2020考研资料夹考研数三(1987-1997年)历年真题

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1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一,填空题（本题共5分,每小题3分,满分15分把答案在题中横线上.）⑴设y=/（Inカノ⑺,其中/可微,则dy=.⑵若函数/（%）=+6-x?£/（x）dr厕］ノ（カム=.（3）差分方程j,+1-y,=tl!的通解为.（4）若二次型ア（%,占,马）=2ガ+/+后+2$ち+%ん是正定的,则t的取值范围是.⑸设随机变量x和y相互独立且都服从正态分布N（0,32）,而X1,…,Xg和年,…,お分别是来自总体x和丫的简单随机样本,则统计量U=个+…+乂9服从分布（2分）,参数为.川+…+培二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内）⑴设函数/（x）=jsin/ホ,g（x）=f+テ,则当XT・。时,/（x）是g（x）的（）J。56（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价的无穷小（2）若/（-x）=/（x）（^＜x＜4w）,在（reゆ内/V）＞0,且r（x）＜0,则在（OHP内有（a）r（x）＞o,r（x）＜o（B）r（x）＞o,r（x）＞o(C)r(x)

1⑶设向量组へ,a2,a,线性无关,则下列向量组中,线性无关的是()(A)%+%,%+a3,a3—ax(B)%+%,%+%%+2a、+cx3(C)%+2%,2%+3%,3。3+«(D)a]+a?+。3,24一3a2+22%,3%+5%-5a3⑷设A,8为同阶可逆矩阵,贝リ()(A)AB=BA(B)存在可逆矩阵P,使P'AP=B(C)存在可逆矩阵C，使CtAC=B(D)存在可逆矩阵尸和。,使PAQ=B(5)设两个随机变量x与ド相互独立且同分布:p{x=-i}=p{y=-i}=l,P{X=1}=P{Y=1}=!，则下列各式中成立的是()(A)p{x=y}=；(B)p{x=y}=i(C)P{X+Y=O}=^(D)p{xr=i}=l三、(本题满分6分)在经济学中,称函数Q（x）=4ざK-x+（1-ざ）む」・为固定替代弹性生产函数,而称函数

20=M廿y为Cobb-Douglas生产函数（简称C—D生产函数）.试证明:但xf0时,固定替代弹性生产函数变为C—D生产函数,即有limQ（x）=Q.四、（本题满分5分）设〃=f（x,y,z）有连续偏导数,y=y（x）和z=z（x）分别由方程*-y=0和ざ-応=0所确定,求学.ax五、（本题满分6分）ー商家销售某种商品的价格满足关系p=7-0.2x（万元/吨）,x为销售量（单位:吨）,商品的成本函数C=3x+1（万元）.（1）若每销售ー吨商品,政府要征税"万元）,求该商家获最大利润时的销售量;（2），为何值时,政府税收总额最大.六、（本题满分6分）设函数ナ（X）在［0,+8）上连续、单调不减且.f（0）>〇,试证函数f!卄-f右x>0,F(x)=x%Jo0,若x=0,

3在［0,+8）上连续且单调不减（其中〃>0）.七、（本题满分6分）从点［（1,0）作x轴的垂线,交抛物线y=x2于点Q«,1）;再从纟作这条抛物线的切线与x轴交于P,,然后又从P2作x轴的垂线交抛物线于点Q2,依次重复上述过程得到ー系列的点［,Q選,〇ユ；…;ル2；…•（1）求函;（2）求级数。ク+&吕+…+Q£+…的和.其中n（n21）为自然数而M^M2表示点M）与Mユ之间的距离.ハ、（本题满分6分）设函数./'（り在［0,+8）上连续,且满足方程/«）=/+/（J"2+ザ心の,求/（り.九、（本题满分6分）设A为〃阶非奇异矩阵,a为れ维列向量,/フ为常数.记分块矩阵E01AaP=r4.14i'0=t,•—exAIA|ab其中A・是矩阵A的伴随矩阵,E为〃阶单位矩阵⑴计算并化简PQ；⑵证明:矩阵Q可逆的充分必要条件是a，/Tカナん

4十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵A的特征值是1,2,3;矩阵A的属于特征值1,2的特征向量分别是a1=(-l,-l,l)r,a2=(l,-2-l)r.(1)求A的属于特征值3的特征向量;(2)求矩阵A.十ー、(本题满分7分)假设随机变量X的绝对值不大于1;P{x=-1}=丄,P{X=1}=丄;在事件{-1

5十三、（本题满分6分）两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布;首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度,/■（ル、数学期望和方差.1996年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题ー、填空题（本题共5小题,毎小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）⑴设方程x=ザ确定y是x的函数,则dy=,⑵设厶=arcsinx4-C,5!!JJf(x)dx=⑶设（モ,%）是抛物线y=ax2+bx+。上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是ー.⑷设111•••1'fa\a2a3anx21A=2222qスク,•・。:,x=鼻,B=1一/i-iノー1ノー1ノー1_°la2a3an.A.1其中4ヰ=…,ri）.则线性方程组ArX=B的解是（5）设由来自正态总体X〜N（",0.92）容量为9的简单随机样本,得样本均值ア=5,则未知参数〃的置信度为0.95的置信区间为.

6二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)⑴累次积分［de］。,f(ヂcos。.sinの心可以写成()(A)『カ『ー’/■(不)，粒(B)fdyj：,,f(x,y岫(。エムい(ん加⑼エム『71f(^y)dy(2)下述各选项正确的是()(A)若ナ片和£d都收敛,则£仇+び收敛(B)收敛，则与Eイ都收敛n=ln=

7=\(C)若正项级数X叫发散,则«„>-M«(D)若级数£un收敛,且un之丹(〃=1,2,…),则级数£匕也收敛⑶设”阶矩阵A非奇异(〃と2),A・是矩阵A的伴随矩阵,则()(A)(A*)*=|A『A(B)(パ)"=卜『ス(C)(A*)*=|A「2A(D)(A*)*=|A『2A(4)设有任意两个n维向量组イ,…,％,和必,…,用,若存在两组不全为零的数ん…,え”,和配…人”,使(4+匕)％+…+(ん”+km)am+(4ー匕)笈+…+(ルー舟")凡=0,则（A）イ,…,a,"和ル,…,用都线性相关（B）イ,…,a,”和川,…,用都线性无关

8（。イ+片,…,イ”+篇イール,…,イ”一力”线性^关（D）イ+4,…,イ”+ス,イール,…,イ”ール线性相关⑸已知。＜P（B）＜1且ウ（4+ん2）同=スん忸）+24|8）,则下列选项成立的是（）（A）P［（A+ん）忸］=P（A恆）+P（4恆）（B）P（A3+43）=C）+P（&8）（C）尸（A+4）=尸（A|B）+P（阕砌（D）p（8）=p（a）p（b|a）+p（4）p（目4）三、（本题满分6分）g—ニ用设ハめ=イス’’其中g（x）有二阶连续导数,且g（O）=l,g'（O）=-L0,x=0,⑴求广（幻;（2）讨论，’（幻在（＜〇,-k»）上的连续性.

9四、(本题满分6分)设函数z=/(レ),方程必=例〃)+Jp⑺ル确定”是x,y的函数,其中イ(〃),0(〃)可微;p(r)，e'(〃)连续,且Szdz。’(〃)ナ1.求p(y)k+p(x)丁・oxoy五、(本题满分6分)计算IT(]+"]—rdx.)2六、(本题满分5分)设f(x)在区间［0,11上可微,且满足条件/(1)=xf(x)dx.试证:存在とe(0,1)使/C)+"C)=o.

10七、(本题满分6分)设某种商品的单价为P时,售出的商品数量Q可以表示成Q=-^―-c,其中。、b、p+bc均为正数,且。〉be.(1)求P在何范围变化时,使相应销售额增加或减少.(2)要使销售额最大,商品单价p应取何值?最大销售额是多少?

11ハ、（本题满分6分）求微分方程半=7ゼ+）’的通解.九、（本题满分8分）01设矩阵ん=0100000〇y1012

12(1)已知A的ー个特征值为3,试求y;⑵求矩阵P,使(AP)'(AP)为对角矩阵十、(本题满分8分)设向量イ,a2，…，ル是齐次线性方程组AX=。的ー个基础解系向量P不是方程组AX=0的解,即Aガナ〇.试证明:向量组ガ,ガ+«,尸+a2,…,ガ+«线性无关.十ー、(本题满分7分)假设一部机器在ー天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润!0万元;发生一次故障仍可获得利润5万元;发生两次故障所获利润〇元;发生三次或三次以上故障就要亏损2万元.求一周内期望利润是多少?

13十二、（本题满分6分）考虑一元二次方程づ+&+C=0,其中B、C分别是将一枚色子（骰子）接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率P和有重根的概率。.十三、（本题满分6分）假设X”X2,…,X”是来自总体X的简单随机样本;已知£（X«）=%（た=122,4）..证明:当〃充分大时,随机变量z„=-yX;近似服从正态分布,用旨出其分布参数.n,=11995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题ー、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）⑴设イ（x）=；-,贝リf"＞（x）=.

14v⑵设Z=xyf(~),f(u)可导,则xz\+以=X⑶设，'(山ス)=1+ス,则y0)=⑷设A=220,A・是A的伴随矩阵则(ん尸=レ45丿⑸设乂,*?,…,*”是来自正态总体N(〃,/)的简单随机样本,其中参数〃和ザ未知,记又=丄ナX,び=ナ(X,一天)2,则假设〃〇:〃=0的，检验使用统计量t=〃,=1/=1二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)⑴设y(x)为可导函数且满足条件lim2x=一1,则曲线ぎ=/(尤)在点(A)2(B)-1(D)-2(2)下列广义积分发散的是(A)(C)Ce^dx⑶设矩阵ん、〃的秩为イA)=mく〃,就为6阶单位矩阵,下述结论中正确的是()

15(A)A的任意，”个行向量必线性无关(B)A的任意一个か阶子式不等于零(C)若矩阵B满足BA=〇,则8=0(D)A通过初等行变换,必可以化为(E„,,O)的形式(4)设随机变量X和ド独立同分布,记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量リ与V必然()(A)不独立(B)独立(C)相关系数不为零(D)相关系数为零⑸设随即变量X服从正态分布N(〃,ザ),则随び的增大,概率P{|X-”0四、(本题满分6分)已知连续函数./V)满足条件/(%)=0/;卜+e2*,求/(x).

16五、(本题满分6分)将函数y=ln(l-x-2ガ)展成x的鬲级数,并指出其收敛区间.六、(本题满分5分)计算二次积分/=[[min{x,y}e_|'+r,d«/y.J—00J—40

17七、(本题满分6分)设某产品的需求函数为Q=Q(p),收益函数为R=其中P为产品价格,Q为需求量(产品的产量),Q(p)为单调减函数.如果当价格为P。,对应产量为时,边际收益=。>0,收益对价格的边际效应"=c<0,需求对价格的弹性纥=。>1.求益和。.幽°也dPp5ハ、(本题满分6分)设/(x)、g(尤)在区间[-a,a](a>0)上连续,g(x)为偶函数且/(尤)满足条件/(x)+/(-x)=A(ん为常数).(1)证明J"j(x)g(x)ム=Aj：g(x)ム;⑵利用Q)的结论计算定积分12K|sin耳arctane'dx.九、（本题满分9分）已知向量组（1）%,%,。3；（ロ）4,。2。3，%；（叫6。2，。3，°；5加果各向量组的秩

18分别为r（I）=r（n）=3,r（HI）=4.证明:向量组ava2,a3,a5-a4的秩为4.十、（本题满分10分）已知二次型/（%,毛，玉）=4ぶ-3只+4x,x2-4%七+8芻%.（1）写出二次型/的矩阵表达式;（2）用正交变换把二次型/化为标准形,并写出相应的正交矩阵.十ー、（本题满分8分）假设ー厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂;以概率0.30需进ー步调试,经调试后以概率0.80可以出厂;以概率0.20定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了〃（〃>2）台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求:（1）全部能出厂的概率a；

19(2)其中恰好有两台不能出厂的概率ダ;(3)其中至少有两台不能出厂的概率。.十二、(本题满分8分)已知随机变量X和ド的联合概率密度为,ヽ［4xy,0

2000L000a2L0（4）设ん=MMMM,其中り#0,j=l,2,L,ル贝リん一|=000Lan-\a„00L0（5）设随机变量X的概率密度为°f2x,0o,而级数收敛,则级数Z（一而/卜（）（A）发散（B）条件收敛（。绝对收敛（D）收敛性与ス有关⑶设A是mx"矩阵C是"阶可逆矩阵,矩阵A的秩为匕矩阵B=AC的秩为厶,则

21(A)r>rx(B)r

22六、（本题满分5分）设函数”x）可导,且/（〇）=0,F（X）=［アサ（バT"）ヵ,求lim华七、（本题满分8分）已知曲线y=a&a>0）与曲线y=In厶在点（如为）处有公共切线,求:（1）常数。及切点（毛,％）；（2）两曲线与x轴围成的平面图形绕イ轴旋转所得旋转体的体积匕.ハ、（本题满分6分）假设/（x）在［a,+00）上连续,/"（x）在（スー8）内存在且大于零,记ドは）="尤）一""）（x>a）,x-a证明ド（无）在（a,一）内单调增加.九、（本题满分11分）设线性方程组

2323Xj+axx2+43=q,23Xj+。ラX2+々モ5=ス,2■;Xi+aix2+aixi=a3,丹+aAx2+。:七=a：.（1）证明:若q,生,生,。4两两不相等,则此线性方程组无解;⑵设0,=生=にム=ム=ーた（んキ〇）,且已知片,A是该方程组的两个解,其中[1P\—1,夕2=11-1写出此方程组的通解.十、（本题满分8分）设ん=有三个线性无关的特征向量,求x和y应满足的条件.

24十ー.（本题满分8分）假设随机变量x„x2,x3,Xユ相互独立,且同分布p{x.=0}=0.6,P[Xi=1}=o.4（z=1,2,3,4）,求行列式X=ソ:的概率分布XネXA十二、（本题满分8分）假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（〃,l）,内径小于10或大于12的为不合格品,其余为合格品,销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润ア（单位:元）与销售零件的内径X有如下关系:[-1,X<10,r=J20,1012.问平均内径〃取何值时,销售ー个零件的平均利润最大?1993年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题ー、填空题（本题共5小题，每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.）「3x2+5.2（1）limsin—=.スパ5x4-3x-⑵已知y=/(主ニレ⑺;亚丽ズ,则半=.\3x+2丿dxv=0

25(3)级数£讐弦的和为.(4)设4阶方阵A的秩为2,则其伴随矩阵A*的秩为.(5)设总体X的方差为1,根据来自X的容量为!00的简单随机样本,测得样本均值为5,则X的数学期望的置信度近似等于0.95的置信区间为二、选择题(本题共5小题,毎小题3分,满分15分.在毎小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)⑴设，(x)=1洞‘工。0,则/(ラ在点ズ=〇处Io,x=0,(A)极限不存在(B)极限存在但不连续(C)连续但不可导(D)可导⑵设，(x)为连续函数且ド(力=卜アセ团则ド⑺等于()X(A)—/(lnx)+^-/f-l(B)—+XXyXJX\XJ(C)-/(inx)--y/f->l(D)/(lnx)-/f-^XX\XjVXJ(3)〃阶方阵4具有〃个不同的特征值是ん与对角阵相似的()(A)充分必要条件(B)充分而非必要条件

26(C)必要而非充分条件(D)既非充分也非必要条件⑷假设事件4和B满足P(网A)=1厕()(A)A是必然事件(B)P(却ス)=0.(〇(D)AuB⑸设随机变量X的密度函数为例x),且(p(-x)=(p(x).F(x)是X的分布函数则对任意实数a,有()(A)ド(-a)=1-]:以幻厶.(B)ド(一=例x)厶(C)ド(一a)=ド(a)(D)ド(一a)=2尸(a)-1三、(本题满分5分)设z=/(x,y)是由方程z-y-x+=〇所确定的二元函数,求dz.四、(本题满分7分)已知limx—a“’4ゼ6-2セ匕求常数。的值

27五、(本题满分9分)设某产品的成本函数为C=。歩+%+c,需求函数为q=丄(d-其中C为成本,q为需求量(即产量),p为单e价,a,b,c,d,e都是正的常数,且d>わ,求:(1)利润最大时的产量及最大利润;(2)需求对价格的弹性;(3)需求对价格弹性的绝对值为1时的产量.六、(本题满分8分)假设:(1)函数y=/(x)(0

28证明:在(0,1)内至少存在一点ぐ,使/"4)=0.ハ、(本题满分10分)k为何值时,线防程组有惟一解,无解,有无穷多组解?在有解情况下,求出其全部解.九、(本题满分9分)设二次型/=ガ+%;+ス:+2a玉あ+2かり毛+2あ毛经正交变换X=PY化成f=£+2yl,其中X=(モ,ち,玉j,和y=(如お,%尸是三维列向量,P是3阶正交矩阵.试求常数%月.

29十、(本题满分8分)设随机变量X和ド同分布,X的概率密度为“ゝ-X2,0cx<2,/(x)=《8.0,其他(1)已知事件A=｛X>a｝和6=｛丫>叫独立,且P(AUB)=±求常数a.(2)求ン的数学期望.X-

30十ー、（本题满分8分）假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（り服从参数为ル的泊松分布.（1）求相继两次故障之间时间间隔ア的概率分布;（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下,再无故障运行8小时的概率Q.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题ー、填空题（本题共5小题,毎小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.）⑴设商品的需求函数为Q=100-5尸,其中。,P分别表示为需求量和价格,如果商品需求弹性的绝对值大于1,则商品价格的取值范围是.⑵级数的收敛域为.n=\〃4⑶交换积分次序J:力，「，（乂ド）厶=•（〇4、（4）设A为机阶方阵,8为〃阶方阵且同=ス忸トんC=ハ厕网=.。丿⑸将C,C,E,E,I,N,S等七个字母随机地排成一行,那么，恰好排成英文单词SCIENCE的概率为.

31二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在毎小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)⑴设ド(X)=——「ハ加し其中Z(X)为连续函数,则!imF(x)等于()x-aJaバ0(A)a2(B)a2/(a)(C)0(D)不存在(2)当x->()时,下面四个无穷小量中,哪ー个是比其他三个更高阶的无穷小量?()(A)X2(B)1-cosx(C)>]\-x2-1(D)x-tanx(3)设ん为川x〃矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分条件是()(A)A的列向量线性无关(B)4的列向量线性相关(C)A的行向量线性无关(D)A的行向量线性相关(4)设当事件A与B同时发生时,事件C必发生,贝リ()(A)P(OP(A)+P(B)-1(C)P(O=P(A3)(D)P(C)=P(AU8)(5)设〃个随机变量乂,X2,X,,独立同分布,。()=ひユ,5=丄エX,,n,,i52=ーエ之(*,.-对,则()（C）S是b的相合估计量（即一致估计量）（D）S与ア相互独立

32三、（本题满分5分）Incos（x-1）.设函数/（x）=J1-sin-x问函数y\x）在X=1处是否连续?若不连续,修改函数在X=1处的定义使1,X=1.之连续.四、（本题满分5分）计算/イザヘ.五、（本题满分5分）X0ユZ设z=sin（り）+,求——,其中ジ（〃,レ）有二阶偏导数.ydxoy六、（本题满分5分）求连续函数/（X）,使它满足/（x）+2£'=x2.七、（本题满分6分）求证:=x>10j,arctanx—arccos=一21+x*4ハ、（本题满分9分）设曲线方程y=er（xNO）.

33（1）把曲线y=,x轴,y轴和直线x=式ぐ＞0）所围成平面图形绕x轴旋转一周,得一旋转体,求此旋转体体积%）;求满足%）な畑%）的。.（2）在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.九、（本题满分7分）设矩阵A与8相似,其中-200-100A=2x2,B=02031100y⑴求x和1,的值（2）求可逆矩阵P,使得尸Y2=8.十.（本题满分6分）已知三阶矩阵8工0,且B的每ー个列向量都是以下方程组的解:王4-2x2-2x3=0,2x,-x2+2x3=0,3X|+x2-x3=0.⑴求ス的直（2）证明冏=0.

34十ー、（本题满分6分）（A°、设48分别为加、〃阶正定矩阵,试判定分块矩阵C=是否是正定矩阵.、〇B）十二、（本题满分7分）假设测量的随机误差XロN（0,102）,试求!oo次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率a,并利用泊松分布求出a的近似值（要求小数点后取两位有效数字）.［附表］

3521234567...0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001...十三、(本题满分5分)一台设备由三大部分构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为0.10,0.20和0.30.假设各部件的状态相互独立,以X表示同时需要调整的部件数,试求X的数学期望EX和方差。X.十四、(本题满分4分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=

361991年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题ー、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.)(1)设2=6細ヤ则dz=一.⑵设曲线“X)=ピ+依与g(x)=陵2+C都通过点(TO),且在点(-1,0)有公共切线厕a=，h=,c=.⑶设y(%)=Xど,则/⑻(x)在点X=处取极小值ー.(5)设随机变量X的分布函数为ド(x)=尸{XWx}=«0,0.4,0.8,x<—1,—13.则X的概率分布为.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.毎小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)下列各式中正确的是

37(B)lim(C)limf1--j=-e(D)lim|l+-|=e(2)设04%W丄(〃=1,2,…)则下列级数中肯定收敛的是()(A)tan(B)£(-1)"ム(C)え场(D)之(-1)"イ(3)设A为〃阶可逆矩阵え是A的ー个特征根则4的伴随矩阵パ的特征根之一是()(A)A-'\A

38(B)r'|A|(C)川川(D)A\A[(4)设A和8是任意两个概率不为零的不相容事件,则下列结论中肯定正确的是()(A)ス与否不相容(B)ス与否相容(〇P(AB)=P(A)P(3)(D)P(A-3)=P(A)(5)对于任意两个随机变量x和ド,若旦・丫)=£3>£(丫),则()(A)o(xr)=D(x)o(y)(B)D(X+y)=D(X)+D(y)(C)X和y独立(D)x和ド不独立三、(本题满分5分)イr_i_Jx.丄jnxヽx求极限lime十e十…十e,其中〃是给定的自然数.四、（本题满分5分）

39五、（本题满分5分）求微分方程盯年=f+ザ满足条件yし=2e的特解.六、（本题满分6分）假设曲线ム:ギ=1ーピ（0Wスく1）、x轴和.、、轴所围区域被曲线ム:y=o?分为面积相等的两部分,其中“是大于零的常数,试确定。的值.七、（本题满分8分）某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别为月和P2;销售量分别为/和%;需求函数分别为功=24—0.2p］和％=1。一〇。5P2,总成本函数为C=35+40（1+%）.试问:厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大?最大利润为多少?ハ、（本题满分6分）试证明函数/（幻=a+-y在区间（〇,+8）内单调增加.X

40九、（本题满分7分）设有三维列向量问ス取何值时,（1）タ可由4,a2,%线性表示,且表达式唯一？（2）タ可由イ,巴,线性表示,且表达式不唯一?（3）タ不能由4,%,线性表示?十、（本题满分6分）考虑二次型y=ど+4*+4考+2な毛ー2k七+4セ毛.问2取何值时,/为正定二次型.

41十ー.（本题满分6分）试证明〃维列向量组q,a2，,线性无关的充分必要条件是a[ax"a：%a、a；a、,・・a[*HO,a：%•见・"%：%其中a:表示列向量6的转置i=1,2,.十二、（本题满分5分）一汽车沿ー街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数.求X的概率分布.十三、（本题满分6分）

42假设随机变量x和ド在圆域x2+y20,x<0,其中丸>0是未知参数,。〉0是已知常数.试根据来自总体X的简单随机样本XPX2,--Sx〃,求ス的最大似然估计量A.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题ー、填空题（本题满分15分,毎小题3分.把答案填在题中横线上.）

43(1)极限lim(厶+3ノ!一イ〃ーノ2)=⑵设函数/(X)有连续的导函数,7(0)=0，r(0)=b,若函数ド(x)=

44(A)囚,a2,…,a,均不为零向量(B)a,,a2,--；as中任意两个向量的分量不成比例(C)/,a?,…,a,中任意ー个向量均不能由其余5-1个向量线性表示(C)4,a2,4中有一部分向量线性无关(4)设A,B为两随机事件,且BuA,则下列式子正确的是()(A)P(A+8)=P(A)(B)P(AB)=P(A)(C)P(8|A)=P(8)(D)P(8_A)=P(6)_P(A)(5)设随机变量X和ド相互独立,其概率分布为P{X=m}丄丄22

45则下列式子正确的是()(A)X=Y(B)P{X=y}=0(C)P{X=Y}=^(D)P{X=Y}=1(1)求函数/。)=f三、计算题(本题满分20分,毎小题5分.)v-dt在区间［e,e2］上的最大值.r-2r+l⑵计算二重积分.ホメ公の，,其中。是曲线y=4ズ和y=9デ在第一象限所围成的区域.D(3)求级数ギ上ア的收敛域.«=in(4)求微分方程y'+ycosx=(Inx)e「疝』的通解.四、(本题满分9分)某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用王(万元)及报纸广告费用七(万元)之间的关系有如下经验公式:扭=15+14%1+32%2—8%］%2——1Ox；.(1)在广告费用不限的情况下,求最优广告策略;(2)若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略.五、(本题满分6分)设バス)在闭区间［0,C］上连续,其导数7'(X)在开区间(o,c)内存在且单调减少;ハ0)=0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:/'(a+b)

46xl+x2+x3+x4+x5=a,3工1+2x2+あ+ムー3ム=〇,x2+2x3+2x4+6x.=b,5x,+4x2+3x3+3x4-x5=2,（1）a、。为何值时,方程组有解?（2）方程组有解时,求出方程组的导出组的ー个基础解系;（3）方程组有解时,求出方程组的全部解.七、（本题满分5分）已知对于n阶方阵A，存在自然数k,使得ズ=0,试证明矩阵E-A可逆,并写出其逆矩阵的表达式（E为〃阶单位阵）.ハ、（本题满分6分）设A是”阶矩阵,4和4是A的两个不同的特征值,X,,乙是分别属于ん和ル的特征向量.试证明X,+x2不是

47（本题满分4分）从〇」,2,…,9十个数字中任意选岀三个不同数字,试求下列事件的概率:A=｛三个数字中不含〇和5｝;ん=｛三个数字中不含〇或5）.十、（本题满分5分）ー电子仪器由两个部件构成,以x和丫分别表示两个部件的寿命（单位:千小时）,已知x和丫的联合分布函数为:F(x,y)=

48十ー、（本题满分7分）某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.［附表］X00.51.01.52.02.53.0①（X）0.5000.6920.8410.9330.9770.9940.999表中中は）是标准正态分布函数.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题ー、填空题（本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.）（1）曲线y=x+s/x在点］チ,1+エ1处的切线方程是一一.（2）幕级数ユ的收敛域是一一.”=0厶+1（3）齐次线性方程组

49AXj+x2+x3=0,—,2(5)设随机变量X的数学期望E(X)=〃,方差£)(X)=そ,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有P{|X-"N3

50（A）A中必有两行（列）的元素对应成比例（B）A中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合（C）ん中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的线性组合（D）A中至少有一行（列）的元素全为〇（4）设ん和8均为nx〃矩阵,则必有（）（A）レ+財=同+|@（B）AB=BA（〇!AB|=|a4|（D）（A+B）t=A-1+5T（5）以A表示事件"甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件ス为（）（A）"甲种产品滞销,乙种产品畅销"（B）"甲、乙两种产品均畅销"（C）"甲种产品滞销"（D）"甲种产品滞销或乙种产品畅销"三、计算题（本题满分15分,每小题5分）⑴求极限lim（sin丄+cos丄］.XX）a27⑵已知Z=/（〃ル）,〃=x+メレ=り,且イ（〃,レ）的二阶偏导数都连续.求dxdy⑶求微分方程y"+5y'+6y=2"、的通解.四、（本题满分9分）设某厂家打算生产ー批商品投放市场.已知该商品的需求函数为

51P-P(x)=10e2,且最大需求量为6,其中x表示需求量,P表示价格.(1)求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2)求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分)(3)画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数f(x)=12-x,l

52七、（本题满分5分）・〇1〇］r1-f已知X=AX+8,其中A=-111,B=20,求矩阵X—10—15—3ハ、（本题满分6分）设q=（1,1,1）,a2=（1,2,3）,4=（L3"）.⑴问当t为何值时,向量组因,a2,a港性无关?（3分）⑵问当t为何值时,向量组a,,a2,a3线性相关?（1分）⑶当向量组如a?，a港性相关时,将«3表示为a,和a2的线性组合.（2分）

53九、（本题满分5分）设ん=-122-12~22-2-1Q）试求矩阵ん的特征值;（2分）（2）利用（1）小题的结果,求矩阵E+A-'的特征值,其中E是三阶单位矩阵.（3分）十，（本题满分7分）已知随机变量x和ド的联合密度为f(x,y)=<0-(*+",〇<%<+8,0

541988年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)试题ー、填空题(本题满分20分,每小题4分)(1)若ア(x)=ドsmx+c°sx)，x>。是(_如8)上的连续函数,则2x+6Z,X<0(2)若f(t)=limt(1+丄产,贝ザセ)=.(3)设f(x)是连续函数,且エ“f(t)dt=x,则f(7)=.(4)limメ严=.スそ。y/X(5).二、选择题:(本题满分20分,每小题4分).⑴ハx)=gバ+gゼ+6x+1的图形在点(0,1)处切线与x轴交点的坐标是()(A),タ〇)⑻(一1,0)(C)^,0)(D)(1,O)⑵若/'(X育g(X)S(-8,8)上皆可导,屋(X)

55(A)f(-x)>g(-x)(B)f,(x)

56四、（本题满分12分）作函数y=^^~-的图形,并填写下表。x-2x+4单调增区间单调减区间极值点极值凹（し）区间凸（c）区间拐点渐近线五、（本题满分8分）将长为。的铁丝切成两段,一段围成正方形,另一段围成圆形。问着两段铁丝各长为多少时,正方形与圆形的面积之和为最小?六、（本题满分10分）设函数y=y（x）满足微分方程y-3y+2y=且图形在点（0,1）处的切线与曲线y=x2-x+｝在该点的切线重合,求函数y=y（x）。

57七、（本题满分6分）设xN-l,求匸（レル|トムハ、（本题满分6分）设/（ス施（-8,+8）上有连续导数,且（1）求畑・L网+。）ー加一。）w；（2）证明~P/（xl

58(2)曲线》=arctgx在横坐标为1点处的切线方程是•;法线方程是(3)积分中值的条件是,结论是(4)linC^r=.(5)J/し灿=.；，/(2ゆx=.二、(本题满分6分)求极限呵(と士)三、(本题满分7分)"5,-sinりdyd2yy=5(l—cos。'、dxdx1

59四、（本题满分8分）xarcsinxJx

60五、（本题满分8分）设D是曲线y=sinx+1与三条直线x=O,x=ガ,ア=0围成的曲边梯形。求D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积。六、证明题（本题满分10分）（1）（5分）若ア（x胫（。㈤内可导,且导数r（x）恒大于零,则/（X）在（。㈤内单调增加。（2）（5分）若g（x）在x=。处二阶导数存在,且g'（c）=0,g"（c）<〇.则g（c）为g（x）的ー个极大值。七、（本题满分10分）计算不定积分f,.,%~~—（其中a,b为不全为零的非负数）ハ、（本题满分15分）（1）（7分）求微分方程x^-=x-y,满足条件y|*=嫗=0的解。

61（1）（8分）求微分方程y"+2y，+y=xe、的通解。九、选择题(每小题4分,满分16分)(1)/(%)=|xsin|ecosjr,-oo0">0,则/的值()(A)依赖与s和t(B)依赖与s、t、x(C)依赖与t和x,不依赖与s(D)依赖与s,不依赖与t十、(本题满分10分)在第一象限内,求曲线y=-ズ+1上的一点,使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小,并求此最小面积。