助线的方法；②此题得出∠1=∠2，在中考中是热点题目．典型例题五例已知半径分别为R和r（）的两圆外切，它们的两条外公切线互相垂直，则等于（）A．B．C．D．2解：连结（如图），则过点P且平分，过点作，则.，∴是等腰直角三角形.，故选C.说明：本题涉及的知识点较多，要认真审题，理清思路，解决问题.典型例题六例如图，⊙与⊙内切于点A，并且⊙的半径是⊙的直径，为⊙的半径交⊙于点C，AD是公切线，，则（）A．50°B．40°C．25°D．20°解：∵是⊙的直径，，又∵，∴.又∵DA是两圆的公切

7、线，和分别是⊙、⊙的弦切角，故选D.说明：利用学过的知识解决两圆位置关系问题是解决本题的关键，要学以致用，温故而知新.典型例题七例两圆的一条外公切线与连心线成30°的角，它们的圆心距是10cm，则外公切线长为________.解：如图连结、，过点A作，则cm，在Rt中，（cm），故应填cm.说明：公切线、两圆的半径之差（或和）和圆心距构成直角三角形，是解决这部分题的关键.典型例题八例已知：如图，设⊙、⊙外切于，外公切线分别切两圆于、交于，若⊙半径为，⊙半径为.求证：（1）（2）求的值。分析：（1）作⊙、⊙的内公切线交于，连、，

8、则是，，，，根据圆周角定理的推论可知是、、三点所在的圆的直径，并且为圆心，为半径，又，与⊙切于点，根据切割线定理有：（2）作，，.，这样，求就转化为求的问题了，只要解即可。证明（1）作⊙、⊙的内公切线交于，连、，是直角三角形是过、、的圆的半径又是⊙的切线，是切点（2）交于，连