历年考研高数一真题

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1995填空题(l)lim(l+3x)高=.⑵*Lxcos"£=-(3)设(ax5>c=2,则［(a+8)x(5+c)J(c+a)=-1_30U(5)设三阶方阵6满足关系式：及4=64+方/,且/=040，则3=00J_7.二、选择题(4)察级数22*+(-3)*的收敛半径R=x+3y+2z+l=0(1)设有直线Z：4尸及平面不:4x—2y+z-2=0,则直线L2x-y-Wz+3=0(A)平行于兀(B)在”上,(C)垂直于乃(D)与”斜交.(2)设在［0,1］上/(x)>0,则/(0)、/(1),〃1)一〃0)或〃0)-〃1)的大小顺序是(3)设〃x)可导，F(x)=〃研1+向司),则〃0)=0是F(x)在x=0处可导的(A)充分*'要条件.(C)必要条件但在充分条件.(4)设4=(-1)*In(1+9),则级数(A)，与都收敛731(B)充分条件但非必要条件.(D)既非充分条件又非必要条件.(B)与都发散X*1(O台.收敛而发散.X«1黑・1(D)£>“发散而之〃.2收敛ananai3⑸设N=0n%a馅，B=%。33_-10O-P2=010,则必有101a21ana3\+/iX«1%a12生2+«12，6(A)AP［Pa=B(D)P2P}A=B(C)PjP3A=B三、(1)设〃=/5,乂2),

1。(式,2',2)=0)=5111%具中八。都具有一阶连续偏导致:，且d(p八一du0,求一.dzdx(2)设函数/(x)在区间［0,1］上连续，并设,/(工加=4求力.四、(D计算曲面积分"zdS,其中工为锥面z=J7+J在柱体/+寸=2x内的面分.Z(2)将函数/(x)=x-l(00,K>0}=1,P{Jr>0}=P{y>0}=^JiJP{max(^,K)>0)=.十一、设随机变量x的概率密度为为(力=('",求随机变量y=/的概率密度0,x<0

21996填空题（1）设hm=8,则。=.x—a）（2）设一平面经过原点及点（6,-3,2）,且与平面4工-丁+22=8垂直，则此平面方程为⑶微分方程y-2y+2y=第的通解为.（4）函数〃=ln（x+必彳）在4（1,0,1）点处沿5点指向的方向导致为.'102'（5）设/是4x3矩阵，且/的秩♦（/）=2,而3=020，则r（48）=-103_二、选择题（1）已知（x+了叱丁的为某函数的全微分，则a等于（中）(A)-1.(B)0.(C)l.（2）设〃x）有二阶连续导数，且/⑼=0,hm(D)2.1,则（A）/⑼是〃X）的极大值（B）〃0）是〃x）的极小值（O（0,〃0））是曲线》=〃力的拐点.（D）〃0）不是〃x）的极值，但〃0））也不是曲线丁=〃x）的拐点（A）绝对收敛（6发散.⑶设4>05=12…），且斗/攵敛，常数屣（05,则级数£（-仆tan。制（B）条件收敛.

3（D）敛散性与4有关（4）设〃x）有连续的导致，/（0）=0J'（0）h0,F（x）=J；（x2-d）L/1⑷成，且当xTO时，?'（x）是与必是同阶无穷小，则上等于ai00入（5）四阶行列式00%与的00的值等于%004（A）<2必/3*4—b1b2惇•（B）/a2a3a4+4&2母,（C）（卅2-弟2）（。3。4一贴41（D）（a2a3-力23（,。4一处4）一三、⑴求心形线厂=a（1+cos6）的全长，其中a>0是常数.（2）设々=10,工*+1=而高5=1,2,…），试证数列｛、｝的极限存在，并求此极限.四、（1）计算曲面积分JJ（2x+z）a（心+zdx力，其中S为有向曲面2=/+丁2（0&2=1）,5其法向量与Z轴正向的夹角为锐角.（2）设变换［"='一"可把方程6慈+枣-吟■=（）化简为枣=0,求常数a.v=x+aydx2dxdydydudv五，求级数与言区的和.六、设对任意x>0,曲线1y=/（x）上点（x,/（x））处切线在y轴上得截距等于求J（X）的一般表达式.七、设〃力在［0』上具有二阶导数，且满足条件|/（力归。,|/凶以其中以6都是非负常数,c是（0,1）内任意一点，证明|〃c）|M2a+/八，设力=£-4区其中&是％阶单位矩阵，4是附维非列向量，F是4的转置，证明：（1）4=上的充要条件是=L（2）当彳1=1时，/是不可逆矩阵.九、已知二次型/（公,x2,x3）=5x：+5x22+cx32-2工1勺+6X/3-6勺勺的秩为2.（1）求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；（2）指出方程」（演,勺,芯3）=1表示何种二次曲面.十、填空题（1）设工厂工和工厂B的产品率分别为1%和2%,现从由工和8的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属工产品的概率是

4(2)设&J)是两个相互独IZ且均服从正态分布N的随机变量则随机变量修-司的数学期望£(归一不|)=.■J—1、设媒不是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知J的分布律为1产心河=1/=123,又设工=111巩.),丫=«1111©力(1)写出二维随机变量(X,y)的分布律；123123(2)求随机变量X的数学期望E(X).1997一、填空期Ssinx+X2cos—(1)lim-^―=,*T。(1+cosx)ln(1+x)(2)设察级数£>*x*的收敛半径为3,则察级数£>/-1产的收敛区间为.X-4)M-1(3)对数螺线0=6'在点处切线的直角坐标方程为-12-2(4)设/=4t3,B为三阶非零矩阵，且加=0,则弋=.3-11(5)袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是.二、选择题

5/2，(xj)w(0,0)⑴二元函数/(%7)=/+/'''，在点(0,0)处0,(xj)=(0,0)(A)连续，偏导数存在.(B)连续，偏导数不存在.(C)不连续，偏导数存在.(D)不连续，偏导数不存在.(2)设在区间［a,8］上/(X)>0j'(x)<0j'(x)>0,令Si=J：〃x*x,氏=/。)0-。)a3=支〃。)+〃切8-。)，则(A)$1<$2<$3.0)用0,求x(£).四、(1)设直线/:<'+"+c在平面开上，而平面不与曲面z=/+/相切于点x+ay-z-3=0(1-2.5),求a8之值丹2合2(2)设函数〃“)具有二阶连续导数，而z=」(e*si”)满足方程获+羽=/，,求

6五、设/(X)连续，0(x)=，〃立)龙,且1出3冉■=上(力为常数)，求炉(X)并讨论g(x)在x=0处的连续性.1(1)、六、设。1=2,%+1=不anH，(力=1,2,…)，证明：21%)(1)lim%存在；XT9(2)级数天2-11收敛.七、⑴设8是秩为2的5x4矩阵，%=(L123)r,%=(-LL4「l)r,%=(5,T-&9)r是齐次方程组Bx=O的解向量，求Sx=0的解空间的一个标准正交基.-1][2-12-(2)已知，=1是矩阵A=5a3的一"Is特征向量—1—1b—2(I)试确定参数区5及特征向量，所对应的特征值；(ID间A能否相似于对角阵？说明理由八、设工是附阶可逆方阵，将幺的第7行和第J行对换后得到的矩阵为R(1)证明3可逆；(2)求4RT.九、从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设再各个交通场遇到红灯的事件是冢话独立的，并且概率都是，，设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望

7十、设总体X的概率密度为〃x)='(^+1)x*,0-1是未知参数，孙句,…，演是来自总体X的一个容量为"的简单随机样本，分别用矩估计法和极大似然估计法求e的估计值

81998一、填空题rJ1+—+J1-十-2(1)limz=,-0/1衣(2)设z=—/(»)+^06+丁),/,。具有二阶连续导致，贝Xoxc^22(3)设/为桶扇土+匕=1,其周长记为a,则0(2期+3/+4/'s=.43l(4)设4是正阶矩阵，|＜艮0,/为4的伴随矩阵，5为力阶单位矩阵若兑有特征值/则(4)2+£必有特征值(5)设平面区域Q由曲线1y=1及直线1y=0,工=1质=£所围成，二维随机变量(XI)在X区域。上服从均匀分布，贝ij(x,y)关于x的边缘概率密度在x=2处的值为.二、(1)设了(X)连续，则，J；"(一一d.等于(A)炉(/)(B)-V(C)2^(/)(D)-2炉(x?)(2)函数〃X)=12-X-2)卜3一N不可导点的个数是(A)3.(B)2.(C)1.(D)0.(3)已知函数_y=1y(x)在任意点x处的噌量A_y=1+a,且当ax—0时，a是ax的高l+x阶无穷小，1y⑼=开，则y⑴等于(A)2开,(B)开.X>(C)e，(D)商(4)设矩阵a3.a3瓦'h.b2名是满秩的，则直线二卫=手"=二三与直线%一。2bl-b2Cl-C2施。3__y-瓦_z-q。2—用力2—4。2—。3(B)重合.(C)异面.(A)相交于一点.(C)平行但不重合.

9⑸设A8是两个随机事件，且0<尸⑷<1,尸⑻>0,尸⑻⑷=尸修|司,则必有(A)产(冏3)=尸回B)(B)尸(冏尸倒⑻(C)尸(犯)=尸(⑷尸(3).(D)尸(4B)wP(⑷P(B)三、求直线/：三口=?==在平面兀x-y+2z-l=0上投影直线％的方程，并求％绕y轴旋转一周所成曲面的方程.四、确定常数4,使在右半平面x>0上的向量A(x,y)=2zy(x4+//i-x2(x4+/)“J为某二元函数〃(xj)的梯度，并求“XJ).五、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为网体积为尻海水比重为。仪器所受的限力与下沉速度成正比，比例系数为上色>0)试建立丁与v所满足的微分方程，并求出函数关系式丁=丁(》).六、计皿aW&+(z+4产其中£为下半球面…内守的上侧,。为大工门于零的常数.7T.27V七.求limsin-sin—n.n八、设正项数列｛%｝单调减少，且l)*a*发散，试间级数之是否收敛？并说明理由九、设1y=」(x)是区间［0,1］上的任一非负连续函数.(1)试证存在而e(0,l),使得再区间［0,而］上以〃/)为高的矩形面积，等于再区间［而,1］上以丁=/(x)为曲边的梯形面积.(2)又设〃x)在区间(0,1)内可导，且/⑴>一组"，证明⑴中的而试唯一的.X十、已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4,可以经过正交变换xCy=Pvz6化为椭圆柱面方程了+4记=4,求的值和正交矩阵P.—、设幺是〃阶矩阵，若存在正整数匕使线性方程组j*a=O有解向量a,且

10证明：向量组a,Aa,--,A^la是线性无关的.十二、已知线性方程组anxi+anx2-=0...a2\xl+a22x3■1|-a2.2»X3x=°(I)<.41演+a»2x2+…+an2nx2n=0的一个基础解系为(41月，…，%*)「他I也，…也2J，，…，色1,&，•，**),，试写出线性方程组%入1+先工2-1|_02*G；,=。([])<%用+%2勺"I也.2*租=0自丙+加弓H•■如*科=0的通解，并说明理由.十三、设两个随机变量x,y相互独立，且都服从均值为o,方差为2的正态分布，求随机变2量区一胃的方差.十四、从正态总体从(3,4,6〃中抽取容量为”的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,间样本容量万至少应取多大？附表：标准正态分布表①(4=匚〜不山Z1.281.6451.962.33①(z)0.9000.9500.9750.990

11十五、设某次考试的学生成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生地成绩，算得平均成绩为66.5分，标准差为15分，间在显著性水平0.05下，是否可以认为这次考试全体考生得平均成绩为70分？并给出检验过程.附表：t分布表0.950.975351.68962.0301361.68832.02811999一、填空题(1)limxtO(2)xxtanx—[sin(x-Z)2^/=dx'。')则工的八个特征值是(3)y-4y=e2x的通解为.(4)设月阶矩阵力的元素全为1,(5)设两两相互独立的三事件43和。满足条件：abc=^,p(A)=p(b)=p{c)<1,且产=则尸(阁=163)设/(X)是连续函数，尸(X)是其原函数，则(A)当/(X)是奇函数时，F(X)必是偶函数.(B)当/(x)是偶函数时，尸(x)必是奇函数.(C)当/(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数.(D)当/(x)是单调增函数时，F(x)必是单调噌函数.

12(A)极限不存在.(C)连续，但不可导⑶设y(x)=0Vx'X其中g(x)是有界函数，则〃x)在x=0处x2g(x),x<0(B)极限存在，但不连续(D)可导.其中an=2(x)cosn7rxdxr(n=0,1,2,・一)，则$(-《|等于(A)万(B)--(4)设/是wx力矩阵，3是九xw矩阵，则(A)当加>力时，必有行列式,8卜0(C))当力〉掰时，必有行列式,同工0刀、3小、3(C)~P)—t44(B)当相〉名时,必有行列式|45卜0(D)当时，必有行列式|/a=0(5)设两个相互独立的随机变量x和y分别服从正态分布从(0,1)和儿(1,1),则(A)P{^+Z0,1y⑼=1,过曲线y=y(x)上任意一点尸(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为曷,区间［0,x］上以1y=_y(x)为曲边的曲边梯形面积记为舄，并设2£-$2恒为1，求此曲线丁=y(x)的方程.六、试证：当x>0时，.七、为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口，已知井深30m抓斗自重400M缆绳每米重500N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s在提升过程中,污泥以20曾/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，间克服重力需作多少焦耳的功？（说明：①lNxb«=lJ；也M,s,J分别表示米，牛顿，秒，焦耳；②抓斗的高度位于井口上方的缆绳长度忽略不计）八、设S为桶球面■^■+/+z2=1的上半部分，点尸（xj,z）eS,不为S在点尸处的切平面,Q（xj,z）为点。（0,0,0）到平面开的距离，求JfzdS.sQ（x,y,z）

13九、设％=[jtan'xdx,91⑴求£一（%+、2）的值；x-ln（2）试证：对任意的常数4>0,级数与收敛Jt-1nac十.设矩阵幺=5b3，其行列式=-1,又幺的伴随矩阵力.有一个特征值4,1-c0-a属于4的一个特征向量为a=（-1,-1,1）「，求a,dc和％的值.十一、设月为m阶实对称矩阵且正定，B为wx/实矩阵，为3的转置矩阵，试证：BrAB为正定矩阵的充分必要条件是8的秩r监）=附.十二、设随机变量X与丫相互独立，下表列出了二维随机变量（X*）联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.乃y-iP(X=xi)=pi28勺28产｛[=乂｝=巧£71

14十三、设总体X的概率密度为〃x)=<-x),0

15(4)已知方程蛆12123a+21a—21=3无解,0(5)设两个相互独立的事件幺和8都不发生的概率为:，4发生8不发生的概率与8发生工不9发生的概率相等，则产(n)=二.⑴设」(x),g(x)是恒大于零得可导函数，且/(x)g(x)-/(x)g'(x)<0,则当a/(i)g(x)(B)/(x)g(a)>/(a)g(x)(C)〃x)g(x)>/R)g(5)(D)/(x)g(x)>/(a)g(a)(2)设£:/+丁+22=1卜之0),闻为$在第一卦限中的部分，则有(A)JJxdS=4jJxdS(B)JjydS=41]xdSSS|s，(C)JJzdS=4JJxlS(D)JJxyzdS=4JJjyzdSsasA(3)设级数收敛，则必收敛的级数为©ZE-if)(D)Z®+k)x-1(4)设附维列向量组％,(ms)线性无关，则〃维列向量组自,…，凡线性无关的充分必要条件为(A)向量组％…，％，可由向量组月,…，凡线性表示.(B)向量组4…，鱼可由向量组%，…，4线性表示.(C)向量组％…,％，与向量组自，…，色等价.(D)矩阵上=(%…,4)与矩阵3=(4,…，4)等价.(5)设二维随机变量(x,y)服从二维正态分布，则随机变量4=x+y与7=星-？不相关的充分必要条件为

16(A)E(X)=£”(A)£(/)-［矶X)了=E(产)-［第y)r(C)£(Jfa)=5(ra).(D)网片)+画片)了=e(y2)+画y)了.三、求Hm2+。*sinx(\(\弃四、设Z=/XF,-+g-，其中/具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导致，求XIy)I力oxdyJZ4/+V''取逆时针方向.六、设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有竹炉(xyiydz-yyf(x)dzdx-e2xzdxdy=0,其中函数/(x)在(0,m)内具有连续的一阶导致，且也//(x)=1,求/(x).七、求察级数之一^^工的收敛区域，并讨论该区间断电处的收敛性八、设有一半径为我的球体，片是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到片距离的平方成正比(比例常数上>0),求球体的重心位置九、设函数在［0,同上连续，且J；〃x*x=0j；/(x)cosxdx=0,试证：在(0,7r)内至少存在两个不同的点全易，使/值)=」(a)=0.十、(本题满分6分)'1000———♦010011一0-3设矩阵4的伴随矩阵金=.八.八，且434“=加”+3瓦其中£为4阶单位矩阵，十一、某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工得人数统计，然后将工熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及之间实践至年2终考核有§成为熟练工.设第附年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为玉和匕，记为向量（；）（1）求心+［与］的关系式并写成矩阵形式：,iK+iJI、"»+1/\y»+i）（2）验证为=［：）,%=（；］是上的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值;

17十二、某流水生产线上每一个产品不合格的概率为p（000,x<0其中6>0为未知参数，又设々，声,…，々是X的一组样本观测值，求参数6的最大似然估计值.

182001填空题⑴设y=/(qsinx+c2cosx)(qg为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的同解，则该方程为.(2)设"ylx2+y2+z2,则加(gradr“L22)=：(3)交换二次积分的积分次序：J：力.(4)设矩阵工满足⑷+幺-4£=0,其中&为单位矩阵，则(上-£)-1=.(5)设随机变量乃的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计产｛|X-£(X)|之.二(1)设函数/(x)在定义域内可导，＞=/卜)的图形如右图所示，则导函数y=/(x)的图形为(2)设函数〃x,y)在点(0,0)附近有定义，且八(0,0)=3,/式0,0)=1,则

19(A)&K=3dx4-dy.(B)曲面n=/(xj)在点(0,0的法向量为｛3,1,1)(C)曲线」='1：'刃在点(0,0,/(0,0))的切向量为｛1,0,3｝(D)曲线,z=在点(o,o,y(0,0))的切向量为｛3,0,1｝⑶设"0)=0,则〃x)在点x=0可导的充要条件为(B)J耳工/(1一存在.2)好5[〃2h)T(初|存在0"0c，则力与300_(B)合同但不相似(D)不合同且不相似(A)一cosh)存在(C)sinh)存在.(4)设/=11111111111100000000(A)合同且相似(C)不合同但相似(5)将一枚硬币重复掷非次，以x和y分别表示正面向上和反面向上的次数，则万和y的相关系数等于(A)-1(B)0(C)-(D)12_十『arctan二、求J才出四、设函数z=/(xj)在点(1,1)处可微，且/(“)=喷匕=嚼3ax)=/(x.〃X’X)).求力⑶L]+'2t09f―1V五、设〃X)=丁"C血，试格/(X)展开成X的黑级数,并求级数2的，.U=0和.六、计算/=电"-z'dx+Rz*-巧力+(3-,其中上是平面x+y+z=2与柱面卜|+况=1的交线，从z轴正向看去，上为逆时针方向.

20七、设y=在(-L1)内具有二阶连续导致且/'(x)H0,试证:⑴对于(-1,1)内的任意Xh0,存在唯一的6(x)e(0,1),使〃X)=〃0)+/倒x)x］成八、设有一高度为a为时间)得雪堆再融化过程中，其侧面积满足方程(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),间高度为130厘米)的雪堆全部融化需多少小时？九、设%,生,一口为线性方程组Ax=0的一个基础解系，4=4%+与生，月=tla2+t2ai,"-,j8s=£乌+4%其中4,4为实常数试问4，%满足什么关系时，网，用，…,反也为4x=0的一个基础解系.十、已知3阶矩阵工与三维向量x,使得向量组冗念,金，线性无关，且满足Yx=3Ax-2dx(1)记产=(x/x,/x),求2阶矩阵瓦使4=产3/1,(2)计算行列式M+司.十一、设某班车起点站上客人数星服从参数N(4>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为尸(0〈尸<1),且途中下车与否相互独立，以y表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有附个乘客的条件下，中途有活入下车的概率；(2)二维随机变量(x,y)的概率分布.十二、设总体x服从证态分布N(〃,")(b>0),从该总体中抽取简单随机样本W，…5N2)其样本均值为了=」-£%,求统计量丫=£(正+区川一2文)的数学期望9(y)

212002一、填空题⑴[71^7=——（2）已知函数？=y（x）由方程+6对+/一1=o确定，则？"（o）=（3）微分方程乃"+/2=0满足初始条件1yL°=1j'L』=1的特解是.（4）已知实二次型〃々E,芥3）=a（再2+]+k）+4芯丙+4再入3+4工2入3经正文变换x=fy,可化标准形/=6y：,则a=（5）设随机变量X服从正态分布"（〃,『）（b>0）；且二次方程尸+4丁+星=0无实根的概率为4，则"=,2二、（1）考虑二元函数了（xJ）的下面4条性质：①〃x,y）在点（X。,九）处连窝③〃x,y）在点,为）处可的②〃xj）在点小,用）处的两个偏导数连续；④〃冗回在点值,比）处的两个偏导数存在.若用“产nQ”表示可由性质产推出。，则有(A)②=③=>①(B)③=②n①(C)③=④=①(D)③n①n④(2)设〃*=0(力=1,2,3,-.)且!1111'=1,则级数耳(-1广—h—匕)

22发散.(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性根据所给条件不能判定.(3)设函数y=/(x)在(0,m)内有界且可导，则(A)当lim=0时，必有lim/(x)=OXT+co(A)lim/(x)存在时，必有lim/(x)=O(C)当！孽/(x)=0时，必有Ja/(x)=O(D)li吟〃x)=0存在时，必有lim+/(x)=O(4)设有三张不同平面的方程41芯+%2丁+432=a，，=1,2,3,它们所组成的线性方■程组的系数矩阵与噌厂矩阵的秩都是2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设出和应是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为力(x)和人(X),分布函数分别为瓦(X)和玛(X),则(A)%(x)+方(x)必为某一随机变量的概率密度.(B)工⑴疗(x)必为某一随机变量的概率密度.(C)&(x)+玛(x)必为某一随机变量的分布函数(D)在i(x)玛(x)必为某一随机变量的分布函数.三、设函数〃x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数，且〃0)。0,/(0)工0,若af⑻+h(2%)-/⑼在〃T0时是比h高阶的无穷小，试确定a,8的值四、已知两曲线J=y(x),j=j°2r在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限5

23)五、计算二重积分JJ2ntt力，、dxdy,其中D={(x,y)|00)内的有向分段光

24滑曲线，其起点为8)，终点为(c,d),记/=!；□+为3)］公+,力3)-1］力(1)证明曲线积分1与路径L无关；(2)当=时，求I的值3693n七、(1)验证函数y(x)=1+5+不~+不~4…(-co

25P铲26(1-6)&21-26其中是未知参数，利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3,求6的矩估计值和最大似然估计值.2003填空题(1)蚓(cosx)Ni+*')=.(2)曲面z=/+/与平面2入+”-2=0平行的切平面的方程是.9(3)设X?=Z%C0S?2X(-；iTW彳工”)，则。2=“0(4)从&2的基%=(：)6=]J到基A=(；)自=(；j的过渡矩阵为

266x,0COXT9(A)an对任意n成立.(B)b*<分对任意n成立.(C)极限lima*”不存在.(D)极限hm勾分不存在.XT9XT9(3)已知函数/(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且」琳方心承=点则(A)点(0,0)不是」(x,y)的极值点.(B)点(0,0)是/(xj)的极大值点.(C)点(0,0)是〃xj)的极小值点.(E)根据所给条件无法判断点(0,0凝否为了(xj)的极值点.

27(4)设向量组I：%,a?，…，%可由向量组上自，自，…，网线性表示，则(A)当，s时，向量组H必线性相关(D)当r>s时，向量组I必线性相关.(5)设有齐次线性方程组/x=0和3x=0,其中AH均为wx力矩阵，现有4个命题:①若力x=0的解均是8x=0的解，则秩(A)2秩(B)；②若秩(A)之秩(B),则Ax=O的解均是Bx=O的解；③若力x=0与&=0同解，则秩©)=秩伊)④若秩(A)啜0),则Sx=0与8x=0同解以上命题中正确的是(A)①②.(B)①③(D)③④(C)②④(6)设随机变量X-/(«)(«>1),7=(A)K-Z2(«-1).(B)Y-FM.(D)丫〜F。/).三、过坐标原点作曲线y=Inx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D(1)求D的面积A(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积，1-2%9r-n*四、将函数/(x)=arctan展开成x的察级数，并求级数的和.l+2x4为+1五、已知平面区域D={(x,y)|o«乃},£为。的正向边界.试证:⑴,声-皿云=伊-皿的-y^dx,(2)£段“办-声-皿c/x之王.六、某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层.汽锤每次击打，部将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为匕发>0)，汽锤第一次击打将桩打进地下aw.根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0

28七、设函数y=y(x)在(-8,+oo)内具有二阶导数，且y'w0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.(1)试将x=x(y)所满足的微分方程=+(y+sinx)(电旷=。变换为y=y(x)满足的微/vjj/X-+?2)db产优)一2一2仃9):生，JJ7(k+?)db(/加附Z其中0(£)={(x,丁*)|?+j2+z2q2},D(f)={("y*+j2«/}.(1)讨论产(。在区间(0,+8)内的单调性.2⑵证明当才>0时，F(t)>-G(t).7T'010'P=101001B=P_1A'P,求8+2£的特征值与特征'322设矩阵4=232223向量，其中/为上的伴随矩阵，£为3阶单位矩阵十、已知平面上三条不同直线的方程分别为?1:ax+2by+3c=0,Z2:bx+2cy+3a=0,4:ex+2ay+3b=0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0.「、已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：(1)乙箱中次品件数X的数学期望；(2)从乙箱中任取一件产品是次品的概率.十二、设总体X的概率密度为〃K)=<2g-2(x-e,X<0,其中6>0是未知参数.从总体X中抽取蔺单随机样本区,冬，…,匕，记e=min(W，X2,…，凡)・

29(1)求总体X的分布函数尸(x);(2)求统计量。的分布函数与(K)；(3)如果用。作为。的估计量，讨论它是否具有无偏性.2004一、填空题(1)曲线y=lnx与直线x+y=l垂直的切线方程为.(2)已知/''(靖)=定-"，且〃1)=0,贝U/(x)=.(3)设£为正向圆周x?+丁=2在第一象限中的部分，则曲线积分Jj0-2ydx的值为(4)欧拉方程/22+4工率+2丁=03>0)的通解为.axax-210-«)设矩阵幺=120，矩阵B满足49/=284+£,其中©为4的伴随矩阵，E001是单位矩阵，贝9同=.<6)设随机变量X服从参数为A的指数分布，则P[X八1函=二、选择题(7)把xT()+时的无穷小量a=1cos户必，/=1tan&由,sin-必，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A)明1y.(B)aj,p.(。3ab.①)/3,y,a.

30(8)设函数/(x)连线，且r(0)>0,则存在6>0,使得(A)/(x)在(0,5)内单调增加.(B)/卜)在(一£0)内单调减少.(C)对任意的xe(0,3)有/(x)>/(0).(D)对任意的xe(-5,0)有/(x)>/(0).00(9)设£见为正项级数，下列结论中正确的是n=l8(A)若[映叫,=0,则级数£%收敛.村~n=lco(B)若存在非零常数丸，使得lim也”二儿，则级数5%发散.力->8y»=100(C)若级数，许收敛，则1而月2%=0心一力一>8n=l(D)若级数Z%发散，则存在非零常数4，使得|吧次2”=4.n=l(10)设f(x)为连续函数，产(£)=[⑥j/GMx,则尸'⑵等于(A)2f(2).(B)电.(C)-f(2).(D)0.(11)设A是3阶方阵,将上的第1列与第2列交换得B，再把B的第2列加到第3列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为(A)-01010(B)1。1001©1_0P)roC12)设48为满足工3=0的任意两个非零矩阵，则必有:(A)(B)(C)(D)幺的列向量组线性相关,A的列向量组线性相关,A的行向量组线性相关,上的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.B的列向量组线性相关.B的行向量组线性相关.B的列向量组线性相关.(13)设随机变量Y服从正态分布N(0,l),对给定的a(0ua}=a,若P{闭1)独立同分布，且其方差为。2>0.令y=一则

31(A)Cov(Xltr)=—.(B)Cov(^1(y)=CT2.n(C)0^+7)=——a2.(D)D(Xl-Y)=——a2nn(15)设e~r(b—a).J(16)某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以噌大阻力，使飞机迅速减速并停下现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700knVh.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为尢=6.0x1015)•间从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？注kg表示千克，km/h表示千米/小时.(17)计售曲面积分Z=JJ2^dydz+2y3dzdx+3(z2-X)dxdy,z其中Z是曲面z=1---y2(z>0)的上侧.(18)设有方程/+咫-1=0,其中n为正整数证明此方程存在惟一正实根4,并证明CO当a>l时，级数收敛.(19)设z=z(x,y)是由/一6»+101y2-2»-z?+18=0确定的函数，求z=z(x,y)的极值点和极值(20)设有齐次线性方程组’(1+。)勺+x2+—+xx=0,2%i+(2+t?)x2+—+2x„-0,(%>2)nxi+肛？+•••+(%+a)xn=0,试问。取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解r12-31(21)设矩阵/144的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论工是否可相似对A=-14-J1a5角化.

32(22)设49为随机事件，且p(⑷=+,p(BM)=g『(*8)=4,，令X=O'4发生-Y=fL8发生.一10,力不发生；一10,8不发生.求：(I)二维随机变量(X,Y)的概率分布；(n)x和丫的相关系数0加,.(23)设总体X的分布函数为尸(x，尸)=11_x>1,CT』其中未知参数夕＞1,丫1，莅，…，X”为来自总体X的简单随机样本，求:(1)〃的矩估计量；(in耳的最大似然估计量2005一、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线^=卢二的斜渐近线方程为.2x4-1

33(1)微分方程》'+2y=xlnx满足y(l)=—：的解为.9(3)设函数〃(xj,z)=l+W+/+二，单位向量五则包，=—.61218V3沏-3)(4)设Q是由锥面z=&。十寸与半球面z=J炉-炉-小围成的空间区域,£是Q的整个边界的外侧，贝1J"出心+y&dx+zd;s>=Z(5)设%,%，%均为3维列向量，记矩阵上=(%,%%)，B=(«!+%+%，％+2%+4%，%+3%+9%).如果国=1,那么同=,(6)从数123,4中任取一个数，记为X,再从12…,X中任取一个数，记为Y,则p(y=2)=.二、选择题(本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母埴在题后的括号内)(7)设函数/(x)=1加弋：1+卜广，则f(x)在(一%+8)内(A)处处可导.(B)恰有一个不可导点.(C)恰有两个不可导点.P)至少有三个不可导点(8)设F(x)是连续函数Rx)的一个原函数，"胫=M表示“M的充分必要条件是N',则必有(A)F(x)是偶函数=4x遥奇函数.(B)F(x)是奇函数Q是偶函数.(C)F(x淀:周期函数=fl；x)是周期函数.(D)F(x)是单调函数=f(x遥单调函数.(9)设函数m(xj)=a彳+?)+网彳—>)+「'〃(£)必，其中函数歹具有二阶导数，3具Jx-J有一阶导数，则必有d2u_d2uP■一犷(B)d2u_d2u京一铲d2ud2u©而二谟d2u_d2u①)dxdydx2(10)设有三元方程歹-zlny+e==l,根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域内该方程(A)只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=4x,y).(B)可确定两个具有连续偏导致的隐函数x=nyN)和z=/x,y).(C)可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(xN)和zy(x,y).

34(D)可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(yN)和y=y(x,z).(11)设片,4是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为%,%，则%,金(%+%)线性无关的充分必要条件是(A)4w0.(B)(C)4=0・(D)4=0.(12)设A为n522)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,♦分别为AB的伴随矩阵，则(A)交换d的第1列与第2列得8，(B)交换d的第1行与第2行得(C)交换)的第1列与第2列得-3，①)交换4的第1行与第2行得(13)设二维随机变量(X,Y)的概率分布为701、00.4a1b0.1已知随机事件(X=0｝与｛X+y=1｝相互独立，则(A)a=02,b=0.3(B)a=0.4,b=0.1(C)a=0.3,b=0,2(D)a=0,1,b=0.4《14》设名,尤2,…,X*522)为来自总体N(0,l)的简单随机样本，3为样本均值，S?为样本方差，则(A)/〜"(0,1)(B)nS2-j2(«).(C)(比)牙~£(…(D)("丁阂〜.—s它引2-2三、斛答题《本题共9小题，满分94分.解答直写出文字说明、证明过程或演算步■.)(15)(本题满分n分)设。=((x,^)|x2+y3<>/2,x>0,y>0'),[1+x2+_/]表示不超过1+/+/的最大整数计算二重积分JJxy[l+x2+y2]dxdy.（16）（本网满分12分）81求察级数y（-1）"-1（i+）铲的收敛区间与和函数/（X）.*马力曲一1）。7）（本期满分n分）如图，曲线C的方程为y=/（x）,点（3,2）是它的一个拐点，直线人与“分别是曲线C在点

35（0,0）与（3,2）处的切线，其交点为Q,4）.设函数隐）具有三阶连续导致，计算定积分C（/+x）_/"（x）dx.（18）（本题满分12分）已知函数了（力在［0,1］上连续，在（0,1）内可导，且/'（0）=0J⑴=1证明:⑴存在/£（0,1）,使得了@=1一八（H）存在两个不同的点〃苕£（0,1）,使得r①）/'修）=1・（19）（本风满分12分、设函数①3）具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分,丝缪主孕它的值恒为同一常数（I）证明：对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C,有f0S）/+2h力=o；（II）求函数的表达式.（20）（本题满分9分）已知二次型_/（入1，X2，工3）=（1-。诉+（1-。）w+2君+2Q+a）x1xa的秩为2.（1）求a的值；（H）求正交变换x=Qy,把/（X］,与，X3）化成标准形；（III）求方程/（々,X2，X3）=0的解（21）（本理满分9分）-123已知3阶矩阵力的第一行是3,仇c）,a,6,c不全为零，矩阵8=246（左为常数），且36kAB=0,求线性方程组Ax=0的通解（22）（本题满分9分）设二维随机变量（X,Y）的概率密度为fl.O

36（23）（本题满分9分）设W，占，…，应伽>2）为来自总体"（0,1）的简单随机样本，3为样本均值，记1=区一元i=L2,…求：（D耳的方差…，孙（II）八与匕的协方差Cov（Yx,匕）.

372006f填空题，小题4分，共24分)(1)lim'皿1+三)=101-COSX(2)微分方程_/=丛匕包的通解是X⑶设£是锥面2=我守(0以小)的下侧，则上皿+2胆dx+3(z-l)d物=(4)点(2,1,0)到平面3x+4y+5z=0的距离d=(5)设矩阵工=［；；),£为2阶单位矩阵，矩阵3满足a4=8+2处贝4忸卜(6)设随机变量X与丫相互独立，且均服从区间［0,3］上的均匀分布，则P{max{X,Y)<1］-.二、选择建(每小题4分，共32分)(7)设函数y=/(x)具有二阶导数，且/''(X)>0J"(x)>0,Ax为自变量x在而处的增量，3与力分别为，(x)在点厮处对应的噌量与微分，若Ax>0,则(A)0/(”)dx(9)若级数之%收敛，则级数x-1

38(A)£同收敛X»1(B)N(-攵敛.x-1©收敛.（D）之丐答■收敛.7x-12（10）设/（x,y）与飘xj）均为可微函数，且竹,（xj）w0.已知（x（jJo）是〃x,y）在约束条件叙xj）=0下的一个极值点，下列选项正确的是（A）若力（丽,打）=。,则/>（而J。）=0⑻若力@,打）=0,则/,（勺,打）W0.（C）若工（X。,1y0）w0,则（Wo）=。（D）若I/*（而,为）。0,贝％（而,打）。0.（ID设%,%，…，%均为九维列向量，上是WXM矩阵，下列选项正确的是（A）若%,1线性相关，则〉％力％，…，如％然性相关（B）若％,%，…,见线性相关，则工线性无关（C）若％,%，…,见线性无关，则/%,上%,…/生线性相关（D）若％线性无关，则<%Ha2，…，4见线性无关（12）设工为3阶矩阵，将上的第2行加到第1行得B,再将3的第1列的-1倍加到第2勺10、列得C,记尸=010,则<00b(A)C=P-'AP(B)C=PAP-1(C)C=dAP(D)C=PAPr.（13）设A8为随机事件，且产（3）>0,产（冏8）=1,则必有（A）P（A（jB）>P（A）.（B）P（AuB）>P（B）.（C）P（iA^B）=P（A）.（D）P（AuB）=P（B）.（14）设随机变量x服从正态分布以为，^）,丫服从正态分布阳外，H），且（A）CTjoy.（C）〈a。（D）>%.三解答题（共94分）(15)(10分)设区域£)={(")—+/Ml,xNO),计算二重积分

39(15)(12分)设数列氏｝满足0<%8n->oor人力(16)(12分)将函数/(x)=一。展开成x的幕级数.2+x-x2(18)(12分)设函数/Q)在(0,田)内具有二阶导数，且Z=/(次+7)满足等(19>(12分)设在上半平面D={(xj)|y>0}内，函数具有连续偏导数,且对任意的。>0都有广证明：对L内的任意分段光滑的有向洵单闭曲线L,都有£必"拉-xf(x.y)dy=0.(20)(9分)已知非用欠线性方程组再+x?+应+工4=-1,4々+3电+5工3-x.=-1有3个线性无关的解。再+勺+3x3-bx4=1(I)证明方程组系数矩阵上的秩r(j)=2；(II)求的值及方程组的通解.(21)(9分)设3阶实时称矩阵上的各行元素之和均为3,向量％=(-1,%=是线性方程组Ax=0的两个解，(I)求上的特征值与特征向量；(II)求正交矩阵。和对角矩阵A，使得Qr/Q=A.'1/2,-l