考研数三(1987-1997年)历年真题.doc

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1、1997年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共5分,每小题3分,满分15分.把答案在题中横线上.)(1)设,其中可微,则___________.(2)若函数,则___________.(3)差分方程的通解为___________.(4)若二次型是正定的,则的取值范围是___________.(5)设随机变量和相互独立且都服从正态分布,而和分别是来自总体的简单随机样本,则统计量服从___________分布(2分),参数为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合

2、题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数,则当时,是的()(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但不等价的无穷小(2)若,在内,且,则在内有()(A),(B),(C),(D),(3)设向量组,,线性无关,则下列向量组中,线性无关的是()(A),,(B),,(C),,(D),,(4)设为同阶可逆矩阵,则()(A)(B)存在可逆矩阵,使(C)存在可逆矩阵,使(D)存在可逆矩阵和,使(5)设两个随机变量与相互独立且同分布：,则下列各式中成立的是()(A)(B)(C)(D)三、(本题满分6分)在经济学中,称函数为固定替

3、代弹性生产函数,而称函数为Cobb-Douglas生产函数(简称C—D生产函数).试证明：但时,固定替代弹性生产函数变为C—D生产函数,即有.四、(本题满分5分)设有连续偏导数,和分别由方程和所确定,求.五、(本题满分6分)一商家销售某种商品的价格满足关系(万元/吨),为销售量(单位：吨),商品的成本函数(万元).(1)若每销售一吨商品,政府要征税(万元),求该商家获最大利润时的销售量；(2)为何值时,政府税收总额最大.六、(本题满分6分)设函数在上连续、单调不减且,试证函数在上连续且单调不减(其中).七、(本题满分6分)从点作轴的垂线,交抛物线

4、于点；再从作这条抛物线的切线与轴交于,然后又从作轴的垂线,交抛物线于点,依次重复上述过程得到一系列的点.(1)求；(2)求级数的和.其中为自然数,而表示点与之间的距离.八、(本题满分6分)设函数在上连续,且满足方程,求.九、(本题满分6分)设为阶非奇异矩阵,为维列向量,为常数.记分块矩阵，其中是矩阵的伴随矩阵,为阶单位矩阵.(1)计算并化简；(2)证明：矩阵可逆的充分必要条件是.十、(本题满分10分)设三阶实对称矩阵的特征值是1,2,3；矩阵的属于特征值1,2的特征向量分别是.(1)求的属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵.十一、(本题满分7分)

5、假设随机变量的绝对值不大于1；；在事件出现的条件下,在内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比.试求的分布函数.十二、(本题满分6分)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行.假设一游客在早晨八点的第分钟到达底层候梯处,且在上均匀分布,求该游客等候时间的数学期望.十三、(本题满分6分)两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间的概率密度、数学期望和方差.1996年全国硕士研究生入学统

6、一考试数学三试题一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设方程确定是的函数,则___________.(2)设,则___________..(3)设是抛物线上的一点,若在该点的切线过原点,则系数应满足的关系是___________.(4)设,,,其中.则线性方程组的解是___________.(5)设由来自正态总体容量为9的简单随机样本,得样本均值,则未知参数的置信度为0.95的置信区间为___________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合

7、题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)累次积分可以写成()(A)(B)(C)(D)(2)下述各选项正确的是()(A)若和都收敛,则收敛(B)收敛,则与都收敛(C)若正项级数发散,则(D)若级数收敛,且,则级数也收敛(3)设阶矩阵非奇异(),是矩阵的伴随矩阵,则()(A)(B)(C)(D)(4)设有任意两个维向量组和,若存在两组不全为零的数和,使,则()(A)和都线性相关(B)和都线性无关(C)线性无关(D)线性相关(5)已知且,则下列选项成立的是()(A)(B)(C)(D)三、(本题满分6分)设其中有二阶连续导数,且.(1)求；(2

8、)讨论在上的连续性.四、(本题满分6分)设函数,方程确定是的函数,其中可微；,连续,且.求.五、(本题满分6分)计算.六、(本题满分5分