公切线斜率问题.doc

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1、对一道运用导数求两曲线公切线斜率的错解剖析尤荣勇题目：求曲线与曲线的公切线的斜率。错解：对分别求导得：令，解得：或当时，；当时，。即所求公切线的斜率分别为0、但当公切线的斜率为0时，切线方程为，它穿过曲线，可是曲线的切线都是曲线的同一侧，因此0不是公切线的斜率。所以所求公切线斜率仅为。辨析：该解有两处错误。其一斜率为0的切线是存在的。虽然它穿过曲线，但从切线定义看，该切线可以看作曲线上在原点O附近有一点P，点P沿着该曲线无限趋近于原点O时与点O相连的一条割线，该割线斜率的极限为0，所以的直线是它们的公切线；其二，当时，，此时的切线方

2、程是，而的切线方程是3/3。显然两者不是同一条直线，也就谈不上是公切线斜率了。产生该错误的原因是在开始对两曲线求导并令其相等时，实际已经默认了公切线与两曲线切于同一点，事实上本例通过解方程解得时，的直线与两曲线是相切于同一点（0，0），而当时，在曲线上切点为，在曲线上切点却为，这两点显然不是同一点。正确的思路应该是先在两曲线上分别取一点，使这两点的导数相等并等于这两点连线的斜率，再通过解方程组得到正确结论。正解：在曲线、上分别任取一点。分别求曲线在这两点的导数有∴（1）当时，解得：，此时切线的斜率为0；（2）当时，由得：代入得：3/

3、3此时公切线的斜率为综上所述，曲线、有两条公切线，其斜率分别为0，。3/3