新高考高中物理 竞赛专题5 近代物理 50题竞赛真题强化训练解析版.docx

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新高考高中物理竞赛专题5近代物理50题竞赛真题强化训练一、单选题1．（2021·全国·高三竞赛）氢原子的基态能量为-13.6eV。由一个电子和一个正电子结合成的束缚态（即所谓电子偶素）的基态能量近似为（　　）A．-1.2eVB．-3.4eVC．-6.8eVD．-27.2eV【答案】C【解析】【分析】【详解】略二、多选题2．（2019·全国·高三竞赛）2015年诺贝尔奖颁发给了棍田隆章（TakaakiKajita）和阿瑟·B·麦克唐纳（ArthurB．MeDonald），奖励他们分别身为各自团队中的核心研究者，和同事一起发现了中微子振荡，在粒子物理领域开辟了新的疆土。一种常见的探测中微子的方法是在氢核（即质子）上俘获中微子，生成一个正电子和一个中子，称为反贝塔衰变反应（IBD）。下面说法中正确的有（　　）A．反应方程式可以写为，其中为反电子中微子B．中子和正电子的静质量之和大于质子静质量，中微子的静质量趋于0C．自由的中子也可以进行衰变，产生中微子，反应方程式为D．如果被反应前质子是静止的，则产生的正电子和中子的动量之和不等于0【答案】ABD【解析】【详解】A．根据氢核（即质子）上俘获中微子，生成一个正电子和一个中子可知其中为反电子中微子，故A正确。B．中微子是俘获的，说明它是运动的，根据爱因斯坦质能方程，运动的能量可以转换为质量，所以反应后的质量之和大于反应前质子质量，中微子的静质量趋于0，故B正确；C．中子衰变应该产生质子和电子，而不是正电子，故C错误；D．若反应前质子是静止的，但中微子是运动的，所以反应前的总动量不等于零，所以反应后总动量也不为零，故D正确。故选ABD。三、解答题 3．（2019·全国·高三竞赛）一个处于基态的氢原子与另一个处于基态的氢原子碰撞，问：可能发生非弹性碰撞的最小速度为多少？氢原子的质量是kg，电离能.【答案】【解析】【详解】氢原子的基态能量为，第一激发态能量为，因此氢原子只有获得能量，才会从基态跃迁到激发态.小于该能量，氢原子不吸收，产生的是弹性碰撞．因此，我们要求两个氢原子在碰撞过程中能量损失小于上述数值．显然在同样条件下，两个原子发生迎面对心碰撞能量损失最大，设两原子相向速率为，碰撞后两原子相对静止，其能量损失为，该能量若要使一个氢原子激发，需满足，即，所以，，即两氢原子以大于的速度相对运动碰撞，有可能引起氢原子的激发，产生非弹性碰撞.原子的跃迁是能量的转化问题，只是玻尔原子理论告诉我们，这种跃迁是量子化的，因此，原子跃迁时，对所吸收的光子有能量方面的要求，因为光子的能量是整体性的，但对于由于原子间的碰撞所引起的跃迁，则原子碰撞中的能量损失只要满足跃迁所需的能量即可，剩余的能量可由原子以动能的形式残存.4．（2019·全国·高三竞赛）在环绕地球做圆周运动的空间实验站的实验室内做下述理想实验：一束功率的激光束垂直射到一个相对于实验室静止的物体的表面上．物体质量，比热容为，由理想的黑色材料做成，物体在光的照射下平动．不计物体的热散失，试求激光束在连续照射的过程中，物体移动的距离和升高的温度．【答案】【解析】【详解】光子的能量，相应的动量为，即，故，，， 得．5．（2019·全国·高三竞赛）在大气和有生命的植物中，大约每个碳原子中有一个原子，其半衰期为t=5700年，其余的均为稳定的原子．在考古工作中，常常通过测定古物中的含量来推算这一古物年代．如果在实验中测出：有一古木炭样品，在mg的碳原子中，在（年）时间内有个原子发生衰变．设烧成木炭的树是在T年前死亡的，试列出能求出T的有关方程式（不要求解方程）．【答案】【解析】【详解】m克碳中原有的原子数为，式中为阿伏伽德罗常数．经过T年，现存原子数为                                 ①在内衰变的原子数为                           ②在①②两式中，m、、、和均为已知，只有n和T为未知的，联立二式便可求出T．【点睛】测龄是考古中涉及的技术问题，是对古生物进行年代分析的手段，其原理便是利用放射性的半衰期．这一方法虽然有一定的误差，但大体年代却是不会错的．这一方法的运用是现代科技在生活中应用的典型代表，其涉及的内容与方法也是中学生能够理解与处理的，因而它也就自然而然地成了考试的热点．6．（2019·全国·高三竞赛）早期一种氢原子模型（汤姆生模型），它是均匀带正电的球，电子位于球心，整个原子呈中性，试求这样原子的半径．如果已知，为使电子脱离离子飞向远处，它需要具有的最小能量等于，电子电量为e．【答案】【解析】【详解】首先不难计算将电子从原子表面移到无穷远处需要做的功，这功等于电子在带正电球面处具有的电势能，即电场在球面上的电势（e是球的电量，R是球的半径）乘以电子的电量为了求得电子从原子中心移到其表面需要做的功，将球分成许多厚为的薄球层，使在每一层范围内作用在电荷上的力可以认为是恒定的，为此必须使．每层电荷产生的电场强度在内层等于零，而在层外，如同整层电荷集中在球心所产生的电场强度．在原子内到球心距离r处电场强度等于 在这层对电子作用力为．式中q是半径为r球内电量．因为球的电量为e且在球体内均匀分布，所以在球的单位体积内聚集电量为．这就是说，在半径为r球内将有电量所以．为了求在原子内部移动电子做的功，取平均力并乘以电子位移R．因为作用在电子上的力与电子到原子中心距离成正比，所以平均力等于电子在原子表面上所受力的一半：，所以将电子从原子中心移到远处需要做的总功为据题意这个功等于，即，由此得．【点睛】虽然汤姆生的“枣糕模型”已经过时了，但从理论上研究这一模型的性质还是有一定的实际意义的．它不仅让我们熟知了与之相关的规律的应用，同时也让我们清晰了物理研究方法的产生、自然规律探究的途径．7．（2019·全国·高三竞赛）假定我们所在的宇宙就是一个黑洞，即我们不可能把光反射到我们的宇宙之外.所以即使在宇宙之外还存在空间，还存在天体的话（这完全是一种假设），那么外面的天体看我们的宇宙就是一个“大黑洞.试从这一假定估算我们宇宙的半径.【答案】【解析】【详解】设宇宙质量为，半径为，则. 由于黑洞的临界半径为.       所以，m.天体运动虽是近代物理领域研究的重点内容之一，但涉及的规律基本上都离不开万有引力定律，所以，与天体运动相关的黑洞、中子星等内容，我们都将其纳入“角动量与天体运动”一章中，读者可以回顾这部分内容.8．（2019·全国·高三竞赛）当质量为，速度为．的微粒与静止的氢核碰撞，被氢核捕获（完全非弹性碰撞）后，速度变为；当这个质量为，速度为．的微粒与静止的碳核做对心完全弹性碰撞时，碰撞后碳核速度为，今测出，已知，则此微粒质量与氢核质量之比为多少？【答案】【解析】【详解】根据题意有，即有.又由动量守恒有，由动能守恒有，解得，则考虑到，可得，此微粒的质量等于氢核的质量.本题是对发现中子的实验的理论研究模型，这一过程是动量守恒与动能守恒的应用，而阅读解答过程，有处理基本的力学试题的味道，但它却是发现中子的重要理论依据之一.9．（2019·全国·高三竞赛）双金属板由两块擦亮的银和锂厚平板组成，把板放在真空中，先用波长为（大于银的极限波长，但小于锂的极限波长）的单紫色光垂直照在银面镜上，再将板翻过180°，则作用在板上的力变化多少倍？假设落在锂表面上的光子中引起光电效应的光子占所有光子数的比例为，且光电子都以最大可能速度垂直平面飞出，锂的逸出功为，电子的质量为.【答案】【解析】【详解】设在时间内有个光子射在板面上，每个光子能量、动量.由于小于银的逸出功，所有光子都被镜面反射，传给板的总冲量为，则对板的作用力为.当板翻过来后，光子开始从锂表面打出光电子.根据爱因斯坦光电效应方程可求得光电子的速度为 .每个逸出的光电子传递给板的动量.因此，当光照射时锂表面受到的作用力为.（对于公式中的第1项，我们忽略了光子被吸收而没有被反射部分引起的作用力）于是.光子有能量，亦有动量.光照射在物体上时，相当于流体连续作用在物体上的情形，由此产生作用力，通常称为光压，光压通常作为命题背景出现在竞赛试题中，本题只是这方面的示例.在本题的模型中，应该有，力的增大是由于光电子动量比打出光电子的光子的动量大许多倍.10．（2019·全国·高三竞赛）氢原子模型中，轨道的量子化条件为，其中为级轨道半径，为级的物质波的波长.已知电子电量、静电力恒量、电子质量、普朗克常数.（1）求第级的电子轨道半径.（2）求第级的电子的运动周期.（3）偶电子素的量子化条件为（偶电子素是指反电子与电子构成的体系，它们绕两点中心做圆周运动），求偶电子素中第级的电子轨道半径.【答案】（1），（2）       （3），【解析】【详解】（1）联立，，，解得第级的电子轨道半径为，，，….（2）联立，，解得第级的电子运动的周期为.（3）联立，，，解得偶电子素中第级的电子轨道半径为，，2，…. 本题的问题（1）（2）属于氢原子理论的基本内容，而问题（3）则给出了偶电子素模型，这同样是类氢原子结构，所有的这类结构，在没有特别说明的情况下，我们都默认它服从玻尔的原子理论，遵循能量的量子化、轨道的量子化、角动量的量子化，并以此为前提来解决相关问题.11．（2019·全国·高三竞赛）已知某放射源在t=0时，包含个原子，此种原子的半衰期为30天．（1）计算时，已发生衰变的原子数；（2）确定这种原子只剩下个的时刻．【答案】（1）个   （2）399天【解析】【详解】衰变系数与半衰期的关系为．衰变规律可表述为．（1）时刻未衰变的原子数为．已发生衰变的原子数便为个（2）时刻未发生衰变的原子数为．由此可解得天．12．（2019·全国·高三竞赛）设质子的半径为，求质子的密度．如果在宇宙间有一个恒定的密度等于质子的密度．如不从相对论考虑，假定它表面的“第一宇宙速度”达到光速，试估算它的半径是多少．它表面上的“重力加速度”又等于多少？（气体的分子数是个；光速；万有引力常数G取为）只取一位数做近似计算．【答案】【解析】【详解】的摩尔质量为，分子的质量为． 所以质子的质量近似为．质子的密度．设该星体表面的第一宇宙速度为v，由万引力定律，得，．而，所以，，．由于“重力加速度”，所以．13．（2019·全国·高三竞赛）试估算热中子的德布罗意波长．热中子是指在室温下（）与周围处于热平衡的中子．（中子的质量）【答案】【解析】【详解】热中子的平均动能为．它的方均根速率．相应的德布罗意波长这一波长与X射线的波长同数量级，与晶体的晶面距离也有相同的数量级，所以也可以产生中子衍射．14．（2019·全国·高三竞赛）如图所示是拍摄在威尔逊云室里粒子径迹的照片，照片比例为1：1．威尔逊云室里充满气体，快速中子对气体作用，在该情况下引起气体核衰变，威尔逊云室充满氢（）、酒精汽（）和水（）的混合物并放在磁感强度为磁场里，磁感强度方向垂直于图面．（1）求出现在A点的质子的能量．这质子径迹是曲线 ，为什么质子径迹的曲率发生变化？求质子在其径迹C点具有能量．质子质量为．（2）哪一个元素的核在A点发生衰变，如果在这点开始的粒子径迹可视为两个质子和两个粒子的径迹？【答案】（1）见解析（2）碳核【解析】【详解】（1）为了求质子的动能，必须知道质子速度v大小．不可能从图中直接确定这个量，为求v采用如下构思．在磁感强度为B磁场中以速度v运动的质子受到洛仑磁力作用为（我们认为，质子在图面内运动，即）．根据牛顿第二定律，这力使质子具有加速度，由于，所以加速度a是向心加速度：，式中R是在该点径迹的曲率半径，即圆周的半径，其圆弧是衔接该点一段轨迹，于是由此得，．从图中可以确定R值，它可以这样做（如图所示）：在轨迹M点附L近取两点L和N，引入弦LM和NM，过弦中点作垂线，两条垂线的交点与轨迹LN段圆弧的圆心重N合，用这样方法确定在A点和C点轨迹曲线的半径，将所求的值代入表示式中，求得和．毫无疑问，测出曲率半径的精确度影响求得值的精确度．按图计算（利用照片比例为1：1条件）得出（显然，数量级理应如此）．轨迹曲率半径的减小证实质子速度减小，质子当电离介质时消耗能量．（2）在中子作用下未知核X的裂变反应以如下方式进行： 根据电荷守恒规律可知．因此，X核是碳核，根据质量守恒规律求得．最终核反应方程列成：【点睛】云室照相、乳胶照相、计数器是研究微观粒子的运动特征的重要仪器，照片保留的虽是粒子运动的径迹，但其隐含的信息却是多方面的，结合外围条件，挖掘出这些信息，是研究者们所从事的工作，而这些工作以试题的形式呈现在我们面前时，就是我们展示自己能力的时候了．本题所给的照片其实只是一个示意而已，更并非1：1，本题的目的则是引导我们掌握对照片的这种研究方法．15．（2019·全国·高三竞赛）由光的单缝衍射证明微观粒子的测不准关系．【答案】证明见解析【解析】【详解】证明   我们知道光具有波粒二象牲，作为光子它具有能量和动量．一束平行光通过宽为d的狭缝产生衍射，如图所示的衍射图样中央主极大所对应的半角满足．通过狭缝，每一光子的坐标不确定量为．若该光子仅能出现在中央主极大区域内，光子动量的不确定量为，那么．实际上，光子还有可能出现在主极大之外，故有．命题得证．【点睛】在微观领域，测不准关系是我们研究问题最重要的判据之一，正确理解这一规律的含义，是我们深入研究物理的前奏．本例只是这一规律的在光衍射中的一个简单应用，但实际的情况比这要广泛得多．16．（2019·全国·高三竞赛）一束流强度为（即单位时间通过的粒子数）为，速度的介子通过砖后，变成介子，的内部状态没有变化，入射和出射运动方向相同，能量无损失．若已知的静质量为，且比的静质量大，试求出过程中砖受力的大小和方向．【答案】故，沿入射粒子运动反方向．【解析】 【详解】由于能量不变，则有．由于，可知．由上式，则即，，所以，，故，且，故沿入射粒子运动反方向17．（2019·全国·高三竞赛）一离子的核电荷数为，核外只有一个静止质量为的电子，利用不确定关系，估算下面（1）（2）两种情况下该类氢原子的基态能量（1）在非相对论情况下，电子离核距离为、动量为，离子能量为（2）在相对论情况下，离子能量为（3）试问（1）和（2）的结果有什么联系？【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】（1）对于核外电子而言：，，．设基态时电子运动半径为，能量为，根据，得，．（2）同上，将能量表达式转化为．根据，则得，．（3）当时，有，则．这一差值是因为两种情况下的能量零点不同造成的18．（2019·全国·高三竞赛） 对一个高能的带电粒子，如果当它在介质中的运动速度大于电磁波在介质中的传播速度时，将发出契伦科夫辐射：（1）导出粒子速度、介质折射率和契伦科夫辐射相对于粒子飞行直线所构成的角度之间的关系式（2）在20℃、一个大气压时，氢气的折射率，为了使一个电子（质量为）穿过20℃、一个大气压的氢气介质时发生契伦科夫辐射，此电子应具有的最小动能为多少？（3）用一根长的管道充以20℃、一个大气压的氢气加上光学系统制成一契伦科夫辐射探测器，探测到发射角为的辐射光，角度精度为．一束动量为的带电粒子通过计数器，由于粒子的动量是已知的，故实际上契伦科夫角度的测量就是对粒子静止质量的一种量度．对于接近的粒子，用契伦科夫探测器确定，当精确到一级小量时，相对误差是多少？【答案】(1)(2)   (3)【解析】【详解】（1）当介质的折射率为时，电磁波在介质中的传播速度为，波的传播与粒子的运动速度之间构成图示的关系，即有，所以，（2）由于，即.所以，电子的动能（3）在考虑相对论效应的情况下，粒子的动量为，所以，，             ①又，，则， 所以，                           ②考虑到粒子的，，则由及可得，则由式①②可得19．（2019·全国·高三竞赛）在原子反应堆中，常用石墨作减速剂，轴核裂变所产生的快中子，通过和碳核不断碰撞而被减速．假设中子与碳核的碰撞是完全弹性碰撞，并且碰撞前碳核是静止的，碰撞后中子和碳核的速度跟碰撞前中子的速度沿同一直线．已知碳核的质量近似为中子质量的12倍，中子原来的能量为，则（1）经过一次碰撞后，中子的能量变为多少？（2）若，试问经过多少次碰撞后，中子的能量才能减少到？【答案】（1）（2）次．【解析】【详解】（1）设中子质量为m，碳核质量为M，一次碰撞后，中子与碳核的速度分别为和，根据碰撞过程中系统动量守恒和动能守恒有，，由此解得．由此可知经一次碰撞后中子的动能减少为．（2）设经过n次碰撞后，中子的动能衰减为，容易得出递推关系并推出，即．取对数并令有，则次．【点睛】微观粒子有其独特的一方面，如波粒二象性，同时，它也有宏观方面的特性，如碰撞所表现出的动量与能量的性质．在处理这类问题，不要顾此失彼． 另外，本题作为一道经典试题，不仅为我们展示了中子作为减速剂的性能表现，同时也让我们掌握了在连续作用问题中所需的递推思维方法．20．（2019·全国·高三竞赛）物理学家在微观领域发现了“电子偶数”这一现象．所谓“电子偶数”就是由一个负电子和一个正电子绕它们的质量中心旋转形成的相对稳定的系统．已知正负电子的质量均为m，电量大小均为e，普朗克常数h，静电力恒量k．（1）用波尔模型推算“电子偶数”的基态半径；（2）求赖曼线产生光子的最高频率．【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1）由，，联立解得“电子偶数”的基态半径．（2）由，，．联立解得赖曼线系产生光子的最高频率为从跃迁到n=1的轨道产生，赖曼线系产生光子的最大能量为．由得．【点睛】如同“电子偶数”这类“奇特原子”一样，只要它们表现出的结构是一正一负两个电荷的运动，其表现的特征往往都与氢原子类似，其研究方法也是类似的，甚至是结论也具有相似性．但必须说明，由于此类原子的物理特性也表现出量子性，虽然此时我们仍然认同两粒子的间的作用力满足，但与天体运动中的相似结论并不会出现在此类问题中，所以，在玻尔原子中，我们是不会讨论电子的轨道形状特征的．21．（2019·全国·高三竞赛）已知原子构型和H类似：（1）的基态电离能为，问要使其由基态跃迁电子变成激发态最少需要吸收多少能量？（2）如果考虑了粒子的反冲，则此结果与1中的结果相差百分之多少？注：，， 【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1）电离能表示的核外电子脱离氮核的束缚所需要的能量，而题目所问的最小能量对应于核外电子由基态能级跃迁到第一激发态，因基态的电离能为，则所以．（2）粒子反冲时，由动量守恒得．解得反冲原子的速度为．反冲原子的动能为如果考虑了原子的反冲，需要多吸收的能量为．与1中的结果相差．【点睛】氨的一价正离子（）是类氢离子，其结构与氢原子（）在结构上的相似度极高，所表现出的物理属性也极度相似，将用于氢原子的玻尔理论用于这类类氢原子上，也获得了巨大的成功．相应的结论性公式，只要类比对应的量，在解题时可直接套用．这类粒子作为命题的背景较多，应注意归纳其性质及研究方法．22．（2019·全国·高三竞赛）证明一动量为的自由电子在与光子的碰撞中，完全吸收该光子是不可能的．【答案】证明见解析【解析】【详解】设自由电子g与光子碰撞前的动量、能量分别为、E与、；碰后的动量、能量分别为、与、．如果光子被完全吸收，则，，如图所示，为与 的夹角，由动量、能量守恒定律有，或，．又，，其中为电子的静止质量，联立上述各式解得．上式的左边小于等于p，右边大于p，故此式不可能成立，由此推出光子不可能被自由电子完全吸收．【点睛】与前例一样，研究光子与电子碰撞的问题的依据都是动量守恒与能量守恒，然后再进行相关的运算与讨论，进而得到必要的结论．23．（2019·全国·高三竞赛）在相对于实验室静止的平面直角坐标系S中，有一个光子，沿x轴正方向射向一个静止于坐标原点O的电子．在y轴方向探测到一个散射光子．已知电子的静止质量为，光速为c，入射光子的能量与散射光子的能量之差等于电子静止能量的1/10．试求电子运动速度的大小v，电子运动的方向与x轴的夹角；电子运动到离原点距离为（作为已知量）的A点所经历的时间．【答案】【解析】【详解】由能量与速度关系及题给条件可知运动光子散射方向电子的能量为．由此可解得．入射光子和散射光子的动量分别为和，方向如图所示．电子的动量为mU，m为运动电子的相对论质量．由动量守恒定律可得， ．已知，由此可解得，，电子从O点运动到A所需时间为．【点睛】光子与电子碰撞的散射现象（康普顿效应）是表征光的粒子性的典型案例，此类问题的求解，原则上运用动量守恒与能量守恒便能解决，但往往涉及的方程求解过程较复杂，而且方法也很特殊．必须说明的是，在研究康普顿现象时，是否考虑相对论效应，有时要从题目所交代的条件确定，或者根据题目所给的进行分析与计算．24．（2019·全国·高三竞赛）一台二氧化碳气体激光器发出的激光功率为，射出的光束截面积为（已知，对于波长为的光束，其每一个光子的动量为，式中h为普朗克恒量，铁的有关参数为热容量，密度，熔点，熔解热，摩尔质量）求（1）当该光束垂直入射到一物体平面上时，可能产生的光压的最大值为多少？（2）这束光垂直射到温度T为273K，厚度d为的铁板上，如果有80%的光束能量被激光所照射到的那一部分铁板所吸收，并使其熔化成与光束等截面积的直圆柱孔，这需要多少时间？【答案】(1)   (2)【解析】【详解】（1）当光束垂直入射到一个平面上时，如果光束被完全反射，且反射光垂直于平面，则光子的动量改变达最大值，为．此时该光束对被照射面的光压为最大．设单位时间内射到平面上的光子数为n，光压p的数值就等于这些光子对被照射面积A的冲量（也就是光子动量的改变量）的总和除以面积A，即．每个光子的能量为，这里c为真空中的光速，以为光的频率，因而．于是，．（2）激光所照射到的质量为M那一小部分铁板在熔化过程中所吸收的热量为 ，所以．【点睛】光子说表明光是具有波粒二象性的，当它与物体发生作用时，其粒子性表现得十分突出．以本例的两问为基础，我们可以充分理解光子的能量与动量在与物体的作用与转化中的表现．实际上，当我们研究光与宏观物体的作用时，与力和能量相关的问题，基本上都能从本例找到衍变的基础．25．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，一光电管的阴极用极限波长的钠制成．用波长的紫外线照射阴极，光电管阳极A和阴极K之间的电势差，光电流的饱和值．（1）求每秒内由K极发射的电子数；（2）求电子到达A极时的最大动能；（3）如果电势差U不变，而照射光的强度增到原值的三倍，此时电子到达A极时的最大动能是多大？【答案】(1)(2)(3)动能不变【解析】【详解】（1）光电流达到饱和时，每秒内通过某一横截面的电子数等于每秒内从阴极发射出的光电子数，设每秒内发射的电子数为N，则．（2）根据爱因斯坦方程可得，当用波长为的紫光照射阴极时，光电子的最大初动能．而，，所以． 在之间加上电压时，设电子到达A极时的最大动能为，根据动能定理可得，所以．（3）根据光电效应规律，光电子的最大初动能与照射光的强度无关，因此只要电压U一定，则电子到达极板时的动能不变．【点睛】以光电管研究光电效应的性质为背景的试题较为常见．对于此类问题，除了能熟练进行相关的计算外，更重要的是要能根据光子说、光电效应方程对相关现象产生的原因作出合理的解释．26．（2019·全国·高三竞赛）在诱导原子核衰变的时候，有时会用到代替原子中的电子，形成原子核原子．除了质量是电子的207倍之外，其他方面与电子几乎没有区别．现已知某原子核   原子的核电荷数为（1）我们利用玻尔模型和牛顿力学做一个简单估计，的基态和第一激发态之间的能级差为多少？用电子伏特做单位表示．（2）计算上一问中，基态的速度为多少？如果考虑相对论效应，会使得基态轨道半径相对于牛顿力学情景相对变化多少？（3）原子核的质量为，如果考虑到原子核质量并非远大于质量，则玻尔量子化改为体系总角动量（不计自旋）量子化．考虑这个效应，基态能量变化百分比为多少？已知：电子质量，电子电量，普朗克常数【答案】(1)(2)   (3)％【解析】【详解】（1）由玻尔模型的角动量的量子化条件，有．子绕核运动，由牛顿定律有．联立解得．系统的总能量为．将（基态）与（第一激发态）代入，即可得能量差为．（2）专虑相对论相应，质量变为． 令，则上述方程变为，．于是：，．所以，．（3）考虑系统的总角动量．由于质心不动，则角动量为．子绕质心做圆周运动，有，代人数据即可知，其角动量相差％．27．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，一束强激光通过一三棱镜，此三棱镜底角为，底边长为，底边宽为，折射率为，密度为，设此三棱镜不发生转动，光线总平行于轴入射，空气折射率，反射光不计，平行激光束光强分布如下：（1）试求平行光通过棱镜后的偏转角（2）设为三棱镜顶点的坐标的分量．当时，试求激光作用在棱镜上，方向的分力．（用，，，，表示）（3）不考虑重力影响，将镜移到处释放，求其振动周期．（只考虑方向）【答案】(1)(2)①，则有，．②时，则有，(3) ，式中【解析】【详解】（1）由折射定律，易知（2）对于每个光子而言，其折射后动量改变量为，从而，其中表示单位时间通过此面积的光子数，为上部分面积激光功率．同理，①，则有，②时，则有，当时，解的上面对称（3）当时，由，则由（2）得故做简谐振动，且，式中28．（2019·全国·高三竞赛）1998年6月2日，我国科学家和工程师研制的阿尔法磁潜仪由发现号航天飞机搭载升空，探测宇宙中是否有反物质和暗物质。探测反物质的方法：物质的原子则带正电的原子核及核外带负电的电子（）组成，原子核由质子（）和中子（）组成，例如，，；而反物质的原子（反原子）由带负电的反原子核及核外带正电的正电子（）组成，反原子核由反质子（）和反中子（）组成，例如，与、、等这些物质粒子相对应，、、等称为反粒子。由于反粒子具有和相应粒子完全相同的质量及相反的电磁性质，故而可用下述方法探测。 为简化计，设如图a中各粒子或反粒子沿垂直于匀强磁场B向（）进入轴截面为MNPQ的磁谱仪时速度相同，且氢原子核（）在OX轴上的偏转位移，恰为其轨迹半径r的一半，试预言反氢核（）和反氦核（）的轨迹及其在OX轴上的偏转位移和。如果预言正确，那么当人们观测到这样的轨迹，就证明已经测到了反氢和反氦的核。【答案】；【解析】【详解】如图所示，设质子的质量为m，电量为q，则：，由于反质子的质量为m，电量为，故其轨迹半径，但偏转方向相反，即由于反氦核（反粒子）的质量为4m，电量为，故轨迹半径29．（2019·全国·高三竞赛）有一核反应的反应式为，反应中所有粒子的速度均远小于光速，试问： （1）它是吸能反应还是放能反应，反应能为多少？（2）在该核反应中，若静止，入射质子的阈能为多少？阈能是使该核反应能够发生的入射粒子的最小动能（相对实验室参考系）.（3）已知在该反应中入射质子的动能为1.21MeV，若所产生中子的出射方向与质子的入射方向成60.0°角，则该中子的动能为多少？已知：、、核、核的静止质量分别为，，，，是原子质量单位，对应的能量为931.5MeV.结果取三位有效数字.【答案】（1）反应能，是吸能核反应（2）     （3）【解析】【详解】（1）反应能，       ①式中为光速.代入数据得.                           ②上式表明这是一个吸能核反应.（2）为了求入射质子阈能，反应前后各粒子都应沿同一直线运动.设质子的入射速度大小为，反应后的速度大小为，中子的速度大小为，根据动量守恒的能量守恒有，                    ③.             ④由③④式可得.       ⑤令             ⑥把⑥式代入⑤式得.                           ⑦⑦式有解的条件是.                                 ⑧ 由⑥式可知，可能大于零，亦可能小于零.若，则⑧总成立，中子速度一定有解，反应一定能发生；若，则由⑥⑧两式得.                    ⑨即只有当入射质子的动能满足⑨式时，中子速度才有解，反应才能发生，所以入射质子的阈能为.             ⑩利用①式，在忽略项的情况下，⑩式可简化为，                           ⑪代入有关数据得.                           ⑫（3）由动量守恒和能量守恒有，                    ⑫.             ⑬以表示反应中产生的中子速度方向与入射质子速度方向的夹角，如图所示，根据余弦定律有.             ⑭令，                                        ⑮，                                               ⑯，                                        ⑰把⑮⑯⑰式代入⑬⑭两式得，                                        ⑱.       ⑲由⑱⑲式，消去后，得 ，             ⑳令，，                                 ㉑得.                                               ㉒根据题给的入射质子的动能和第（1）问求得的反应能的值，由㉑式可知，故㉒式的符合物理意义的解为.                                               ㉓将具体数据代入㉑㉓式中，有.在所有的核反应中，我们关注得最多的是能量转化.这里的能量转化是在核能、粒子的动能、辐射或吸收的光子能量间进行，研究问题的入口几乎全部是质能方程、动量（矢量）守恒、动能与其他能量间的转换.在这里应用的规律虽然不多，但命题人往往通过复杂模型的设计，使得解答需要复杂的运算技巧与运算能力，以增加试题的难度.本题中的问题（2）存在着多重解法，同学们不妨试一下用其他方法求解.30．（2019·全国·高三竞赛）在一个密闭的容器中装有放射性同位素氪（）气，在温度为20℃时，其压强为1atm.将容器埋入地下深处，经过22年后取出.在此期间有些氪经衰变变成铷（），铷最后是固体状态.现在，在温度仍是20℃时测得容器中的压强为0.25atm，并测得容器中有固体铷，铷的体积与容器体积比较可以忽略不计.试计算埋入地下时，氪的质量以及氪的半衰期.由于容器是密闭的，而且氪埋入时和取出时都是气体状态，氪衰变成的铷则是固体状态，根据题目给出的数据，列出初、末两状态的克拉珀龙方程，就能把初始埋入地下的氪气质量和摩尔数求出来，进而确定其半衰期.【答案】埋入时氪气的质量为；半衰期为11年．【解析】【详解】设为买入时氪的摩尔数，则取出时氪的摩尔数.设为一个大气压，是容器的体积，是气体的绝对温度，是摩尔气体衡量，则买入时氪气的克拉珀龙方程为.                                 ①取出时，剩下的氪气的克拉伯龙方程为.             ②由①②两式可求出的值：.因为氪的相对原子质量是85，所以埋入时氪气的质量为. 取出后容器中氪气只剩下.设氪的半衰期为，则根据半衰期的意义可得.代入与的值可得，所以，年.半衰期的知识在实际生活中有着广泛的应用，主要用于时间的估算，同位素含量的计算以及一些间接性的估算等，如古生物测龄，对半衰期的计算应熟练掌握.31．（2019·全国·高三竞赛）原子核俘获一个子（子质量是电子质量的207倍，电荷与电子相同）形成原子.假设原子核静止，试求：（1）子的第一轨道半径.已知原子核的质量数为，且中子数等于质子数，氢原子的第一玻尔轨道半径.（2）当大于什么值时，子轨道将进入原子核内？已知原子核半径公式为.【答案】（1）             （2）【解析】【详解】原子核俘获子后，设子绕核做匀速圆周运动，做圆周运动的向心力为子与核间的库仑力，引入量子条件并与氢原子对比可得子轨道半径.（1）用、和分别表示子的质量、第一轨道半径和速度，由库仑定律和牛顿定律，可列出第一轨道上的运动方程：.                           ①       根据量子化条件，对第一轨道有.                                 ②同理，对氢原子可得，                           ③，                           ④式中、和分别表示电子的质量、第一轨道半径和速度，将①、③相除，把②、④的结果代入，可解得（m）.（2）子进入原子核，即轨道半径，，代入数据，解不等式 ，得.子的性质非常特别，有质量，有电量，但一般物体对它却是透明的，它可以不受阻碍地在物体内运动，包括原子核内的运动，因此，研究原子核俘获子后的运动，除考虑子在核外的运动外，还必须考虑子在核内的运动规律.子在核外的运动遵循玻尔原子理论，在核内虽仍然适合玻尔理论，但其势能却有很多的变化，我们必须注意到这种变化并加以研究.32．（2019·全国·高三竞赛）1884年巴耳末研究了基本位于可见光区的氢原子光谱线系（后来称为巴耳末线系），该线系从长波端开始的四条谱线波长和谱线系短波极限波长在实验下条件分别为：6562.10A、4860.74A、4340.10A、4101.20A、3645.61A．巴耳末发现，该线系波长若用线系极限波长去除，至少可在五位有效数字准确度内写成下列有理数：，，，．试据此引出反映此实验的经验公式，即线系波长的巴耳末公式，并求出里得伯恒量的实验值.【答案】巴耳末公式可写成【解析】【详解】巴耳末发现，该线系波长若除以线系极限波长，至少可在五位有效数字准确度内写成下列有理数：，，，，…考虑到测量误差，则可认为谱线的实验值为，，，，….将第二项与第四项的分子与分母同时乘以4，得到，，，，….上述数列可进一步写为，，，，…       或，，，，…，即，，，，…，所以，.用波长倒数，可将上述巴耳末公式写成更简单的形式：，即.上式便是物理学中的巴耳末公式，其所给给定的氢光谱系称为巴耳末线系.式中里得伯恒量. 在巴耳末公式形成之前，物理学家们已经精确地测量出题中所给的5条谱线的波长，虽然物理学家们相信这5条谱线间一定存在着关联，但苦于没有能力找到它们之间的关联.最终找到这一关系的便是当时还是一名中学数学教师的巴耳末.物理学家们一度都解决不了的问题，让中学教师来完成，似乎有跨越不了的坎子，但巴耳末开创的寻找数字之间关联的方法已经被我们掌握，循着试题所给出的引导，我们可以体验到一种踏在巨人的肩膀上前进的感觉.33．（2019·全国·高三竞赛）根据量子理论，光子不但有动能，还有动量，其计算式为，其中是普朗克常量，是光子的波长.既然光子有动量，那么光照到物体表面，光子被物体吸收或反射时，光都会对物体产生压强，这就是“光压”.既然光照射物体会对物体产生光压，有人设想在遥远的宇宙探测中用光压为动力推动航天器加速.给探测器安上面积极大，反射率极高的薄膜，并让它正对太阳．已知在地球绕日轨道上，每平方米面积上得到的太阳光能为，探测器质量为，薄膜面积为，那么探测器得到的加速度为多大？【答案】【解析】【详解】由和以及真空中光速，不难得出光子的能量和动量之间的关系：.设时间内激光器射出的光子个数为，每个光子的能量为，动量为，激光照到物体上后全部被反射，这时激光对物体的光压最大.设这个压强为，则有，，.将代入得.所以，.再由牛顿第二定律，得.本题是光子与物体相互作用产生光压的典型示例，也是连续作用问题在光子与物体间相互作用的典型示例，阅读本题能理解光压产生的原因.本题中航天器得到的加速度虽然很小，但长时间加速后也能得到可观的速度增量.这对远距离的太空探测来说是可行的，作为科学设想，本题的构思是有其积极意义的.34．（2019·全国·高三竞赛）某次核聚变实验中，氘等离子体被加热至高温.这引起动能各为0.03MeV的两个氘核正碰，其反应如下：试计算快中子的动能.忽略相对论效应，和粒子的质量可分别取正好等于3个和1个原子质量单位.【答案】【解析】【详解】依题意，发生正碰的是动能相同的两个氘核，碰前速度必等值反向，碰前总动量为零，最终总动量也必为零.所以可根据动量守恒和能量守恒去求解. 依据动量守恒，有，可得到.依据能量守恒，末动能，即.可计算得快中子的动能：.本题是动量守恒定律和能量守恒定律在原子物理中的又一应用实例，难度不大.35．（2019·全国·高三竞赛）通过荧光光谱分析可以探知元素的性质，荧光光谱分析仪是通过测量电子从激发态跃迁到基态时释放的光子频率来实现的．激发态的原子可以采用激光照射基态原子的方法来获得.现用激光照射迎着激光而来的一离子束，使其电子从基态跃迁到激发态，已知离子质量为，电荷量为，假设该离子束处于基态时的速度分布如图所示，为该离子束中离子的最大速度.（1）速度为的离子束迎着发射频率为的激光运动时，根据经典多普勒效应，接收到此激光的频率为，其中为光速.设波长为的激光能够激发速度的基态离子，若要激发全部离子，试推断激光的波长范围.（2）若用电压为的加速电场加速处于基态的离子束，试推断离子束的速度分布的范围是变大了还是变小了；加速后的基态离子束再被激发，那么激光的波长范围与（1）问的结论相比如何变化？【答案】（1）激光的波长范围为：（2）速度的分布范围变小了，激光的波长范围变小了．【解析】【详解】（1）因为波长为的激光能够激发速度的基态离子，因此，以速度为可运动的离子若要被激发，该粒子接收到的激光波长（即固定于以速度运动的参考系上测到的激光波长）也必须是，由经典多普勒效应，迎着激光以速度运动的离子束收到此激光的频率为，因此，离子能被激发的频率是.设激发速度为的离子束的激光波长为，则. 若要激发全部离子，激光的波长范围为.（2）设初速度为的离子经加速电场的速度为，由动能定理得，即.原有加速为零的离子加速后的速度最小，速度为的离子加速后的速度最大，设加速后的速度分布范围为，则.加速前离子的速度分布范围为，所以，.离子束经电场加速后，速度的分布范围变小了.设（1）问中激光的波长范围为，则.设经电场加速后所需激光的波长范围为，综合上述各式，有，所以，.为激发经加速电场后的全部离子，激光的波长范围变小了.本题题目的信息量较大，在理解上容易出现偏差，如将速度为的离子束，理解为离子束中所有粒子的速度都为，而忽视了题目对此问题的交代，进而无法理解“激发全部离子”而需不同波长的激光的含义.对于信息给予的试题，全面、正确地理解信息是解题的关键，如同本题一样，很多同学对信息题解答的错误主要出在阅读过程中对相关条件理解的偏差与忽视上.36．（2019·全国·高三竞赛）静止电子经电场加速后成为高速运动电子.设电子静质量为，加速电压为，试求出电场区后电子的德布罗意波长.【答案】【解析】【详解】电子经电场加速后，其动能.对于高速运动的电子需要考虑相对论效应，出电场区后电子的总能量记为，有，.由上述三式，可得加速后电子的动量为.电子的德布罗意波长为.本题通过对德布罗意波长的计算，让我们体验物质波的特性.我们应该清楚，物质的波粒二象性是普遍存在的线性，至于是波动性明显还是粒子性明显，则需要我们在具体问题中作出正确、合理的判断.37．（2019·全国·高三竞赛）已知基态的电离能为.（1）为使处于基态的电子进入激发态，入射光子所需的最小能量应为多少？（2） 从上述最低激发态跃迁返回基态时，如考虑到该离子的反冲，则与不考虑反冲相比，它所发射的光子波长的百分变化有多大？（的能级和的关系，与氢原子能级公式类似.电子电荷取，质子和中子质量取kg.在计算中，可采用合理的近似）【答案】（1）             （2）【解析】【详解】（1）电离能表示的核外电子脱离氦核的束缚所需要的能量，而题问最小能量对应于核外电子由基态能级跃迁到第一激发态，所以，.（2）如果不考虑粒子的反冲，由第一激发态跃迁返回基态发射的光子有关系式：.现在考虑离子反冲，光子的频率将不是而是，反冲离子的动能为，则由能量守恒得.又由动量守恒得：，式中是反冲离子动量的大小，而是发射光子的动量的大小，于是，波长的相对变化为.又由前面的表述可得.由于，所以，.代入数据得：，即百分变化为0.00000054%.基态的结构与的结构类似，称为类氢离子，其原子结构特性满足玻尔的原子理论.对于类氢离子，我们无须考虑原子辐射可吸收光子时的反冲效应，本题可以说是这一结论的理论证明.不过，需要说明的是，原子结构中有许多奇异离子，是否考虑这种反冲所带来的影响，需要具体情况具体Fenix，读者对此类模型最好作一个系统性的研究，避免临场时出现问题.38．（2019·全国·高三竞赛）如果电子的测不准量等于这个电子的德布罗意波长，不考虑相对论效应，试证明电子的速度测不准量等于电子本身的速度.【答案】证明见解析【解析】【详解】依题意.根据测不准关系有.因，不考虑相对论效应，为常量，便有. 因此电子的速度测不准量为，即等于电子本身的速度.测不准关系是竞赛物理中最为抽象的物理规律之一，对中学生而言，理解与应用都有很大的障碍.对它的理解也不是通过一道、两道试题便能理解透彻的，读者应就此专题，认真研读与练习.39．（2019·全国·高三竞赛）放射性元素的衰变速率还可以用所谓的衰变常数来描述，的定义式是，式中为该放射性元素的原子个数，是这个原子中在内发生衰变的原子个数.与元素的半衰期的关系是.铀族元素正常衰变时，释放出的辐射只具有微弱的穿透能力.而衰变时，其中约有0.7%的衰变为，并放出一个具有高穿透性能的高能光子.1981年11月，苏联一艘核潜艇在瑞典南部的海滩搁浅，对这艘核潜艇产生的辐射进行测定时，曾利用上述光子的高穿透性能作为测定的依据.进行上述探测使用的探测器对实际性能的测定效率为o．25%（即400个光子中有一个会在探测器内引起一个特定的脉冲）.探测器的“灵敏”表面积为22cm²，设这个表面离可看作是点发射源的辐射物1.5m远．测定中每小时接收到125个脉冲.设总辐射量的93%被潜艇的甲板所吸收，试估计潜艇内的含量，已知的半衰期为r.阿伏伽德罗常数和的相对原子质量等可查表.【答案】约【解析】【详解】设潜艇栽有摩尔的，由于半衰期，所以，.式中为衰变常数.半衰期，于是1h内衰变的原子核数为个.点发射源向四周均有发射，22cm²是灵敏表面接受总辐射量为.于是有，解得.所以，.在原子核物理的内容中，放射性元素的半衰期是描述元素衰变快慢的基本物理量，对这一知识点的考查主要是衰变量与衰变时间的计算，知识点比较独立，要求比较基本，整体难度不会太大，完成一定量的习题训练即可以巩固.40．（2019·全国·高三竞赛）下面给出一个原子核很粗糙的模型：假定原子核是一个立方体，有个核子，每个核子被其他核子的核力所吸引（强相互作用），由于这种力的作用距离很小，我们假定每个粒子只与其相邻的核子之间有相互作用，每个核子一核子对由于这种结合而对核的总结合能的贡献是一个常数.原子核内有核电荷，它在原子核内产生斥力，根据量纲分析，核的总静电势能正比于，其中为原子核的线度，并且我们假定在这个模型中，正比于原子核中的核子数，已知元素周期表中元素附近的原子核是非常稳定的，它们的核子具有的平均结合能最大，都约为8.78MeV.试根据上述模型和已知的事实，求出任一原子核内核子的平均结合能.【答案】核子的平均结合能 【解析】【详解】想象在广阔的空间内有很多核子均匀规则地排列着，与一个核子前、后、左、右、上、下相邻的核子共有6个，所以这个核子参与6个核子一核子对的强相互作用．对于题给的∥个核子，我们可以想象将其置于上述的广阔空间之内，则如上计算共有个核子一核子对强相互作用，但实际上这个“核立方体”外并无核子，这个核立方体有6个外侧面，每个外侧面内有个核子，由于这个侧面以外再无核子，故对应于此侧面内的每个核子均应减去朝外的一个核子一核子对强相互作用，即减去个，对于6个外侧面而言，总共应减去个，通过计算则尚有（）个核子一核子对强相互作用.又由于这种成对的作用是在两个核子之间存在的，上面的计算是按一个一个核子独立计算后累加的，因此上述的累加中已把每对作用都计算了2次，可见核内的这种强相互作用的实际对数应为（）.设每个核子一核子对强相互作用结合时释放出的能量为，则此核形成时，由于强相互作用应放出的总能量为.另一方面，核的总静电势能正比于，而正比于核子数，即正比于，为核的线度，显然正比于，由此，核的总静电势能正比于，设比例系数为，则核的总静电势能为.此核形成时释放的总结合能，则每个核子的平均结合能为.上式中、为与无关的常数，下面我们求、的值.根据附近的原子核的核子的平均结合能差不多都相等这一事实，应有当有微小变化时，平均结合能之值不变，即，.又根据元素的核子平均结合能为8.7MeV这一事实，有.另有，解得，.由此得到题给模型中，核子的平均结合能量（MeV）.任何物理模型都应该是在一定的实验基础上建立起来的，同时，模型也必须获得相应的理论与新的实验事实的支撑.原子的结构模型就经历了从枣糕模型到核式结构模型，再到电子云模型的发展过程.本题给出了铁原子核的简单模型，其实验基础就如同题目所述，是原子核内的核子数、核电荷数、核子间的强相互作用以及核能等.而在给定的模型基础上进行相关问题的研究，是我们研究自然的一种重要的科学研究方法.本题即是在这方面给物理竞赛生一个实践的窗口，能否给出相应的解答，在很大程度上反映出学生研究能力的高低.41．（2019·全国·高三竞赛）用波长的光照射某一金属，恰好能产生光电效应，试问：以、强度为原来的的光照射到该金属表面上，能不能产生光电效应？若能产生光电子，那么电子射出金属表面时的最大初速为多少？【答案】可以产生光电效应，且从金属表面射出的光电子的最大速度为【解析】 【详解】照射到金属表面上的光能否产生光电效应，不取决于光的强度而取决于光的频率是否大于极限频率，出射光电子的最大初速仅与入射光子能量、金属表面逸出功有关.由题意可知，波长的光的频率就是该金属材料的极限频率，由此亦可求出该材料的逸出功，再应用光电效应方程确定光电子的最大初速.波长的入射光的频率为.因为该频率的光恰好使金属发生光电效应，故该频率就是极限频率.波长的光的频率为.，即入射光的频率大于该金属的极限频率，尽管强度减弱，的光仍可以产生光电效应.该金属材料的逸出功为.根据光电效应方程，光电子的最大动能为，即.所以从金属表面射出的光电子的最大速度为.光电效应是光的粒子性最基本、也是最典型的表现形式，光电效应方程是基于光子说建立起来的能量方程，它通过能量转化建立起了光的能量与我们熟知的电子的能量之间的关联，也体现了它们之间的相互作用，使我们清晰地感知光的粒子属性.42．（2019·全国·高三竞赛）在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程：碳循环和质子—质子循环；其中碳循环是贝蒂在1938年提出的，碳循环反应过程如图所示．图中、和分别表示质子、正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反应进行的先后次序．当从循环图顶端开始，质子与核发生反应生成核，反应按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新开始下一个循环．已知、和核的质量分别为,和，电子型中微子的质量可以忽略．（1）写出图中X和Y代表的核素；（2）写出一个碳循环所有的核反应方程式；（3）计算完成一个碳循环过程释放的核能． 【答案】（1）图中X和Y代表的核素分别为和（2）方程见解析       （3）【解析】【详解】（1）图中X和Y代表的核素分别为和．（2）一个循环所有的核反应方程式依循换次序为（3）整个循环的核反应，相当于完成一个碳循环过程释放的核能为．43．（2019·全国·高三竞赛）利用放射性同位素可以做医学检测．比如将含有放射性同位素钠24的溶液注射入人体内，注射前测得该溶液每秒放出2000个射线粒子．经7.5个小时后，抽取该人体内血液，测得这血液每秒放出0.24个射线粒子．已知钠24的半衰期是15小时，求该人体内的血液总量．【答案】【解析】 【详解】剩余的钠24每秒放出粒子数为个．而抽出的每秒只放出个，所以有．即血液总量为．44．（2019·全国·高三竞赛）有一个质量为电子质量210倍的子，它的带电量与电子一样，当它以速度飞过质子附近时，被质子俘获，形成类氢原子．（1）问处在基态时，子与质子的距离为多大？（2）若形成的原子处于基态，在形成原子的过程中会辐射电磁波，试问其电磁波的波长等于多少？（3）要使处于基态的这种原子能被激发到较高的能态，至少要多短波长的光加以照射？【答案】（1）   （2）   （3）【解析】【详解】（1）在质子参考系中，子绕质子做圆周运动，引入约化质量，由向心力的关系有，式中v为相对速度．由角动量的量子化，有．所以．当n=1时，代入，，可得．．（2）原子处于基态时，质心系中原子的能量为．而质心运动的动能为．所以辐射出电磁波光子的能量为． 所以．（3）原子跃迁到激发态时，至少应有从n=1跃迁至n=2，这时所需的能量最少．当n=2时，由1知，．所以．又，所以照射光的最短波长为．45．（2019·全国·高三竞赛）宇宙射线中有大量高速飞行的π介子，它们会衰变成μ子和μ型反中微子已知π介子和μ子的静止质量分别为mπ=139.57061MeV/c2和mμ=105.65837MeV/c2，反中微子的静止质量近似为零.在实验室参照系中测得π介子的飞行速度大小为=0.965c(c=3.00×108m/s为真空中的光速).(1)求上述衰变过程产生的μ子的最大速率和最小速率；(2)上述衰变产生的μ子从距离地面10000m的高空竖直向下飞行，已知静止的μ子的半衰期=1.523μs，求地面观察者能够观测到的μ子的最大概率.【答案】（1）（2）【解析】【详解】在相对于π介子静止的参照系S′(π介子的貭心系)中，由劫量守恒有(1)式中和分别是μ子和μ型反中微子在S′系中的动量；由能量守恒有(2)式中和分别是μ子和μ型反中微子在S′系中的能量.自由粒子的能量与幼量満足，(3)利用，(2)式即(4)式中而是μ子在S′系中的运行速度．利用(1)(3)(4)式得 上式两边平分得即解得(5)由此可导出μ子在S′系中的速度为:(6)假设在实验室系S中，π介子以及衰变后的μ子的飞行方向之间的夹角为θ，这一夹角在S′系中对应于夹角θ′.按相对论速度变换规则，在实验室系S中，μ子的飞行速度的大小u满足此即由上式可知，从π介子衰变得到的μ子的最大速率和最小速率分别出现在θ′=0和θ′=π的情形，正好分别相应于θ=0和θ=π的情形.于是由可知，从π介子衰变得到的μ子的最大速率和最小速率分别为(7)(8)(2)根据放射性衰变规律，μ子的衰变率满足 (9)式中，N0为初始μ子数，Nt为t时刻的μ子数，Δt为μ子走完h=10000m路程所需的时间间隔．Δt在情形下最短，从而在地面附近出现的概率最大，即(10)由于时间膨胀效应，其半衰期在地面参照系中为(11)从而，在地面上观测到这个μ子的概率为(12)46．（2019·全国·高三竞赛）由阴极发射的电子经加速电极加速后垂直射向一开有两条平行狭缝的屏，电子自狭缝出射后打在一荧光屏上，如图所示，由于电子具有波动性，荧光屏上将出现明暗相间的条纹，设加速电极与阴极之间的电压为，两平行狭缝之间的距离为，试问：（1）在整个装置的轴线与荧光屏的交点处，将出现暗条纹还是明条纹？（2）设位于轴线外侧的第一条亮条纹出现在角处的点，若加速电压不是很大，写出的表达式（以、及其他恒量表示）.（3）在加速电压很大的情况下，的表达式又会怎样？【答案】（1）屏上O点为亮条纹（2）（3）【解析】【详解】（1）屏上的图样与光的双缝干涉图样相同，屏上点为亮条纹.（2）不是很大，则加速度也不是很大：，        所以，为电子静止质量.据德布罗意的公式：.已知点为第一条亮条纹的位置，则，所以，，很小，所以.（3）在很大时，电子加速后的速度也很大，必须考虑相对论修正.功能关系：.为加速后电子的质量.由相对论普遍关系：.所以，动量.德布罗意波长：.所以.在我们所熟知的各种粒子中，电子是质量较小的粒子之一，其离子性与波动性在一定条件下都很容易观察到，因此，讨论物质的波粒二象性多以电子所表现出的二象性来加以讨论.不论是电磁波还是概率波，都有干涉与衍射特征，并且有相同的规律，所以，我们可以借助光的双缝干涉背景来描述概率波的双缝干涉.至于在这一过程中所表现的粒子性，我们亦可用单个的粒子运动来加以描述.此外，电子的质量很小，很容易被加速，当速度较高时，就有必要考虑相对论效应.电子的这种多重性质，无疑加大了我们分析判断的难度，应多加小心.47．（2019·全国·高三竞赛）1979年，7颗人造卫星同时接收到来自远方的中子星发射出的射线，经分析确认，这些光子是电子和正电子湮灭时放出的，即.其中表示光子数目.已知电子、正电子的静止质量.静止质量为的粒子，其能量和动量满足，式中表示光速.普朗克恒量.（1）试证明.（2）若电子、正电子的动量为零，，求光子的频率.【答案】（1）证明见解析             （2）【解析】【详解】电子、正电子湮灭产生光子，这一过程前后动量、能量应守恒.（1）假设电子、正电子湮灭时只产生一个光子（即），设正电子和电子的动量分别为和 ，湮灭过程如图所示.根据动量守恒定律有，                    ①.                    ②根据能量守恒定律有.             ③由②③两式可得.将①式和④式各自平方后相加并化简得.显然，若设，则有.此式右边显然大于，因而要求，这是不可能的.所以不能等于1，产生的光子不能只是一个.（2）由题设，它们的总动量为零，因而产生的两个光子的总动量为零，因而产生的两个光子的动量必然是等值反向（从而使总动量为零），它们的能量也相同.根据能量守恒定律有，（Hz）.从本题可以看到，不论是电子、正电子湮灭产生光子的过程，还是射线“衰变”形成正、负电子的过程，所遵循的规律都是动量守恒和能量守恒.这两个守恒律是物理学中的普适定律，在原子物理中有着广泛的应用.在解答涉及核反应的试题时，如在其他方面找不到入口，应多从动量守恒与能量守恒方面思考.物质不灭在核反应中应用时，应注意到质量守恒中的质量包含着光子的质量，能量也不仅仅是我们熟知的动能与势能，电荷也必定是守恒的，而所以这些守恒量都不能忽视了辐射的成分.48．（2019·全国·高三竞赛）氩激光辐射聚焦在平面的光电管阴极上，在光电管阴极与其平行的平面阳极之间接上恒定电动势的电源.在阳极与阴极之间为加速电压情况下，阳极上光电子斑的直径，是在电压极性反向情况下（即在阳极与光电管阴极之间为减速电压下）阳极上光电子斑直径的2倍，光电管阴极材料的逸出功.激光辐射波长.求电源的电动势.【答案】 【解析】【详解】根据爱因斯坦光电效应方程可求阳极表面光电子的最大速度.，式中是电子质量，是普朗克恒量，是光速.在加速电压（阳极为正）下，阳极上斑的半径由光电子平行于极板平面的速度决定.，，.是阳极与阴极间距离，是飞行时间，是加速度：，是电源的电动势.在减速电压下，阳极上斑的半径由到阳极法向速度为零的光电子决定.，.式中是电子速度与阳极平面所成角，是飞行时间.由此得，.斑的半径：，因此.最后得到电源的电动势.本题虽有光电效应的背景，但更大的解题障碍来自于电子在电场中的运动描述.因为对于加速时形成的斑的半径易作出判断，对于减速的情境难以作出定性的描述.有关光的粒子性的问题，多数试题都选择了光子与物体作用所表现的宏观属性进行研究，这主要是因为光的粒子性几乎都是在相互作用的过程中得以体现.49．（2019·全国·高三竞赛）一种利用放射性的电池是金属球，在球内放有一块与球绝缘的放射性物质（如图甲所示）.每秒钟有个原子核发生衰变，在衰变时所放出的电子的能量是从最小能量到最大量均匀分布.试求电池的电动势.求这种电池可以供给的最大电流.直到负载电阻为多大之前可以认为电池是电流振荡器？ 【答案】电池的电动势为，最大电流为；当，电流保持恒定且与负载阻无关，在这样的电阻的情况下，电池可以看作电流振荡器．【解析】【详解】设电池两级接上负载，两级上电压等于.求通过负载电流，即建立电池的伏安特性.能量的电子飞到金属球上，在固定条件下（在恒定下），球上电荷保持不变.因而，每秒钟落到球上的电子在这段时间内全部通过负载退回到仿射物质块上.在情况下，所有电子飞到球上，在单位时间内，球所带电量为该电池可以的最大电流，即.在大电压情况下，只有其能量的电子才落到球上，这些电子决定了通过负载的电流（其余电子返回到球心，不涉及负载），这些电子数与从方块飞出的总电子数之比为.因为电子按能量均有分布，这时通过负载电流为.在断开的电池两级上，最大电压（电池的电动势）由下面条件决定；，.一旦达到这个电压，球和放射物块上的电荷不再变化.图乙所示为电流与电压关系，在这个图像上画出电阻为（在不同值下）负载的伏安特性，图像交点的纵坐标和横坐标提供在给定值下电路中的电流和电压值.当，电流保持恒定且与负载电阻无关，在这样的电阻情况下，电池可以看作电流振荡器.对于竞赛生而言，本题既是让我们对题述的特殊电池作一研究，也是通过练习，给我们补充了一个知识点.即便是竞赛有明确的大纲，但我们却没有响应的教材，即便是选用大学物理作竞赛教材，也无法穷尽所有的知识点与模型.所有的竞赛生都必须完成一定量的习题训练，这些习题中，必定包含了一些我们不熟悉的知识点与模型.每当出现这种情况，我们一方面要寻求补充知识点的途径，另一方面，对不熟悉的模型应作深入的研究，并且对其进行拓展. 50．（2020·全国·高三竞赛）我国大科学装置散裂中子源于2018年建成并投入使用，它在诸多领域有广泛的应用。历史上，查德威克在1932年首次确认了中子的存在并测出了它的质量；哈恩等人在1939年发现用中子轰击铀原子核可使其分裂，同时放出中子，引发链式反应。为了使链式反应能够持续可控地进行，可通过弹性碰撞使铀核放出的中子慢化。不考虑相对论效应。(1)查德威克用中子（质量为m）轰击质量为的静止靶核（氢核H或氮核，质量为或）。观察它们的运动。设靶核的出射动量与入射中子的初动量之间的夹角为，试导出此时靶核的出射速率和中子的末速率v分别与中子初速率之间的关系。该实验测得氢核的最大出射速率为，氮核的最大出射速率为，求m和的值。(2)在上述实验中一个氮核也可能受到一束中子的连续撞击。假设氮核开始时是静止的，每次与之相碰的中子的速率都是，碰撞都使得氮核速率的增量最大。试计算经过多少次碰撞后氮核的动能与中子的初动能近似相等？(3)设经过多次碰撞被减速的中子处于热平衡状态，其速率满足麦克斯韦分布这里为玻尔兹曼常量，T为系统的绝对温度。试计算在热平衡时，中子的最概然速率所对应的动能和最概然动能。【答案】(1)，，；(2)2；(3)，【解析】【详解】(1)中子以初速度与静止的靶核发生碰撞，碰撞前瞬间初速度方向与两球球心连线之间的夹角为。在两球心连线和中子初速度方向所决定的平面上，令x轴沿两球心连线，中子初速度垂直于连线的方向为y轴。设碰撞后中子的速率为v，沿着x轴方向的速度分量为，y轴方向的速度分量为，碰撞后靶核速率为，解法（一）碰撞前后沿着x轴和y轴方向动量分别守恒             ①这里解法（二）由碰撞前后动量守恒，碰前中子的动量、碰后中子的动量mv和碰后原子核的动量构成一闭合的矢量三角形，如下图所示。 据余弦定理有             ①式中，是碰前中子的动量与碰后原子核的动量之间的夹角。能量守恒给出             ②由①②式得，从中解出，                    ③再把③式代入②式，得       ④当时达到最大，，所以氢核的最大速率是氮核的最大速率是，由此解得       ⑤再代入上面任意一式中，得。             ⑥(2)速度为的氮14核继续与速度为的第i个中子碰撞，在每次碰撞后获得最大速率增量条件下，氮14核的速度变为，中子的末速度为，动量守恒和能量守恒分别为              ⑦由⑦式得                    ⑧式中                    ⑨按⑧式逐次选代得             ⑩这里，应用了题给条件所求的次数n满足2ⅳ即是             ⑪由⑨⑪式得，满足方程的最接近的值是。                    ⑫(3)根据麦克斯韦速率分布速率取极大值的条件是，可知最概然速率为                    ⑬最概然速率对应的动能为                    ⑭设总粒子数为N，由动能分布函数定义可知为                     ⑮由速率分布函数的定义可知所以结合上述几个式子，化简得到             ⑯动能取极大值的条件为，由此可知最概然动能为。                    ⑰评分标准：本题共40分，其中①⑦式各5分，②③④⑤⑥⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯⑰式2分。