3.1.2 共面向量定理

《3.1.2 共面向量定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

3.1.2共面向量定理一、基础过关1．当|a|＝|b|≠0，且a，b不共线时，a＋b与a－b的关系是________．(填“共面”“不共面”)2．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是________(填序号)．→2→1→1→①OM＝OA－OB－OC555→1→1→1→②OM＝OA＋OB＋OC532→→→③MA＋MB＋MC＝0→→→→④OM＋OA＋OB＋OC＝03．三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共面”)．→→→→4．已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若OA＋OB＋OC＝λOG，λ的值为________．→→5．已知长方体ABCD—ABCD中，点E是上底面AC的对角线的交点，若AE＝AA＋1111111→→xAB＋yAD，则x，y的值分别为________．6．下面关于空间向量的说法正确的是________(填序号)．①若向量a、b平行，则a、b所在的直线平行；②若向量a、b所在直线是异面直线，则a、b不共面；→→③若A、B、C、D四点不共面，则向量AB、CD不共面；→→→④若A、B、C、D四点不共面，则向量AB、AC、AD不共面．7．下列结论中，正确的是________(填序号)．①若a、b、c共面，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；②若a、b、c不共面，则不存在实数x，y，使a＝xb＋yc；③若a、b、c共面，b、c不共线，则存在实数x，y，使a＝xb＋yc；④若a＝xb＋yc，则a、b、c共面．8．在平行六面体ABCD—ABCD中，M、N分别是棱CC、CD的中点，则下列结论错11111误的是________(填序号)．→1→①MN＝CD；21→→→→②AC＝AB＋AD＋AA；11→→→③BM、AD与AD共面；1111→1→→④BN＝(BA＋BC)．2二、能力提升→→→9．已知非零向量e，e不共线，如果AB＝e＋e，AC＝2e＋8e，AD＝3e－3e.求证：A、12121212B、C、D共面．

1→2→1→2→10．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外一点O，有OP＝OA＋OB＋OC.求证：P、555A、B、C四点共面．→→→11．对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点．试判断：EF与BC、AD的关系．12．1如图所示，平行六面体ABCD—ABCD中，E，F分别在BB和DD上，且BE＝BB，111111312DF＝DD.31(1)求证：A，E，C，F四点共面；1→→→→(2)若EF＝xAB＋yAD＋zAA，求x＋y＋z的值．1三、探究与拓展13．→→→如图所示，在平行六面体ABCD—ABCD中，O是BD的中点，求证：BC，OD，OC11111111是共面向量．

2答案111．共面2．③3．共面4．35．，6．④7．②③④8．④229．证明令λ(e＋e)＋μ(2e＋8e)＋1212v(3e－3e)＝0.12则(λ＋2μ＋3v)e＋(λ＋8μ－3v)e＝0.12λ＋2μ＋3v＝0，∵e、e不共线，∴12λ＋8μ－3v＝0，λ＝－5易知μ＝1是其中一组解，v＝1→→→则－5AB＋AC＋AD＝0，∴A、B、C、D共面．→2→1→2→10．证明∵OP＝OA＋OB＋OC，555→12→1→2→∴OP＝1－5－5OA＋5OB＋5OC→1→→2→→＝OA＋(OB－OA)＋(OC－OA)55→1→2→＝OA＋AB＋AC，55→→1→2→∴OP－OA＝AB＋AC，55→1→2→∴AP＝AB＋AC，55→→→∴向量AP、AB、AC共面，而线段AP、AB、AC有公共点，∴P、A、B、C四点共面．11．解如图所示．空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，利用多边形加法法则可得：→→→→EF＝EA＋AD＋DF①→→→→EF＝EB＋BC＋CF②又E、F分别是AB、CD的中点．→→→→故有EA＝－EB，DF＝－CF③→→→→将③代入①得EF＝－EB＋AD－CF④→→→②＋④得：2EF＝AD＋BC→1→1→所以EF＝AD＋BC，22

3→→→即EF与BC、AD共面．→→→→12．(1)证明∵AC＝AB＋AD＋AA11→→1→2→＝AB＋AD＋AA＋AA3131→1→→2→＝AB＋AA＋AD＋AA3131→→→→→→＝(AB＋BE)＋(AD＋DF)＝AE＋AF.∴A、E、C、F四点共面．1→→→(2)解∵EF＝AF－AE→→→→＝AD＋DF－(AB＋BE)→2→→1→＝AD＋DD－AB－BB3131→→1→＝－AB＋AD＋AA，31→→→→且EF＝xAB＋yAD＋zAA.111则x＋y＋z＝－1＋1＋＝.33→13．证明设CB＝a，11→→CD＝b，CC＝c，111∵四边形BBCC为平行四边形，11→∴BC＝c－a，1又O是BD的中点，11→1∴CO＝(a＋b)，12→1∴OC＝－(a＋b)，12→→→1OD＝CD－CO＝b－(a＋b)111121＝(b－a)．2→∵DD綊CC，∴DD＝c，111→→→1∴OD＝OD＋DD＝(b－a)＋c.112→→→若存在实数x、y，使BC＝xOD＋yOC(x，y∈R)成立，则111c－a＝x2b－a＋c＋1y－2a＋b11＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc.22∵a、b、c不共线，1x＋y＝1，2x＝1，∴1得x－y＝0，2y＝1.x＝1，

4→→→→→→∴BC＝OD＋OC，∴BC、OD、OC是共面向量．1111