2015-2016学年山西省名校联考高三（上）期末数学试卷（文科）

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2015-2016学年山西省名校联考高三（上）期末数学试卷（文科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|﹣3＜x＜4}，集合B={x|x＜log29}，则A∪B等于（）A．（﹣3，log29）B．（﹣3，4）C．（﹣∞，log29）D．（﹣∞，4）2．复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知向量=（3，4），=（2，x），若•=2||，则实数x等于（）A．﹣1B．1C．2D．114．已知椭圆+=1的上顶点为A、右顶点为B，直线x﹣2y=0过线段AB的中点，则实数k等于（）A．2B．3C．4D．65．已知α∈（﹣，0），且cosα=，则sin（π+2α）等于（）A．B．﹣C．D．﹣6．从集合A={﹣1，，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={，，2}中随机选取一个数记为a，则ak＞1的概率为（）A．B．C．D．7．如图是一个程序框图，则输出s的值是（）A．5B．7C．9D．118．已知A、B、C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．18πD．1/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

19．已知函数f（x）=x3﹣（1+）x2+2bx在区间（﹣3，1）上是减函数，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，1]C．[1，2]D．[﹣3，+∞）10．已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜），其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为，若f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，0]C．（﹣，﹣]D．[0，]11．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．23D．2412．已知函数f（x）=，且函数g（x）=loga（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．[﹣，+∞]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在△ABC中，A=60°，2asinB=3，则b=．14．已知函数（fx）=log3x+x+m在区间（，9）上有零点，则实数m的取值范围是．15．如果实数x，y满足条件，则z=的最大值为．16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）和圆O：x2+y2=b2．过双曲线C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．若△PAB可为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是．2/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

2三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设公比不为1等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3是a1和a2的等差中项，S4+a2=．（1）求an；（2）已知等差数列{bn}的前n项和Tn，b1=a3，T7=49，求++…+．18．为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由；喜好体育运动不喜好体育运动合计男生5女生10合计50下面的临界值表供参考：P（k2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB=AC，AA1=3，BC=CF=2．（1）求证：C1E∥平面ADF；（2）若点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF？20．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．3/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

321．已知函数f（x）=x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率小于0，求f（x）的单调区间；（2）对任意的a∈[，]，函数g（x）=f（x）﹣在区间[1，2]上为增函数，求λ的取值范围．选考题（请考生从22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．（1）求证：AB•DE=BC•CE；（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．选修4-5：不等式选讲24．已知实数a、b满足：a＞0，b＞0．（1）若x∈R，求证：|x+a|+|x﹣b|≥2．（2）若a+b=1，求证：++≥12．4/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

42015-2016学年山西省名校联考高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|﹣3＜x＜4}，集合B={x|x＜log29}，则A∪B等于（）A．（﹣3，log29）B．（﹣3，4）C．（﹣∞，log29）D．（﹣∞，4）【考点】并集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：∵A=（﹣3，4），B=（﹣∞，log29}，且4=log224=log216＞log29，∴A∪B=（﹣∞，4），故选：D．2．复数在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，得到复数在复平面上所对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由=，则复数在复平面上所对应的点的坐标为：（﹣3，﹣2），位于第三象限．故选：C．3．已知向量=（3，4），=（2，x），若•=2||，则实数x等于（）A．﹣1B．1C．2D．11【考点】平面向量数量积的运算．【分析】进行数量积的坐标运算求出，根据坐标求出，从而由便可建立关于x的方程，解方程便得实数x的值．【解答】解：；∴由得：6+4x=10；∴x=1．故选：B．5/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

54．已知椭圆+=1的上顶点为A、右顶点为B，直线x﹣2y=0过线段AB的中点，则实数k等于（）A．2B．3C．4D．6【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆性质先分别求出A，B的坐标，从而求出线段AB的中点坐标，代入到直线方程中能求出实数k的值．【解答】解：∵椭圆+=1的上顶点为A、右顶点为B，∴A（0，），B（，0），∴线段AB的中点M（，），∵直线x﹣2y=0过线段AB的中点，∴﹣2×=0，解得k=2．故选：A．5．已知α∈（﹣，0），且cosα=，则sin（π+2α）等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用诱导公式、二倍角的正弦公式，求得sin（π+2α）的值．【解答】解：∵α∈（﹣，0），且cosα=，∴sinα=﹣=﹣，则sin（π+2α）=﹣sin2α=﹣2sinαcosα=﹣2•（﹣）•=，故选：C．6．从集合A={﹣1，，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={，，2}中随机选取一个数记为a，则ak＞1的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式；几何概型．【分析】利用列举法结婚指数函数的单调性进行求解即可．6/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

6【解答】解：分别从集合A，B各取一个数，共有3×3=9组实数对，若a=，则由ak＞1得k＜0，此时k=﹣1，有1个，若a=，则由ak＞1得k＞0，此时k=，2，有2个，若a=2，则由ak＞1得k＞0，此时k=，2，有2个，共有5个，则对应的概率P=，故选：D．7．如图是一个程序框图，则输出s的值是（）A．5B．7C．9D．11【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的s值．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；s=38，n=1，s=19+1﹣2=18，n=1+2=3，s≤n不成立；s=9+3﹣2=10，n=3+2=5，s≤n不成立；s=5+5﹣2=8，n=5+2=7，s≤n不成立；s=4+7﹣2=9，n=7+2=9，s≤n成立，退出循环，输出s的值为9．故选：C．8．已知A、B、C三点在球O的球面上，AB=BC=CA=3，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．18πD．【考点】球的体积和表面积．【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【解答】解：设球的半径为r，O′是△ABC的外心，外接圆半径为R=，∵球心O到平面ABC的距离等于球半径的，7/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

7∴得r2﹣r2=3，得r2=．球的表面积S=4πr2=4π×=π．故选：D．9．已知函数f（x）=x3﹣（1+）x2+2bx在区间（﹣3，1）上是减函数，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3]B．（﹣∞，1]C．[1，2]D．[﹣3，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【分析】若函数f（x）=x3﹣（1+）x2+2bx在区间（﹣3，1）上是减函数，则f′（x）=x2﹣（2+b）x+2b=（x﹣b）（x﹣2）＜0在区间（﹣3，1）上恒成立，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣（1+）x2+2bx在区间（﹣3，1）上是减函数，∴f′（x）=x2﹣（2+b）x+2b=（x﹣b）（x﹣2）＜0在区间（﹣3，1）上恒成立，即（﹣3，1）⊆（b，2），解得：b≤﹣3，实数b的取值范围是（﹣∞，﹣3]，故选：A10．已知函数f（x）=2cos（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜），其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为，若f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，0]C．（﹣，﹣]D．[0，]【考点】余弦函数的图象．【分析】由函数图象和题意可得ω=3，进而可得关于φ的不等式组，解不等式组结合选项可得．【解答】解：由题意可得函数f（x）=2cos（ωx+φ）+1的最大值为3，∵f（x）图象与直线y=3相邻两个交点的距离为，∴f（x）的周期T=，∴=，解得ω=3，∴f（x）=2cos（3x+φ）+1，∵f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，∴2cos（3x+φ）+1＞1即cos（3x+φ）＞0对∀x∈（﹣，）恒成立，8/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

8∴﹣+φ≥2kπ﹣且+φ≤2kπ+，解得φ≥2kπ﹣且φ≤2kπ，即2kπ﹣≤φ≤2kπ，k∈Z．结合选项可得当k=0时，φ的取值范围为[﹣，0]，故选：B．11．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．23D．24【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图作出直观图，几何体为三棱锥与四棱锥的组合体．【解答】解：作出几何体的直观图如图所示，则几何体为四棱锥C﹣ABNM和三棱锥A﹣ACD组合体．由三视图可知BC⊥平面ABNM，MA⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，NB=2，MA=4，∴几何体的体积V=+=．故选A．9/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

912．已知函数f（x）=，且函数g（x）=loga（x2+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．[﹣，+∞]【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由已知函数g（x）=log2a（x+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，先求出a值，进而求出两个函数在指定区间上的最小值，结合已知，分析两个最小值的关系，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）==31﹣x﹣m，当x1∈[﹣1，2]时，f（x1）∈[﹣m，9﹣m]；∵t=x2+x+2的图象是开口朝上，且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，故x∈[﹣，1]时，t∈[，4]，若函数g（x）=log2a（x+x+2）（a＞0，且a≠1）在[﹣，1]上的最大值为2，则a=2，即g（x）=log22（x+x+2），当x2∈[0，3]时，g（x2）∈[1，log214]，若对任意x1∈[﹣1，2]，存在x2∈[0，3]，使得f（x1）≥g（x2），则﹣m≥1，解得m∈（﹣∞，﹣]，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．在△ABC中，A=60°，2asinB=3，则b=．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得b=，整体代入计算可得．【解答】解：由正弦定理可得=，10/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

10∴b===故答案为：14．已知函数f（x）=log3x+x+m在区间（，9）上有零点，则实数m的取值范围是﹣11＜m＜．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点的性质，f（）f（9）＜0，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：∵y1=x单调递增，y2=log3x单调递增∴f（x）=log3x+x+m单调递增又∵数f（x）=log3x+x+m在区间（，9）上有零点，∴f（）f（9）＜0，∴（﹣1++m）（2+9+m）＜0，∴﹣11＜m＜．故答案为：﹣11＜m＜．15．如果实数x，y满足条件，则z=的最大值为2．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，由z=的几何意义，即可行域内的动点与坐标原点连线的斜率的倒数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域，11/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

11联立，解得A（），联立，解得B（），∴，，∴z=∈[，2]．则z=的最大值为2．故答案为：2．16．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）和圆O：x2+y2=b2．过双曲线C上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．若△PAB可为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是[，+∞）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由于△PAB可为正三角形，可得∠OPA=30°°，OP=2b≥a，再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：∵△PAB可为正三角形，∴∠OPA=30°，∴OP=2b则2b≥a，∴≥，12/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

12∴双曲线C的离心率e≥．∴双曲线C的离心率的取值范围是[，+∞）．故答案为：[，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．设公比不为1等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3是a1和a2的等差中项，S4+a2=．（1）求an；（2）已知等差数列{bn}的前n项和Tn，b1=a3，T7=49，求++…+．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设出等比数列的公比，由题意列式求出首项和公比，代入等比数列的通项公式得答案；（2）由题意求出等差数列的首项和公差，求出通项公式，利用裂项相消法求得++…+．【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q，则，解得．∴；（2）b1=a3=1，设等差数列{bn}的公差为d，则，解得d=2．∴bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1．则++…+==（1+…+）=（1﹣）=．13/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

1318．为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：已知喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为10的样本，则抽到喜好体育运动的人数为6．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由；喜好体育运动不喜好体育运动合计男生5女生10合计50下面的临界值表供参考：P（k2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据分层抽样比计算出全班喜欢体育运动的人数和不喜欢体育运动的人数，（2）根据公式计算K2，对照临界值表作结论．【解答】解：（1）全班喜欢体育运动的人数为50×=30，故不喜欢体育运动的人数为20，列联表如下：喜好体育运动不喜好体育运动合计男生20525女生101525合计302050（2）K2==8.333＞7.879．∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜好体育运动与性别有关．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D、E分别是棱BC、AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB=AC，AA1=3，BC=CF=2．（1）求证：C1E∥平面ADF；（2）若点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF？14/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

14【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）连接CE交AD于O，连接OF．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，．由此能够证明C1E∥平面ADF．（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，先证出AD⊥平面B1BCC1．再证明当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．【解答】解：（1）连接CE交AD于O，连接OF．因为CE，AD为△ABC中线，所以O为△ABC的重心，．从而OF∥C1E．…OF⊂面ADF，C1E⊄平面ADF，所以C1E∥平面ADF．…（2）当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由于B1B⊥平面ABC，BB1⊂平面B1BCC1，所以平面B1BCC1⊥平面ABC．由于AB=AC，D是BC中点，所以AD⊥BC．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC，所以AD⊥平面B1BCC1．而CM⊂平面B1BCC1，于是AD⊥CM．…因为BM=CD=1，BC=CF=2，所以Rt△CBM≌Rt△FCD，所以CM⊥DF．…DF与AD相交，所以CM⊥平面ADF．CM⊂平面CAM，所以平面CAM⊥平面ADF．…当BM=1时，平面CAM⊥平面ADF．…20．平面直角坐标系xoy中，直线x﹣y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为（1）求圆O的方程；（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．15/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

15【分析】（1）求出O点到直线x﹣y+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值．【解答】解：（1）因为O点到直线x﹣y+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x2+y2=2．（2）设直线l的方程为，即bx+ay﹣ab=0，由直线l与圆O相切，得，即，，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y﹣2=0．（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），，，直线MP与x轴交点，，直线NP与x轴交点，，===2，故mn为定值2．21．已知函数f（x）=x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线的斜率小于0，求f（x）的单调区间；16/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

16（2）对任意的a∈[，]，函数g（x）=f（x）﹣在区间[1，2]上为增函数，求λ的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，并分解因式，由题意可得f′（2）＜0，再由导数大于0，可得增区间，导数小于0，可得减区间，注意定义域；（2）求出g（x）的导数，问题转化为x3﹣7x2+6x+λ≥0对x∈[1，2]恒成立，令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，求出导数，求得单调区间和最小值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx，（x＞0），f′（x）=x﹣（2a+2）+=，x＞0，由题意可得f′（2）=＜0，可得a＞，2a+1＞2＞1，由f′（x）＞0，可得x＞2a+1或0＜x＜1；f′（x）＜0，可得1＜x＜2a+1．即有f（x）的增区间为（0，1），（2a+1，+∞）；减区间为（1，2a+1）；（2）∵函数g（x）=f（x）﹣在区间[1，2]上为增函数，∴g′（x）≥0对任意的a∈[，]，x∈[1，2]恒成立，即x﹣（2a+2）++≥0，即为x3﹣（2a+2）x2+（2a+1）x+λ≥0，则（2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0，a∈[，]，由x∈[1，2]，可得2x﹣2x2≤0，只需（2x﹣2x2）+x3﹣2x2+x+λ≥0．即x3﹣7x2+6x+λ≥0对x∈[1，2]恒成立，令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，h′（x）=3x2﹣14x+6≤0在1≤x≤2恒成立，则有h（x）在[1，2]递减，可得h（2）取得最小值，且为﹣8+λ≥0，解得λ≥8，∴λ的取值范围是[8，+∞）．选考题（请考生从22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：几何证明选讲22．如图，AB是圆O的直径，C为圆周上一点，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E．（1）求证：AB•DE=BC•CE；（2）若AB=8，BC=4，求线段AE的长．17/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

17【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接BE，OC，OC∩BE=F，证明△EDC∽△BCA，即可证明AB•DE=BC•CE；（2）证明四边形EFCD是矩形，△OBC是等边三角形，即可得出结论．【解答】（1）证明：连接BE，OC，AC，OC∩BE=F，则∵CD是圆O的切线，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴AD∥OC，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BE，∵AD⊥l，∴l∥BE，∴∠DCE=∠CBE=∠CAB，∵∠EDC=∠BCA=90°，∴△EDC∽△BCA，∴=，∴AB•DE=BC•CE；（2）解：由（1）可知四边形EFCD是矩形，∴DE=CF，∵圆O的直径AB=8，BC=4，∴∠ABC=60°∴△OBC是等边三角形，∴∠EBA=30°，AE=4．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程是ρ=asinθ，直线l的参数方程是（t为参数）18/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

18（1）若a=2，直线l与x轴的交点是M，N是圆C上一动点，求|MN|的最大值；（2）直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，求a的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）求出圆C的圆心和半径，M点坐标，则|MN|的最大值为|MC|+r；（2）由垂径定理可知圆心到直线l的距离为半径的，列出方程解出．【解答】解：（1）当a=2时，圆C的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y﹣1）2=1．∴圆C的圆心坐标为C（0，1），半径r=1．令y==0得t=0，把t=0代入x=﹣得x=2．∴M（2，0）．∴|MC|==．∴|MN|的最大值为|MC|+r=．（2）由ρ=asinθ得ρ2=aρsinθ，∴圆C的直角坐标方程是x2+y2=ay，即x2+（y﹣）2=．∴圆C的圆心为C（0，），半径为||，直线l的普通方程为4x+3y﹣8=0．∵直线l被圆C截得的弦长等于圆C的半径的倍，∴圆心C到直线l的距离为圆C半径的一半．∴=||，解得a=32或a=．选修4-5：不等式选讲24．已知实数a、b满足：a＞0，b＞0．（1）若x∈R，求证：|x+a|+|x﹣b|≥2．（2）若a+b=1，求证：++≥12．【考点】不等式的证明；绝对值三角不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质和均值不等式，即可得证；（2）由均值不等式可得ab≤，即≥4，原不等式左边化简即为，即可得证．【解答】证明：（1）由a＞0，b＞0，可得|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|=a+b≥2，当且仅当a=b取得等号；（2）由a，b＞0，1=a+b≥2，可得ab≤，即≥4，则++=+=≥12，当且仅当a=b=，取得等号．19/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

1920/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编

202016年8月3日21/21名师1对1：决战年终，冲刺期末！免费约课：4000-176-333系列资料BY三好网汇编