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新高考高中物理竞赛专题4光学50题竞赛真题强化训练一、解答题1．（2019·全国·高三竞赛）一近视患者不戴眼镜时，只能看清距眼睛以内的物体．他发现，如果在眼前靠近眼睛处放一带小圆孔的卡片，通过小圆孔不戴眼镜看远处物体时也能清晰些．(1)若小圆孔的直径为D，试根据几何光学的原理，求出当近视患者直视远处的一个物点时，在眼睛的视网膜上产生的光斑的直径．（提示：可将眼睛简化成一个焦距，可调的薄透镜和一个可成像的视网膜，透镜两侧的介质均为空气，视网膜与透镜的距离为b．）(2)再考虑小孔的衍射效应，求小圆孔直径最恰当的大小．【答案】(1)(2)【解析】【详解】眼睛和眼镜都是几何光学成像元件，都是通过透镜的折射成像的．对于题中的近视患者，其眼镜的远点是20cm．通过小孔，不戴眼镜也能看清远处的物体，是由于小孔限制了进入眼镜的物光束的张角，从而每个物点在视网膜上成一个发散较小的像斑，其光斑越小，感觉的像就越清晰，图示为近视眼观察物体在有小孔与无小孔时成像的像斑大小的比较．(1)当物点较远，其入射光束近似为平行光束．小孔对眼睛晶状体焦点的张角为，其中为看远处物体时眼睛的焦距，即眼睛的最大焦距．视网膜到眼睛晶状体的距离为b，从图中可看出，一个物点在眼睛的焦点处可会聚成一个像点，但到视网膜上则散成一个像斑，像斑的直径为．近视是因为眼轴的长度大于眼睛的最大焦距．当远点的物刚好能够在视网膜上成像时，根据成像公式，可得代入像斑大小的公式，得到该像斑对小孔的张角是．
1(2)考虑小孔的衍射，远处物点经小孔所成的艾里斑对小孔的张角为，在眼睛焦平面上的艾里斑和在视网膜上的艾里斑对小孔的张角是一样的，因而，确定出最适合孔径的条件是即可得到．【点睛】本题有两个层面的问题需要了解：一是要明白眼睛是一个构造比较复杂的光学系统，入射光线要经过角膜表面上的折射和晶体前后表面上的多次折射，眼睛角膜外的介质是空气，角膜与晶体之间和晶体与视网膜之间都充满了折射率为1.336的液体．本题为了使学生能进行分析计算，提出了一个简化模型，眼球的折射作用简化为一个凸透镜，且透镜两侧的介质都是空气，这些都与实际情况本同，此外，眼睛的焦距是可以调节的，观察者观察远处物体时，眼睛会自动地调节到能看清楚的最远处，即物距为a处，所以解答中的眼睛系统就处于a处物体在视网膜上成像的状态．另外，作为竞赛学习者，熟悉基本的光学仪器的原理及性能是必需的．二是利用光学仪器观察物体时，其分辨率取决于艾里斑的大小，这与衍射相关，我们一定要清楚观察到清晰像的条件．2．（2019·全国·高三竞赛）在半导体元件的生产中，为了测定Si片上的薄膜厚度，将薄膜磨成劈尖形状．如图所示，用波长的绿光照射，已知的折射率为1.46，Si的折射率了3.42，若观察到劈尖上出现了7个条纹间距，问薄膜的厚度是多少？【答案】【解析】【详解】设图中从上到下依次为空气、和Si，由于的折射率小于Si的折射率，所以光从空气射入劈尖的上、下表面反射时都有半波损失，因此在棱边（劈膜厚度处）为明条纹．当劈膜厚度d等于光在膜层中半波长的奇数倍时（或者膜层厚度d的2倍等于光在膜层中波长的整数倍时）都将出现明条纹．所以明条纹的位置应满足，（）．因此相邻明条纹对应的劈膜厚度差为．所以在劈膜开口处对应的膜层厚度为
2．【点睛】干涉发生在光程差极小的背景下，利用干涉图像，可以测量一些微小尺度或一些微小的变化．物理学的研究是离不开应用，相对于宏观状态的应用，对微小量的测量对中学生而言，似乎显得“高、大、上”一些，其“科研性”也要强一些，因此，它也就自然而然地成了命题的热点内容．3．（2019·全国·高三竞赛）将一偏振片沿45°角插入一对正交偏振器之间.自然光经过它们，强度减为原来的百分之几？【答案】12.5%【解析】【详解】设偏振片，正交，则最终通过的光强为（消光）.若在，之间插入另一块偏振片，与夹角为（如图所示），则最终通过的光强为.式中为入射光强，，分别为通过，后的光强.当时，有偏振也是波所特有的现象之一，光的偏振的计算属新大纲增加的内容之一，应熟练掌握有关偏振光的强度的计算.4．（2019·全国·高三竞赛）设一束自然光和平面偏振光的混合光通过一个可旋转的理想偏振片后，光强随着偏振片的取向可以有5倍的改变.求混合光中各个成分光强的比例.【答案】自然光占33.3%，偏振光占66.7%【解析】【详解】自然光透过偏振片后，光强变为原来的1/2；偏振光有一个可以消光的位置.因此，，解得，即自然光占33.3%，偏振光占66.7%.了解自然光与平面偏振光的通过偏振片的属性，便能理解光强5倍变化的原因，进而问题得解.
35．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，在O点有一个物屏，上面有一个发光小物体。垂直于物屏有光轴，共轴放置一个焦距为f的透镜，光心为C，在距离O点L处共轴摆放一个平面镜。当OC距离为x1时，发现经过透镜透射，平面镜反射，再经过透镜透射，发光物体在物屏处成了清晰像。向右移动C点到x2处，再次在物屏处成了清晰像，继续向右移动C点到x3处，又在物屏处成了清晰像。(1)求出x1，x2，x3；(2)当透镜位于x1处时，向上移动物点距离Δh，则在物屏上的像向什么方向移动了多少距离。【答案】(1)；；；(2)将会向相反方向移动Δh。【解析】【详解】(1)在经过透镜L折射之后的像I1，作为平面镜的物所成的像I2再反射回透镜成像回到原物平面，需要满足以下条件,I2与I1或者重叠在平面镜上，或者都在无穷远处。我们现在画出x1，x2，x3分别对应的光路图左图折射后的平行光被反射成像,右图则是x2，x3的情况，物体经过折射成像在平面镜上，反射之后成像在原物平面上，对应的两个解，整理得到解得综上列出
4，，（注意，有个先决条件是L>4f，但是如果不满足的话根本不会有后面两种成像情况，所以不需要分类讨论）(2)当物体在x1处时，我们知道经透镜第一次折射之后得到平行光，角度正比于物的大小，反射后角度相同，再次折射之后在物平面成的像为倒立的实像，根据像比例关系的传递可知与原物等大，故而当物体移动Δh时，像将会向相反方向移动Δh。6．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，一正六边形，每边均为一平面镜．现从中点发出一条光线，此光线依次经,，…，反射，最后回到边，试求光线出射角的范围若将正六边形换成正边形，且要求光线依然从（中点）发出，先后依次经，，…，反射并回到边，则试求的范围．（以上范围均用反三角函数表示）【答案】（为偶数）（为奇数）【解析】【详解】如图所示，设，，由三角形的相似性可知各边长度如图所示，从而有
5，解之得．再由余弦定理，则．故．则．若换成，同样有不等式组，解得而，于是有 （为偶数）（为奇数）（注：本题也可采用镜面作图法解答）7．（2019·全国·高三竞赛）（1）系为相对观察者静止的惯性参照系．系中存在以速度高速运动的镜子，观察者看到镜面与速度方向的夹角为，一光线经镜面反射，如图1所示，入射角为，反射角为．求、、间满足的关系式
6（2）有一横截面为半椭圆的反射镜，半椭圆的形状为的椭圆沿长轴平分的一半．现讨论该镜面上的反射情况．镜面以沿长轴（平行于轴）方向以速度运动，一足够大平行光场照射到镜面上，光与竖直方向呈角（逆时针为正），如图2所示①定义：反射光线与竖直方向的夹角小于的反射为有效反射．且已知镜子前半面（速度方向为前）的有效反射光线占前半面入射光线的．求和后半面有效光线占后半面入射光线比例②令，平行光场单位长度光子密度为常量．定义反射光的光子角密度，为反射光方向角，求时的方向角与竖直方向的夹角及时的方向角与竖直方向的夹角．（只考虑在地系同时在某一瞬时反射的光子）【答案】（1）（2）①②见解析【解析】【详解】（1）从波阵面角度考虑易知，沿镜面方向速度对光反射无作用，直接考虑垂直镜面方向关系可为，或，或其中，以上三式等价，推导从略．（能够化归的关系均正确）
7（2）①由尺缩效应，运动后镜子的半长轴为因此，在系看来，镜子是半圆柱面镜，而要形成有效反射，其柱面上反射的临界点在反射部位的最下端（反射光向前平射），当有效反射光线占前半面入射光线的时，反射部位的反射面倾角为此时竖直向上的反射光线的反射角．对前半面：考虑反射的临界部位遵循的几何条件，有、、，且代入（1）中的公式有，解得后半面：临界状态时有解得．在镜子系中平行光方向：，解得镜面有部分无入射光线故地系有入射光的角度所以有效入射光线比例：②由（1）结论： ①光子反射前后有
8当时，，当时，；在镜子系中光线方向故上两解符合8．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，在与偏振方向垂直的偏振片1、2之间插入一块厚度为的波晶片，波晶片的轴与偏振片1的偏振方向成角，且波晶片对光与光的折射率分别为和，三元件的平面彼此平行，波长为的单色光正入射到这一系统上，试问：（1）图中①②③三区域光的偏振态；（2）图中①②③三区域光的强度（入射单色光的强度为）【答案】见解析【解析】【详解】（1）强度为的单色光通过偏振片1后，在区域①范围内形成线偏振光，其强度为．设其振动矢量为，振幅为，此线偏振光投射到波晶片上，将其分解为振动和振动，由于振动与偏振片1的偏振方向成角，则和的振幅如图所示，分别为，．光在通过波晶片时，形成相差，即光比光的相位滞后：．
9光在区域②范围内，振动和振动之间有一相差，这两方向上的振动叠加，其偏振态因、的值，可形成椭圆偏振态、圆偏振态或线偏振态．光在区域②范围内的强度仍为．光射到偏振片2上时，分量与分量中都只有它们在其透振方向上的投影和才能通过，先考虑一般情况，设的透振方向与轴的夹角是，则和的振幅如图所示，分别为，．最后，从偏振片2上射出的光线为透振方向的线偏振光，其强度为和在透振方向上叠加的结果，设其合振动为，即．由于两振动有相差，根据同一方向上的振动合成，则其振幅为．从而，强度为．再考虑，有9．（2019·全国·高三竞赛）用坐标纸绘制，的夫琅禾费衍射强度分布曲线．横坐标取，至少画到第4级主极强，并计算第4级主极强与单缝主极强之比．【答案】【解析】【详解】作强度分布曲线如图所示．作图时注意到，故相邻主极强之间出现4个次极强；又，故缺级现象发生在等级．
10当，，时，得，，于是第4级主极强与单缝主极强之比为．【点睛】对于夫琅禾费衍射的强度分布，虽然不要求做详细的推导，但其分布特点还是要了解的，而对于多缝衍射及光栅，都应对强度作详细的了解，并清楚形成的原因，包括缺级的形成等．10．（2019·全国·高三竞赛）半径为的平凸透镜平放在半径为的圆柱形玻璃体上，求相应的牛顿环形状．【答案】均为椭圆曲线，且x方向为短轴方向，y方向为长轴方向【解析】【详解】接触点取为原点，设置坐标如图所示，y轴垂直于纸面向里，有为亮环；
11为暗环．又，，故，因此；可见，均为椭圆曲线，且x方向为短轴方向，y方向为长轴方向．【点睛】在圆柱面上观察牛顿环，这显然是牛顿环模型的延伸．从过往的竞赛试题来看，中学物理竞赛试题中模型，很大一部分都是大学普通物理学中模型的翻版，是对普通物理中的模型进行初等化处理后的简化版．所以，在竞赛学习过程中，熟悉一些普通物理中的模型是有助于我们处理对赛题的理解的．11．（2019·全国·高三竞赛）将焦距的凸透镜从正中切去宽度为a的小部分，如图（a），再将剩下两半黏接在一起，构成一个“黏合透镜”，见图（b）．图中，在黏合透镜一侧的中心轴线上距镜20cm处，置一波长的单色点光源S，另一侧，垂直于中心轴线放置屏幕，见图（c）．屏幕上出现干涉条纹，条纹间距，试问：(1)切去部分的宽度a是多少？(2)为获得最多的干涉条纹，屏幕应离透镜多远？【答案】(1),(2)【解析】【详解】(1)首先讨论黏合透镜的上半个透镜的成像．在图中OO是黏合透镜的中心轴线，在OO上方用实线画出了上半个透镜，在OO下方未画下半个透镜，而是补足了未切割前整个透镜的其余部分，用虚线表示．整个透镜的光轴为．
12半个透镜的成像规律应与完整的透像相同．现在物点（即光源）S在黏合透镜的中心轴线上，即在图中透镜的光轴上方处，离透镜光心的水平距离正好是透镜的焦距．根据几何光学，光源S发出的光线，经透镜光心的水平距离正好是透镜的焦距．根据几何光学，光源S发出的光线，经透镜折射后成为一束平行光束，其传播方向稍偏向下方，与光轴（对OO也是一样）成角为．当透镜完整时光束的宽度为透镜直径透镜直径．对于上半个透就，光束宽度为．同理，S所发的光，经下半个透镜折射后，形成稍偏向上方的平行光束，与轴成角，宽度也是．于是，在透镜右侧，成为夹角为的两束平行光束的干涉问题（见图），图中的两平行光束的重叠区（用阴影表示）即为干涉区．为作图清楚起见，特别是图中的角，均远较实际角度为大．图示的是两束平行光的干涉情况，其中是和上图中的相对应的．图中实线和虚线分别表示某一时刻的波峰平面和波谷平面．在垂直于中心轴线屏幕上，A、B、C表示相长干涉的亮纹位置，D、E表示相消干涉的暗纹位置，相邻波峰平面之间的垂直距离是波长λ．故干涉条纹间距满足．在很小的情况下，上式成为．所以透镜切去的宽度为,，果然是一个很小的角度．(2)由以上的求解过程可知，干涉条纹间距Δx屏幕离透镜L的距离无关，这正是两束平行光干涉的特点．但屏幕必须位于两束光的相干叠加区才行．图中以阴影菱形部分表示这一相干叠加区．因为由1式知条纹是等距的，显然当屏幕位于PQ处可获得最多的干涉条纹，而PQ平面到透镜L的距离
13．【点睛】对切透镜后，无论是切除一部分再黏连，还是进行错位处理，如同上题一样，目的都是将一个光源分为两个相干光源，以达到形成干涉的目的．12．（2019·全国·高三竞赛）如图所示的洛埃镜镜长，点光源S到镜面的距离，到镜面左端的距离，光屏Μ垂直于平面镜且与点光源S相距．如果光源发出长的单色光，求：(1)在光屏上什么范围内有干涉的条纹？(2)相邻的明条纹之间距离多大？(3)在该范围内第一条暗条纹位于何处？【答案】(1)距离光屏与平面镜延长线交点C相距之间出现干涉条纹．(2)(3)距离C点1.44cm处出现第一条暗条纹【解析】【详解】（1）如图所示，S点光源发出的光一部分直接射到光屏上，另一部分经平面镜反射后再射到光屏，这部分的光线好像从像点发出，因为到达光屏这两部分都是由S点光源发出的，所以是相干光源．这两部分光束在光屏中的相交范围AB就是干涉条纹的范围．由图中的几何关系可以得到，，解得，．由图中可知：，．由此可知在距离光屏与平面镜延长线交点C相距之间出现干涉条纹．（2）相邻干涉条纹的距离为．(3)由于从平面镜反射的光线出现半波损失，暗条纹所在位置S和的光程差应当满足
14，即．又因为条纹必须出现在干涉区，且第一条暗纹还应当满足．由上述式解得，．即在距离C点1.44cm处出现第一条暗条纹．【点睛】洛埃镜是一个类似双缝干涉的装置，分析它的干涉现象，主要是找出点光源S和它在平面镜中的像，这两个就是相干光源，然后就可利用杨氏双缝干涉的结论来求解，但注意在计算光程差时，应考虑光线从光疏媒质入射到光密媒质时，反射光与入射光相位差，即发生“半波损失”．以双缝干涉的模型与原理为基础，衍变出了多种干涉模型，洛埃镜即是其中一种，这种模型的共同特点是将一个光源通过某种方式分成两个相同的光源，以保证它们满足相干条件，然后再让这两个光源叠加，从而产生干涉现象．13．（2019·全国·高三竞赛）内半径为R的直立圆柱器皿内盛水银，绕圆柱轴线匀速旋转（水银不溢，皿底不露），稳定后的液面为旋转抛物面．若取坐标原点在抛物面的最低点，纵坐标轴r与圆柱器皿的轴线重合，横坐标轴r与z轴垂直，则液面的方程为，式中为旋转角速度，g为重力加速度（当代已使用大面积的此类旋转水银液面作反射式天文望远镜）．观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处，保持位置不变，然后使容器停转，待液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化．求人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离．【答案】【解析】【详解】旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦，此抛物凹面镜的焦距为．由上式，旋转抛物面方程可表示为．停转后液面水平静止，由液体不可压缩性，知液面上升．以下求抛物液面最低点上升的高度．抛物液面最低点以上的水银，在半径R、高的圆柱形中占据体积为Μ的部分，即附图中左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体，其余体积为V的部分无水银．体Μ在高度z处的水平截面为圆环，利用抛物面方程，得z处圆环面积为
15．将体V倒置，得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体Λ，相应抛物面方程变为，其高度z处的水平截面为圆面，面积为．由此可知：，即停转后抛物液面最低点上升:．因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜，抛物镜的焦点就是球面镜的焦点，故可用球面镜的公式来处理问题．两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反射而成，而先后看到的像的大小、正倒无变化，这就要求两像对眼睛所张的视角相同．设眼长为，凹面镜成像时，物距u即所求距离，像距v与像长y分别为平面镜成像时，由于抛物液面最低点上升，物距为．像距与像长分别为．两像视角相同要求．利用上述诸式，可解得所求距离．【点睛】本题至少有两点值得我们注意：一是对“看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化”容易误认为是像的大小一样，而实际上是视角一样，这说明我们应在不同的语境下正确地理解文字表述的含义；二是在通常情况下，物理试题中所需的几乎特征量都是已知或者是事先给出的，而在本题中，随角速度的变化而变化的动态液面，其几何特征的关联直接影响到结果的产生，本题中对旋转抛物体的体积的求解方式，无论如何都不是一般的思维能力在短时间内所能做到的．14．（2019·全国·高三竞赛）装在门上的门镜（又称“猫眼”）由一个凹透镜和一个凸透镜组成．有一种门镜的凹透镜焦距为1.0cm，凸透镜焦距为3.5cm，两透镜之间的距离为2.1cm，如图所示．试根据这些数据说明，人在室外看不清室内的景物，而在室内的人却能清楚地看见室外的人．
16【答案】说明见解析【解析】【详解】人能否看清一个物体取决于两个因素：一是该物体（或像）是否在人眼的明视距离内；二是是否有足够的光能进入眼睛．在室外通过门镜看室内景物的光路如图所示，AB（图中未画出）通过凸透镜所成的像应是．设，则，则，为实像．把作为的虚物，物距，，虚像．若室内景物到门的距离大于100cm，则更小．人眼若靠近观察，这样的距离比明视距离要小得多，是无法看清的．如果人眼退离观察，则室内物体的成像光线进入眼睛太少，而且视角也很小，同特无法看清．在室内通过门镜看室外景物的光路如图所示，仍设室外景物AB到，的距离为100cm．AB到中成像，应有，虚像．在中成像：可见到的距离大于人眼的明视距离，故人眼完全可以贴在上看清室外景物．【点睛】
17门镜，又称“猫眼”，是我们生活中再熟悉不过的光学仪器了，这些看似简单的仪器，其实都有着比较复杂的光学结构，但都无外乎是由多个简单的透镜或面镜组合而成．对于凡是由多个光学元件组合而成的器件，其解题都是依据逐次计算成像特征的程序进行求解的，“逐次成像法”是我们求解光具组问题最有力的制胜法宝．当然，平时熟悉各种光学仪器的结构与原理，无疑是有助于我们解决问题的．15．（2019·全国·高三竞赛）一束会聚光线，在没有放入凹透镜时会聚于Α点，若在距A为a处放人一凹透镜，该会聚光线经透镜折射后会聚于Β点；Α、B相距为b，如图所示，试求此透镜的焦距．【答案】【解析】【详解】设有一物体位于B处（折射光线的会聚点），它发出的光经透镜折射后必按原光路返回，则Α点就是物B的虚像位置处．．由成像公式解得．【点睛】本题若按顺向思维方式求解，则需找出成像的物距u、像距v然后利用透镜的成像公式计算焦距，而题中物体处于透镜左侧，物距未知，因此虽然找到了解题规律，但仍无法求解，而根据光路的可逆性，采取逆向思维，问题便迎刃而解．光路是具有可逆性的，但通常在分析过程中，这一特点又是隐性的，这使得我们对这一特性的应用存在着一定的障碍，而一旦突破了这一点，则往往是柳暗花明．16．（2019·全国·高三竞赛）常在高速公路上驾驶的司机有这样的体验：当气温较高时，高速公路的正前方有一块地方是湿漉漉的，好像是才被水浇过一样，波光闪闪，而且这一区域还会随着汽车的行驶而向前移动，这实质上是由于空气密度的分布不均匀而造成的折射现象．在高速公路上，因温差，公路上方空气的折射率随高度线性变化，即，其中，结果司机无法看见距离他d处的公路路面（）．若司机的眼睛离公路高1.7m，求d之值．又问，温度随高度如何变化？【答案】在压强一定的情况下；常量，现随高度增大，可见温度随高度降低．【解析】【详解】
18取跑道为x轴，y轴竖直向上．由题意，可设光线自原点（地面）,沿x轴正向发出，逐渐向上弯曲，故n应随高度增大，即，由折射定律，在任一高度处有,即．式中、的意义如图所示，常数C可由地面处的值求得，则有将与光线的斜率联系起来，有，其中，所以有即．由于，则，则，所以或．积分后可得即．由于折射率随空气的密度的增大而增大，而由公式（为空气分子的数密度），在压强一定的情况下；常量，现随高度增大，可见温度随高度降低．【点睛】本题实际是上是在简化的模型下讨论海市蜃楼现象，因为再将光线按此规律逆向延伸，此人向下就能看到天光了．沙漠上常出现这种情况，也是机场跑道不能修建得过长的原因．当光在折射率连续变化的介质中运动时，其轨迹本身可能是非常复杂的，但命题人常常将其轨道巧妙地设计成二次曲线，这需要我们充分掌握并能在各种坐标系中熟练运用二次函数的有关知识．17．（2019·全国·高三竞赛）一半径为R，折射率为n的透明球，其中心为C．在一径向方向上取P、Q两点，使，．试证，从Ρ点发出的光，经界面折射后，总是像从Q点发出的．
19【答案】证明见解析【解析】【详解】在右图中，设A点为球面上任意的一点，光线从PA向AB方向折射．由折射定律知．设BA和CP的延长线交点为，在中，所以，，故．又因为角是、的公共外角，有，有．在中有．所以．故与题文中的Q是同一点．又Α点是界面上的任一点，因而从Ρ点发出的任何光线经球面折射后，总是仿佛从Q点发出的，在光学上把Ρ与Q称为不晕点或齐明点，它们的物像关系对单色光而言是完善的（无球差）．【点睛】通常我们对球面折射成像的研究都是在近轴情况下进行的，而本题中的成像并不受这一条件的限制．在几何光学的内容中，各种特殊光线及特殊的成像问题，可以说是数不胜数，唯有熟悉规律，灵活运用，以不变应万变，才能得心应手，处变不惊．18．（2019·全国·高三竞赛）带电粒子飞过长方体形状的闪烁计数器，沿粒子运动轨迹放置闪烁体，闪烁体分子辐射光．在每一点各向辐射等强光，即在各方向强度是均匀的．求从闪烁器有多大部分光能射出到空气中？如果闪烁体物质的折射率，在闪烁体中光的吸收不计．附注：圆锥顶立体角等于，式中是圆锥轴与其母线所成角．【答案】约2/3所形成的光能从折射率的闪烁计数器中出射【解析】【详解】研究从闪烁计数器任何一点发出的光线．设这条光线与长方体中Α面法线Ν所成角度为，，为在计数器与空气界面的全反射角．我们证明，对于折射率，中任何值下面两个结论是正确的：
20（1）当角时，闪烁体发出的光线一定会从闪烁计数器射出并且通过Α面；（2）当角时，闪烁体发出的光线不可能从Α面射出．首先注意，当平行Ν的光线反射时角不变．对于，则，它是平行Ν界面上最小的可能入射角，因而，大于从闪烁计数器发出的光线不可能从Α面射出．由此可见，结论（1）是正确的．现在证明第二个结论．研究从到—切可能角的值．在范围内，在这些角中任何角度情况下光线不可能从Α面射出．在初始角度情况下只有在B面（平行Α面）发生全反射的光线才可能入射到A面上（但是不一定完全入射）．但是这些光线不可能从Α面射出，因为它们在Α面上入射角与在B面上相同．这样结论（2）也证明了．从计数器出射的所有光线集中在六个圆锥体内，每个圆锥体的轴垂直于长方体中一个面．所有圆锥体切下的立体角占最大的可能立体角4π部分为．这表明，约2/3所形成的光能从折射率的闪烁计数器中出射．【点睛】虽然几何光学多是以平面问题的形式呈现给我们，但空间问题不时会出现．在这一问题中，往往涉及一些折射面为曲面的情形，这需要我们具备较强的空间几何关系的运算能力，而在光的辐射问题中（如本题），又涉及立体角的计算，初学者应补充这方面的知识．19．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，两镜面间夹角，点发出的垂直于的光线射向后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从Α点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？【答案】【解析】【详解】光线经第一次反射的反射线为BC，根据平面反射的对称性，，且。上述A、B、、均在同一直线上，因此光线在、之间的反复反射就跟光线沿直线传播等效。设是光线第n次反射的入射点，且该次反射线不再射到另一个镜面上，则n值应满足的关系是，。
21取，，总路程：20．（2019·全国·高三竞赛）如图所示为一套干涉装置，为半反镜，、、为平面镜，为一反射镜，其外形为旋转抛物面，由于光屏距较远，可以认为只有近似垂直于光屏入射的光线才能到达．的光轴与、的对称轴重合．已知激光波长为，的抛物线方程为，光屏到光线在上的反射点的距离为．问：光屏上干涉条纹的间距是多少？【答案】【解析】【详解】首先，我们要得到光束通过所成的两个像的位置．为此，需要利用到抛物线的性质，下面通过两种方式求解．①利用平抛运动求解．．当即时，抛物线的切线方向与轴成角．所以，，．
22当物体从此位置移了时，由速度的矢量图得，速度方向偏转了．所以像到反射点的距离为．两个像点的间距．②利用求导数求解．反射点处有， ①所以，．对①式两边微分得,所以像到反射点的距离．两个像的间距．所以，21．（2019·全国·高三竞赛）一束光入射到一组偏振片上，这个偏振片组由四块偏振片组成，每块的透振方向相对于前面一片沿顺时针方向转过30°角．试问入射光中有多大一部分透过了这组偏振片？【答案】【解析】【详解】设入射自然光总强度为，通过四块偏振片的光强依次为，，，．根据马吕斯定律，得．算出比值为
23．【点睛】光的偏振特性也是波所特有的现象之一，平时我们观察物体所接收到的光多为偏振光或部分偏振光．对偏振光强度的计算是我们掌握这一内容的基本功．由于光的偏振是新大纲加入的内容，在今后的竞赛试题中涉及的可能性较大．22．（2019·全国·高三竞赛）设一束椭圆偏振光与自然光的混合光沿轴方向传播，通过一偏振片.当偏振片的透振方向沿轴时，透射光的强度最大，为；透振方向沿轴时，透射光的强度最小，为.问：当透振方向与轴成角时，透射光强是多少？与入射光中的无偏振部分相关吗？【答案】透射光强为，与入射光中的无偏振部分光强无关【解析】【详解】椭圆的长轴沿方向.设自然光的光强为，而椭偏光的分量振幅为、，则，即，.与轴成角，解得透射光强为.可见，透射光强与入射光中的无偏振部分即自然光的光强无关.本题是有关偏振光强度计算的典型试题，希望读者通过对本题的阅读与练习，能很好地应对各类有关偏振光强度的计算类试题．23．（2019·全国·高三竞赛）一架照相机在离地面200km的高空拍摄地面上的物体.如果要求它能分辨地面上相距1m的两点，照相机的镜头至少要多大？（设镜头的几何像差已被很好地消除，感光波长为400nm）【答案】照相机镜头孔径至少为9.76m【解析】【详解】按题意，要求能分辨的最小角间隔为.本题属分辨角的基本计算，是基本训练题.该照相机的镜头即为孔径光阑，其最小分辨角公式为.据此，以
24代入上式，算得照相机镜头孔径为.24．（2019·全国·高三竞赛）已知地月距离约为.用口径为1m的天文望远镜能分辨月球表面两点的最小距离是多少？【答案】255m【解析】【详解】取光波长，算得.因此月球表面上能被该望远镜分辨的最小距离为.本题实际上与上题重复，也属于成像分辨本领的计算，是基本训练题.25．（2019·全国·高三竞赛）一个由暗盒组成的针孔照相机，其小孔直径为，暗盒中像成在小孔后距离为的感光胶片上，如图所示，物体位于小孔前处，所用波长为.（1）估计成像清晰时小孔半径的大小.（2）若使用（1）中算出的小孔，试问：物体上两点之间的最小距离是多少时，该两点的像可分辨？【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1）物体上一点在照相底片上成的像由两个因素决定的，一是小孔的几何投影，一是小孔的夫琅禾费衍射（）.几何投影产生物点的像的直径是.衍射效应扩大了几何投影区，所增加的直径大小为.总的像直径为.可见当小孔小时，则第一项小，第二项大.当大时，第二项小，第一项大.当时，最小，其值是
25.（2）由（1）知，对小孔直径为的针孔照相机，物上一几何点在底片上所成像的大小为.物上相邻两点、在底片上要能分辨，根据瑞利判据，其像点中心距离，由几何关系得.即物上两点间的距离要大于时，该两点的像是能分辨的.小孔衍射成像的清晰与否，取决于像斑（包括解答中的投影与衍射两项）的大小，物点的像斑越大，像越模糊，分辨率越低.在这类试题中，几乎都是对像的清晰情况及其分辨率情况作考查.26．（2019·全国·高三竞赛）某业余无线电玩家住在镇，他经常与分别住在镇和市的两位友人用无线电相互通讯联络.他希望当他与其中一人通讯时，另一人不能同时收到讯号.因此他在住家的空地上竖立了两根垂直于地面的发射天线和，可以同时发出讯号，并使两个发射讯号之间的相位差可在每次发射前调整，采用的无线电波的波长为.如图所示，给定的；方向线朝方向线逆时针转角；图中、、三点共线，连线长度记为；方向线沿逆时针方向到方向线的转角记为（顺时针方向转角为负）；、间距和、间距都远大于和.（1）取不同的，找出可取得的最小值；（2）取画出连线相对连线和连线的方位图，标出相应角的旋转方向；（3）取，对给定的发射功率，为使镇友人收到的讯号达最强，试求输入、讯号间的相位差.【答案】（1）（2）（3），【解析】
26【详解】（1）将输入到、的信号相位差记为，则两信号传播到、时的相位差分别为，.为使、两地不能同时检测到信号，应有，为任意整数所以，，解得.①取，则因，为使取正，要求，即得即，对应.②取，则因，为使取正，要求，即得，即也对应.结论：.（2）取解，即时，所求方位关系如图乙所示，应有连线垂直于角平分线.取解，即时，所求方位关系如图丙所示，仍有连线垂直于角平分线.
27（3）为使接收到的信号最强，应有，为任意整数.，，即得.干涉是波所特有的属性，光波亦属于电磁波，讨论光的干涉，本质上也是在讨论电磁波的干涉.从本题的解答我们不难看出，对电磁波干涉的计算与对光的干涉的计算并无差异，关键点仍然是两波源的波程差的计算.27．（2019·全国·高三竞赛）某种蜜蜂的眼睛能够看到平均波长为500nm的光，它是由5000个小眼构成的复眼，小眼一个个密集排放在眼睛的整个表面上.小眼构造得很精巧，顶部有一个透光的圆形集光装置，叫角膜镜；下面连着圆锥形的透明晶体，使得外部入射的光线会聚到圆锥顶点连接的感光细胞上（进入一个小眼的光线不会透过锥壁进入其他小眼），从而造成一个“影像点”（像素）；所有小眼的影像点就拼成了一个完整的像.若将复眼看作球面圆锥，球面半径为，则蜜蜂小眼角膜镜的最佳直径约为多少？（请给出两位有效数字）【答案】0.030mm【解析】【详解】昆虫的复眼由许多小眼组成，所有的小眼密排在一个球面上，每个小眼是一个独立的成像单元，在每个小眼底部只有一个感光细胞，因而每个小眼所成的像是不能分辨细节的像点．每个小眼是一个细长的圆锥筒，因此物上不同的点发出的光线进入不同的小眼中，如图所示.所有小眼的像点组合起来，就可构成一幅完整的像，这就是昆虫所观察到的影像.由于相对于每个小眼的孔径.物到眼睛的距离要大得多，故对一个小眼而言，物上每一点发出的光进入小眼的只是发散角很小的一部分，可近似作为平行光处理.小眼的圆孔成像要想得到最清晰的像，应当使几何像斑与衍射像斑恰好重合，即，因而.蜜蜂小眼的圆孔成像通过小的透光孔来观察物体，都存在衍射，这将直接影响我们能否看清物体.理论表明，艾里斑的半角宽度影响着成像质量，在涉及衍射的成像问题中，分辨本领的计算几乎是无法回避的问题.
2828．（2019·全国·高三竞赛）厚玻璃上方镀有双层增透膜，，以波长为和单色光垂直入射，设三束反射光（只考虑一次反射）、b、c在空气中的振幅相等，欲使这三束光相干叠加后的总强度为0，则第一层膜的最小厚度和第二层膜的最小厚度各为多少？【答案】，【解析】【详解】相互的光程差与位相差分别为，，，.因、b、c在空气中的振幅相等，为使三者相加为零，则要求它们彼此间的相差为，即．，、为整数.于是得，.为取、各为最小，取，即得，.不论什么样的干涉装置，我们总对一分为二的两束光所行进的路径进行分析、计算其光程差或位相差，值得注意的是，光程差并不简单地是行进的距离，还应注意到介质对光程的影响，有关干涉问题的计算，几乎都是光程差的计算，这与干涉装置的结构有很大的关联，由于竞赛试题几乎都是由大学老师命制的，干涉模型极有可能取自他们的研究领域，这便为我们认识其模型带来了一定的障碍，希望读者能加强对干涉装置的研判．29．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，波长的平行激光束垂直入射到双棱镜上，双棱镜的顶角，宽度，折射率.问：当幕与双棱镜的距离分别为多大时，在幕上观察到的干涉条纹的总数最少和最多？最多时能看到几条干涉条纹？
29【答案】当幕与双棱镜的距离大于等于时，重叠区域为零，条纹总数为零．当屏与双棱镜相距为时，重叠区域最大，条纹总数最多，其中的干涉条纹总数条．【解析】【详解】平行光垂直入射，经双棱镜上、下两半折射后，成为两束倾角均为的相干平行光.当幕与双棱镜的距离等于或大于时，两束光在幕上的重叠区域为零，干涉条纹数为零，最少.当幕与双棱镜的距离为时，两束光在幕上的重叠区域最大，为，干涉条纹数最多．由折射定律可求得倾角为，式中是双棱镜顶角，是入射的平行光束经双棱镜上、下两半折射后，射出的两束平行光的倾角．如图所示相当于杨氏光涉，，，而.条纹间距：.可见干涉条纹的间距与幕的位置无关.当幕与双棱镜的距离大于等于时，重叠区域为零，条纹总数为零..当屏与双棱镜相距为时，重叠区域最大，条纹总数最多.相应的两束光的重叠区域为.其中的干涉条纹总数条.
30就目前对光的干涉的定量分析来看，几乎都是利用某个光学元件，将一光源分离成两个相同的光源，即“一分为二”，再让其叠加，使其在叠加区域形成干涉，显然，在干涉条纹排布的方向上，叠加区域越宽，条纹数就越多，当然，这是在条纹的宽度与距离无关的前提下得到的结论.本题的解答显示，完整的解答应该对干涉条纹的间距与屏的位置无关加以证明，否则就有可能被扣分.30．（2019·全国·高三竞赛）圆锥透镜如图所示，，为锥面，为底面.通过锥顶垂直于底面的直线为光轴.平行光垂直入射于底面，现在把一垂直于光轴的平面屏从透镜顶点向右方移动，不计光的干涉与衍射.（1）用示意图画出在屏上看到的图像，当屏远离锥顶时图像怎样变化？（2）设圆锥底面半径为，锥面母线与底面的夹角为，透镜材料的折射率为，令屏离锥顶的距离为，求出为描述图像变化需给出的屏的几个特殊位置.【答案】（1）.（2）在第1问解答中：①②③④所述的变化过程对应于．⑤⑥所述的图像变化过程对应于．⑦⑧所述的图像变化过程对应于．【解析】【详解】（1）入射光线进入透镜底面时，方向不变，只要在镜面上发生折射，如图所示.由图可见，过锥面的折射角满足折射定律，有.而光线的偏向角，即折射光线与轴的夹角为.在下图中画出在图面上的入射光线经透镜后的折射光束的范围.所有平行入射光线过锥面处和处的折射光线分别相互平行，构成两个平面光束，交角为.把图绕光轴旋转180°.就得到经过透镜后的全部出射光线的空间分布.
31下面分析在屏上看到的图像及屏向远处移动时图像的变化.①当屏在处时，照到屏，上的光束不重叠，屏上是一个明亮程度均匀的圆盘，半径略小于.②屏在、之间时，照到屏上的光束有部分重叠，在光束重叠处屏上亮度较不重叠处大，特别是在屏与光轴的交点，即屏上图像中央处，会聚了透镜底面上一个极细的圆环上的全部入射光的折射光，因此这一点最亮.在这点周围是一个以这点为中心的弱光圆盘，再外面是更弱的光圆环，如图（a）.③在屏从到远移过程中，屏上图像中央的亮点越远越亮（这是因为会聚在这里的入射光细圆环半径增大，面积增大）；外围光圆盘越远越大，再外的弱光圆环则外径减小，宽度减小，直到屏在点时弱光环消失.④屏在点时，在中央亮点之外有一亮度均匀的光圆盘，如图（b）.丁⑤屏继续远移时，图像又一般地如图（a）形状，只是屏越远中央亮点越亮，亮点周围光圆盘越小，再外弱光环越宽、越大.⑥当屏移到点时，图像中亮点达到最大亮度.外围是一个由弱光圆环扩大而成的光圆盘，如图（c）.⑦屏移过点后到达光束缚不重叠的区域，这时屏上图像为中央一个暗圆盘，外围一个弱光圆环，不再有中央亮点，如图（d）.⑧屏继续远移，图像形状仍如图（d），只是越远暗盘半径越大，外围弱光环也扩大，但环的宽度不变.（2）在较小时，也小，有，，故.略去透镜厚度，则，处距的距离分别为，.因此在第（1）问解答中：①②③④所述的变化过程对应于；⑤⑥所述的图像变化过程对应于；⑦⑧所述的图像变化过程对应于.本题是光的折射及视场问题的基本分析题，只是给定的透镜是圆锥体，对其形成的光照亮区的描述应考虑到空间属性，从而提高了一定的难度.但本题对光的叠加区域的分析为光的干涉区域的分析做了铺垫.31．（2019·全国·高三竞赛）有一放在空气中的玻璃棒，折射率，中心轴线长，一端是半径为的凸球面
32（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？（2）对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角度时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度，求（此比值等于此玻璃棒的望远系统的视角放大率）【答案】（1）右端应为半径等于5cm的向外凸面球面 （2）【解析】【详解】首先我们知道，对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处物点发出的入射光线为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，然后我们再运用正弦定理、折射定律及小角度近似计算，即可得出最后结果.（1）对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图所示，图中为左端球面的球心．由正弦定理、折射定律和小角度近似得①即.②光线射至另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心一定在端面顶点的左方，等于球面的半径仿照上面对左端球面上折射的关系可得. ③又有 ④由②③④式并代入数值可得.⑤即右端应为半径等于5cm的向外凸球面.（2）设从无限远处物点射入的平行光线用、表示，令过，过，如图所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点，即为左端球面对此无限远物点成的像点．现在求点的位置.在中，
33. ⑥又，⑦已知、均为小角度，则有.⑧与②式比较可知，，即位于过垂直于主光轴的平面上.上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线.容易看出，从射向的光线将沿原方向射出，这也就是过点的任意光线（包括光线、）从玻璃棒射出的平行光线的方向.此方向与主光轴的夹角即为.. ⑨由②③式可得，则.放大镜、望远镜等光学仪器的名称都是根据仪器的功能进行命名的，并不一定有固定的结构.如望远镜的基本功能就是将远处的物体相对观察者的视角进行放大，以达到看得更清晰的目的.本题所给出的光学仪器便是一个简单的望远镜，但从结构上讲，它就是一基本的双球面的折射成像系统，从功能来讲，它就是将远处的物体对观察者的视角进行了放大.对于各类光学仪器，只要清楚了它们的功能，就能循着这一功能寻找特殊光线，如本题中就是对来自无穷远的光线进行研究，进而求解问题.32．（2019·全国·高三竞赛）图为投影仪的结构示意图，是水平放置的凸透镜，在其正上方有一个与水平面成40°角的平面镜，在右边竖直放着一个屏幕，当物体（）的光线经和后，在屏上成一个清晰的像，已知，，.（1）求凸透镜的焦距.（2）画出成像的光路图.
34【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1）对凸透镜而言，当像成在屏幕上时，结合平面镜成像的特点，有，.故由得.（2）系统成像如图所示，常用的光学仪器有很多，如照相机、放大镜、望远镜、显微镜、幻灯机等，它们的工作原理，成像规律，调试方法，都是我们必须熟知的.投影仪作为最简单的光学仪器之一，算是这类仪器中的代表，读者有必要对这类光学仪器的工作原理作系统而深入的研究与讨论.33．（2019·全国·高三竞赛）半径均为的圆盘发光面和不透光的圆盘共轴放置，相距，在后相距处旋转光屏，在和正中有一凹透镜，焦距（1）在照明下，上形成的的本影和半影的半径、；（透镜的半径足够大）（2）把凹透镜换成凸透镜，位置不变，焦距，求此时的本影和半影的半径、.
35【答案】【解析】【详解】如图所示，先作出的像，有边缘，对边缘引直线，与相交，则图中Ⅰ区为本影区，Ⅱ区为半影区.（计算从略，凸透镜的原理相同）光学内容中的物（实物与虚物）、像（实像与虚像）、影（本影、半影、伪本影）等概念都是必须掌握的概念，此外，还有诸如照亮区、可视区（视场）的含义，这类问题虽然不大可能单独成题，但在审题、对光学现象进行分析时，有时起着至关重要的作用.34．（2019·全国·高三竞赛）两块共轴放置的凸透镜和，点光源.位于左侧，最终在的右侧得到一个实像，如图所示.试用作图法求出透镜和焦点的位置.【答案】【解析】【详解】如图所示，作从点光源出发且通过的光线与相交，然后利用副光轴、焦平面得的焦点；同理从像出发，根据光路可逆，可得的焦点，作图顺序见图中所标的序号，先用①②③④找出；再用⑤⑥⑦⑧找出.
36本题介绍了利用薄透镜的副光轴与焦平面作图的方法，在薄透镜的作图过程中，这套方法快捷而有效，应注意掌握.35．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，有一半径的玻璃半球，在其主光轴上放一长的条形物.在主光轴的点附近可同时观察到的两个像，它们分别是经玻璃半球的平面和凹球面反射而成的.当条形物的端与半球平面相距0.020m时，两个像恰好连接在一起，试求玻璃半球的折射率.【答案】【解析】【详解】光在介质分界面上，除发生折射之外，也将发生反射（对玻璃来说，垂直入射光光强反射率约为4%），题中看到的两个像，一个是平面的反射像，一个是经平面折射再经球面反射最后经平面折射后所成的像.先求上面所分析的后一个像.设主轴上一发光点在，.对平面，由成像公式有，即.对凹面镜，由公式有，即.再对平面，有，即，即A点的像最后成于，显然，.在平面的右边，且，即在半球内.大，像就距平面远，小，像就距平面近，因而条形发光体中，的像与点距离为.的像与点距离为. .又经平面反射的像与平面对称，有.根据题意，两像首尾相接，即或.由前者可得，
37解得，不合题意，舍去.由后者得：，解得.像的连接如图所示，本题是一道多界面的成像问题，解答这类试题的要点是依据光的传播路径，一个界面一个界面地计算其成像，即逐次成像法，多界面成像问题给答题者的感觉是难度不大，但这类试题类似于多过程的力学问题，每个过程虽然难度不大，但将多过程串联起来，其难度便骤然上升，容易出错.本题的解答还有另外一易错点，即题目并没有给出两个像的连接方式，这就需要答题者全面考虑，稍有疏忽，便是解答过程的不完备，在考试中必然会被扣分.36．（2019·全国·高三竞赛）体温计横截面如图所示，已知细水银柱顶端离圆柱面顶点的距离为2R，R为该圆柱面半径，C为圆柱面中心轴位置.玻璃的折射率，E代表人眼，求图示横截面上人眼所见水银柱像的位置、虚实、正倒和放大倍数.【答案】像在体温计外表后4R处，正立，虚像，放大倍数为3．【解析】【详解】先考虑主轴上物点发出的两条光线，其一沿主轴方向入射界面，无偏折地出射，进入人眼.其二沿方向以入射角斜入射界面点，折射角为.折射光线要能进入人眼，点应非常靠近点，或者入射角和折射角应很小．若角度以弧度量度，在小角（近轴）近似下，折射定律可写为.这两条光线反向延长，在主轴上相交于，即为物之虚像点（如图所示）.
38对用正弦定律，得.在小角（近轴）近似下，有，.上式可写为，解上式得.为了分析成像倒立和放大情况，将水银柱看成有一定高度的垂轴小物体，既然是一对共轭点，只要选从发出的任一条光线经界面折射后，反向延长线与过点垂轴线相交于，是物点的虚像点，即是物的正立虚像.选从点发出过圆柱面轴心的光线.该光线对界面来说是正入射（入射角为零），无偏折地出射，反向延长线交过垂轴线于，从得放大率为.本题是单球面折射成像问题，此类问题虽然有现成的成像公式，但本题的解答仍然给出了详细的推导，而这是大家必须熟练掌握的近轴成像的处理方法，希望读者能认真地对待此类问题，能熟练地推导各类近轴光线的成像规律.37．（2019·全国·高三竞赛）给定一厚度为的平行平板，其折射率按下式变化：．束光在点由空气垂直射入平板，并在点以角度射出，如图所示求点的折射率，并确定点的位置及平板的厚度.（设，，）【答案】，，Α点坐标为【解析】【详解】首先考虑光的路线，如图乙所示.对于经过一系列不同折射率的平行平板的透射光，可以应用折射定律，得.更简单的形式是.
39这个公式对任意薄层都是成立的.在我们的情形里，折射率只沿轴变化，即=常数.在本题中，垂直光束从折射率为的点入射，即，，.则常数等于，于是在平板内任意一点有.与的关系已知，在平板传播中的光束满足图丙表明光束的路径是一个半径为的圆，从而有.现在我们已知光的路径，就有可能找到问题的解答.按照折射定律，当光线在A点射出时，有.因为，故有，，因此.在本题情形.由得出A点的坐标为.光线的轨迹方程为.代入，得到平板厚度为.
40本题是一道物理奥赛的试题，也是光在非均匀介质中传播的试题，其介质的微元处理及折射定律的应用也无特别之处，但从传播光束满足的表达式出发，确定光的传播轨迹为一圆轨迹，是问题的突破口，这显然要求答题者具备扎实的数学基础.对于物理竞赛生而言，扎实的数理基础是必备的，并且，只有学好了数学，才能进一步学好物理.38．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，在某非匀质光介质中，折射率随变化，处，让光从，处掠入，光线方程为，求与的关系.【答案】【解析】【详解】由题可知，.因为，所以，，所以，，.光在非匀质介质中的传播是竞赛中经常遇到的问题，过去基本上都通过微元法进行相应的处理与计算，其光路基本上都是围绕大家都熟悉的函数图像展开.但随着微积分在竞赛中的运用，此类模型的复杂程度会越来越高，光路也就会越来越复杂.不过，再怎么复杂，从物理的角度看，无非是折射定律的应用而已.39．（2019·全国·高三竞赛）图a是基于全内反射原理制备的折射率阶跃型光纤及其耦合光路示意图.光纤内芯直径50μm，折射率n1=1.46；它的玻璃外包层的外径为125μm，折射率n2=1.45.氦氖激光器输出一圆柱形平行光束，为了将该激光束有效地耦合进入光纤传输，可以在光纤前端放置一微球透镜进行聚焦和耦合，微球透镜的直径D=3.00mm，折射率n=1.50.已知激光束中心轴通过微球透镜中心，且与光纤对称轴重合.空气折射率n0=1.00.
41(1)为了使光线能在光纤内长距离传输，在光纤端面处光线的最大入射角应为多大?(2)若光束在透镜聚焦过程中满足近轴条件，为了使平行激光束刚好聚焦于光纤端面(与光纤对称轴垂直)处，微球透镜后表面中心顶点O与光纤端面距离应为多大?(3)为了使进入光纤的全部光束能在光纤内长距离传输，平行入射激光束的直径最大不能超过多少?【答案】（1）9.8°（2）0.75mm（3）0.76mm【解析】【详解】(1)进入光纤芯的光束只有在光纤芯与包层界面满足全反射条件，才能使得光束在光纤中长距离传输.设光线最大入射角为θ，相应的折射角为α，如解题图a所示.由折射定律和全反射条件有 (1) (2)由(1)(2)式得 (3)由(3)式得θ=arcsin0.17=9.8° (4)(2)平行激光束首先在微球透镜前表面一次成像，其成像位置(相对于微球透镜前表面顶点)可利用球面镜折射成像公式得到 (5)式中，O1为物距，由于是平行光束O1=∞，是一次成像位置，n是微球透镜玻璃材料折射率n=1.50，r是微球前表面曲率半径，.由(5)式得 (6)光束在微球透镜后表面第二次成像位置(相对于微球透镜后表面顶点O)可由球面镜折射成像公式得到 (7)式中，为相对于微球透镜后表面顶点O的物距
42 (8)由于此时是虚物，应取负值，即而是微球后表面曲率半径将以上数据代入(7)式可得二次成像位置为 (9)即微球透镜后表面中心顶点O与光纤端面距离应为0.75mm.(3)微球透镜的等效主点与球心重合，而等效焦距为 (10)为了使进入光纤的全部光束能在光纤内长距离传输，平行入射激光束的直径d最大时，光束在光纤端面上的入射角应满足最大入射角条件: (11)注意到上式已略去项，将上式结果代入(11)式，结合(3)式和题给数据得 (12)平行入射激光束的直径最大不能超过0.76mm.40．（2019·全国·高三竞赛）一束椭圆偏振光通过一偏振片，透射光的强度将随着偏振片的透振方向的转动而变化．若测得最大的透射光强和最小的透射光强分别为和，问当透射方向与光强最大透射方向间的夹角为时，透射光强为多少？
43【答案】【解析】【详解】如图所示，取坐标系，χ轴沿椭圆长轴方向，y轴沿椭圆短轴方向，则上述椭偏光可用分量表示为，．当透射方向与光强最大透射方向间的夹角为时，透射光的振幅为，．这是两列相位差为的平面偏振光的相干叠加，强度为【点睛】偏振光的结构决定了透射光的强度．如果涉及偏振特性的定量计算，几乎不可避免地涉及光强的计算，从应试的角度看，了解光强的成因，并熟练地计算，应该是一项基本功．另外，关于布儒斯特角的计算，也是应该熟练掌握的内容．41．（2019·全国·高三竞赛）在焦距为20.00cm的薄凸透镜的主轴上离透镜中心30.00cm处有一小发光点S，一个厚度可以忽略的光楔C（顶角α很小的三棱镜）放在发光点与透镜之间，垂直于主轴，与透镜的距离为2.00cm，如图所示．设光楔的折射率，楔角．在透镜另一侧离透镜中心46.25cm处放一平面镜M，其反射面向着透镜并垂直于主轴．问最后形成的发光点的像相对发光点的位置在何处？（只讨论近轴光线，小角度近似适用．在分析计算过程中应作必要的光路图．）【答案】像点在发光点S左侧光轴上方，到光轴的距离为0.55cm，其在光轴上的垂足到S的距离为22.00cm．【解析】【详解】
44这是一个光具成像问题，厚度可忽略的光楔在成像过程中的作用相当于一使光线产生偏折的薄平板，平面镜使光线反射后再次经凸透镜成像，在这一过程中，我们再根据折射定律、透镜成像公式及有关数学近似进行一系列计算，就可得出最后结果．共有五次成像过程．（1）光楔使入射光线偏折，其偏向角（出射光线与入射光线方向的夹角）用表示，由图可知,，．对近轴光线，很小，有；因α也很小，同样有．故有．代入数值，得．因与入射角大小无关，各成像光线经光楔后都偏折同样角度．又因光楔厚度可忽略，所以作光路图时可画成一使光线产生偏折角的薄平板，如图．光点S经光楔成一虚像点．对近轴光线，在S正上方，到S的距离为h，离光楔距离．代入数据，得．（2）为透镜L的实物，像点的位置可由下式求出．以，代入，得．将视为与光轴垂直的小物，由透镜的放大率公式有可求得．
45即像点在光轴下方与光轴的距离为0.78cm，与透镜的中心距离为60.00cm处，如图所示．（3）在平面镜之后，对平面镜是虚物，经平面镜成像，像点与对称于平面镜（图示）．，．（4）作为透镜的实物，经透镜折射后再次成像，设像点，及与L的距离分别为和，则，．在透镜左侧，主轴上方，如图所示．．5．第二次经透镜折射后成像的光线还要经光楔偏折，再次成像，像点在正下方，离光楔距离为50cm，离光轴的距离为（如图所示）．，．像点在光轴上的垂足与S的距离为．即最后的像点在发光点S左侧光轴上方，到光轴的距离为0.55cm，其在光轴上的垂足到S的距离为22.00cm．【点睛】对于光线经过多个界面或经过多个光学元件（光具组）的情形，一个界面一个界面、一个元件一个元件依次地分析、计算、讨论，确定其成像特点，是程序法解题思路的典型体现，也是处理光具组问题的最佳解题方式，这一解题方式被称为逐次成像法．在竞赛中，光具组的成像是命题的热点内容，而逐次成像的解题方式则是我们最根本、最有效的解答方式．熟悉这类题的解题程序，是应对这类赛题的必由之路．42．（2019·全国·高三竞赛）田野中有一条直路．一只山羊沿路奔跑的速度不超过v，沿田野奔跑的速度不超过u，且．求山羊在时间t内可能到达的区域．
46【答案】,由4个直角三角形及两个扇形组成，其中，．【解析】【详解】把山羊视作光粒子，直路相当于“光疏介质”，田野相当于“光密介质”．今设山羊从原点Ο出发；先沿直线（x轴正方向）以速率ν奔跑时间到达Α点，然后折入田野以速率u沿与x轴正方向夹角为（）方向奔跑时间，恰好到达最远点，则如图所示，令B点坐标为（x，y），则，即得：而直线AB的斜率，由此可知上式表示的直线和AB垂直．现在过B点作ΑB的垂线与x、y轴分别交于点P、Q．另一方面，山羊在田野中直接奔跑时，在时间t内能达到的最远距离为ut，即图中MN段为半径为ut的一个扇形区域，所以，山羊在t时间内可能到达的区域如图所示．由4个直角三角形及两个扇形组成，其中，．【点睛】费马原理虽然是针对光的传播提出来的，但它适用于讨论所有速度与场地相关的问题，这一方法在运动学中应用得十分普遍，它能充分考查学生分析问题及运用数学知识解决综合问题的能力，作为竞赛学习者，掌握这类问题的分析方法是必需的．43．（2019·全国·高三竞赛）将焦距为的一块双凸透镜沿其表面的垂直方向切割成相同的两部分，把这两部分沿垂直于主轴的方向移开一段距离，并用不透明的材料将其挡住，若在原透镜左侧主轴上，距透镜光心处放一点光源，如图所示，点光源能射出波长为的单色光，那么在透镜另一侧距透镜的屏幕（垂直于透镜主轴放置）上，将出现多少条亮条纹？
47【答案】亮条纹的条数为46条【解析】【详解】由透镜成像规律可知，单色点光源，经切割成的两个半透镜分别成两个像，（此时每个半透镜相当于一个透镜）．这两个像的像距相等，关于主光轴对称，形成相干光源，从而在屏幕上可看到干涉条纹，屏幕中央是零级亮条纹，两侧依次分布着各级干涉条纹．根据透镜成像公式得：． ①设两个像之间的距离．由图中的几何关系可知． ②由①②两式得． ③由图甲知． ④类比光的双缝干涉作图，用，两个像点替代双缝干涉中的两条缝，设屏幕上为一级亮条纹，则光程差为． ⑤
48因为的值很小，所以有．将其代入⑤式得． ⑥将③④代入⑥式得． ⑦由于干涉条纹是等间距的，所以屏幕上出现的亮条纹数目为． ⑧由中几何关系得，解得． ⑨将⑨代入⑧式得． ⑩将已知数据代入⑩得：，所以亮条纹的条数为46条．44．（2019·全国·高三竞赛）焦距均为的两个凸透镜、与两个圆形平面反射镜、放置如图所示.二透镜共轴，透镜的主轴与二平面镜垂直，并通过二平面镜的中心，四镜的直径相同，在主轴上有一点光源.（1）画出由光源向右的条光线（如图所示）在此光学系统中的光路.（2）分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些位置（点除外）形成光源的能看到的像，哪些是实像？哪些是虚像？（3）现在用不透明板把和的下半部（包括透镜中心）都遮住，则这些像有什么变化？【答案】（1） （2）向右发出的光线：处成实像，右方无限远处成虚像；处成实像；Ρ处（左方处主轴上）成虚像．向左发出的光线：处成实像；左方无限远处成虚像；处成实像；Q处（右方处主轴上）成虚像．（3）向右发出的光线只在处成实像．向左发出的光线只在处成实像．两像均比未遮住时暗．【解析】
49【详解】（1）光线的第一次往返光路如图所示，当光线由图中左方返回经点后，将继续向右下方进行，作第二次往返.第二次往返的光路在图中未画出，可按图中光路对称于主轴画出.以后，光线重复以上两种往返光路.（2）向右发出的光线：处成实像，右方无限远处成虚像；处成实像；处（左方处主轴上）成虚像．向左发出的光线：处成实像；左方无限远处成虚像；处成实像；处（右方处主轴上）成虚像.（3）向右发出的光线只在处成实像.向左发出的光线只在处成实像.两像均比未遮住时暗．本题的解答已经明白无误地告诉了我们特殊光路与逐次成像法在处理多光学元件问题中的作用．熟知各种特殊光路，熟练运用逐次成像法，一定会有效地提升我们处理光学成像问题的能力．45．（2020·全国·高三竞赛）如图，一半径的球形薄壁玻璃鱼缸内充满水，水中有一条小鱼。玻璃和水的折射率都是，观察者在不同位置和不同角度对玻璃鱼缸里的鱼进行观察。（1）当鱼位于鱼缸的中心时，求观察者看到的鱼的表观位置和横向放大率；（2）当鱼位于某些位置时，有时观察到鱼缸里的鱼“消失”，试找出鱼可能“消失”的位置范围以及观察者的观测位置范围，并于图中标出，并作简要说明。【答案】（1）；（2）见解析【解析】【详解】（1）由近轴条件下单球面的成像公式有……①
50式中，和分别是空气和水的折射率，是小鱼到球面的距离，是小鱼的像离球面的距离。依题意将上式代入①式得……②即观察者看到的鱼的像（虚像）与鱼所在处重合。像的横向放大率为……③（2）如解题图a，设与水球球心O距离为a处有一小鱼M。从M点发出任一光线MB与的延长线的夹角为，从M点发出的另一光线MA与垂直，光线MA、MB在玻璃球壳上的入射点分别为A、B，入射角分别为、。在中，由正弦定理有……④在直角中有……⑤又……⑥由④⑤⑥式得
51……⑦为了保证从M点发出的光线有发生全反射的可能，至少要求……⑧式中C是水的全反射临界角……⑨由⑤⑧⑨式和题给数据得⑩值得指出的是：⑨式中的是水相对于空气的折射率。这时从M发出的光线一定可以折射入玻璃内部；但由于题设，玻璃球壁很薄，光线穿过等厚的薄壁玻璃（对于某根光线，该处玻璃可视为一小平面）前后（只要光线能穿过），其方向实际上没有发生偏折（即使玻璃与水的折射率不一样）；相当于从M发出的光线直接入射到与水的交界面上。考虑到球的旋转对称性，则处于解题图b所示的阴影区内的鱼发出的光线都有可能出现全反射，也就是说，鱼可能“消失”的位置范围是解题图b所示的阴影区……⑪现考虑观察者的观测位置范围。在解题图c中，假设鱼所在位置N到球心的距离b满足……⑫即在解题图b的阴影之内。由以上讨论知，从N发出的垂直于ON的光线NA的入射角必大于水相对于空气的全反射临界角C；且该入射角为极大值，光线NA两侧的入射光线NB、ND等的入射角都小于NA的入射角。进而，当NB、ND的入射角都等于全反射临界角C时，NB、ND之间的所有入射光线的入射角都大于全反射临界角，而发生全反射。NB、ND分别对应临界的折射光线、。所以，当观察者的眼睛处于解题图c所示的、之间的阴影区域时，就看不到位于N点的鱼。再考虑球的对称性，将解题图c绕ON轴旋转一周，则眼睛看不到N点的鱼时应选取的观测位置范围是解题图c的阴影区域的集合……⑬由以上讨论可知，鱼在鱼缸中“消失”需要两个条件：一是鱼要相对靠近鱼缸内壁，二是要选择合适的观察位置。
5246．（2020·全国·高三竞赛）光纤陀螺仪是一种能够精确测定运动物体方位的光学仪器，它是现代航海、航空和航天等领域中被广泛使用的一种惯性导航仪器。光纤陀螺仪导航主要基于下述效应：在一个半径为R、以角速度Ω转动的光纤环路（见下图）中，从固定在环上的分束器A分出的两束相干光分别沿逆时针（CCW）和顺时针（CW）方向传播后回到A，两者的光程不一样。检测两束光的相位差或干涉条纹的变化，可确定该光纤环路的转动角速度口。真空中的光速为c。(1)如下图，光纤由内、外两层介质构成，内、外层介质的折射率分别为n1、n2（n1>n2）。为了使光能在光纤内传输，光在输入端口（端口外介质的折射率为n0）的入射角i应满足什么条件？(2)考虑沿环路密绕N匝光纤，首尾相接于分束器A，光纤环路以角速度Ω沿逆时针方向旋转。从A分出两束相干光沿光纤环路逆时针和顺时针方向传播，又回到A。已知光传播介质的折射率为n1，两束光在真空中的波长为，间两束相干光分别沿光纤环路逆时针和顺时针方向传播的时间tCCW和tCW为多少？这两束光的相位差为多少？试指出该相差与介质折射率n1之间的关系。(3)为了提高陀螺系统的微型化程度，人们提出了谐振式光学陀螺系统。该系统中含有-一个沿逆时针方向旋转的光学环形腔，其半径为R，旋转角速度为Ω（RΩ<53由折射定律得为了使光能在光纤内传输（全反射），应有式中，iC是内层介质（相对外层介质）的全反射的临界角，应该满足由几何关系有由上可行即(2)当圆环形陀螺仪沿逆时针以角速度Ω转动时，其环路切向线速率为ΩR，由狭义相对论速度变换公式知，沿逆时针和顺时针方向传播的光相对实验室参照系的线速度分别为式中，n1为光传播所通过的介质的折射率，沿逆时针和顺时针方向传播的光绕N周回到出发点所需要的赶时间为tCCW和tCW，它们分别由以下方程决定由上可以解得
54沿逆时针和顺时针方向传播的这两束的相差为可知相差与介质的折射率无关（3）在旋转的环形腔中，存在沿逆时针方向和顺时针方向传播的共振模式，沿顺时针和逆时针方向传播的共振光波的波长满足以下条件（m表示谐振波的级次）这里，LCW、LCCW分别表示在环形腔旋转的情况下沿顺时针和逆时针方向传播的共振光波的波前从分束器A发出又回到A所经过的路程，即取N=1及n1=n可得可知，沿顺时针和逆时针方向传播的同一能次（m相同）的两个共振模式之间的频率差为即47．（2020·全国·高三竞赛）自1964年Yeh和Cummins观察到水流中粒子的散射光多普勒频移至今，激光多普勒测速技术已获得了广泛应用。为了得到足够的散射光强，通常在流体中散播尺寸和浓度适当的示踪散射粒子，激光照射到运动粒子上时发生散射，从而获得粒子（和流体）的速度信息。设粒子速度v与竖直方向的夹角为。(1)如下图所示，一束频率为f的光被流体中的运动粒子所散射。光在流体中的传播速率为（n为流体的折射率），粒子以速度v运动。入射光和观测到的散射光的传播方向与粒子速度的夹角分别为和。求散射光相对于入射光的频移量与散射光方向的关系。设粒子的速率。光的频率，能否可以直接用分辨率为5MHz的光谱仪进行检测？
55(2)如下图所示，用频率为f的两束相干平行光（其传播方向在同一竖直平面内）照射流体中同一粒子，两束光与水平面的夹角均为（比较小）。两束光的散射光到达光电探测器的相位分别为和，散射光的电场矢量方向近似相同且振幅均为。光电探测器输出的电流强度正比于它接收到的光强，比例常量为k。假设光电探测器的频率响应范围为，求光电探测器的输出电流表达式。为简单起见，假设粒子速度处于照射在粒子上的两束入射光所在平面内。(3)设XOZ平面内两束相干平行光相对于X轴对称入射到达相交区域（见下图），求干涉条纹间距；粒子（其速度在XOZ平面内）经过明暗相间的干涉条纹区将散射出光脉冲，求光脉冲的频率。【答案】(1)，不能；(2)；(3)，
56【解析】【详解】(1)一束频率为f的光波被流体中运动粒子所散射。光在流体中的传播速度大小为c，粒子运动速度大小为。由于多普勒效应，粒子接收到的光频率为①式中为光波入射方向与散射粒子运动速度之间的夹角。同样由于多普勒效应，在散射方向上探测到来自粒子的散射光的频率为②其中为散射光波传播方向与散射粒子速度之间的夹角。散射光与入射光的频率之差为）③已知粒子的速度为，光的频率量级为1，④因此，分辨率为5MHz的光谱仪不能对以此速度运行的粒子进行探测。(2)到达探测器的两散射光1和2的电场为⑤⑤其中、Af'分别为散射光1和2与原光频率的频率之差。两散射光的合成光强为⑥
57式中，第一项是常量：中间三项的变化频率为光频及其和频，探测器的频率响应跟不上其时间变化，它们实际上表现为其时间平均值，也是常量；第五项的变化频率是光频的差频。因此，探测器输出的光电流为⑦这里是光束1和光束2的散射光频率差之差。由题意知，③式即为光束1的散射光频率差，类似的，对于光束2获得的频率差为⑧因此光束1和光束2的散射光频率差之差⑨其中，。因为光电流信号仅仅与散射光频率差之差相关，与没有关系，所以此方法对速度的测量与散射光的方向无光。(3)如图b所示，黑色粗线所包围的菱形为两对称射入相干平行光束相交区域，蓝色细线代表区域内的光线，对于位于z轴上的各点来说，因此在相交区域z轴上的各点干涉相长（比如O点与点），将呈现干涉相长明条纹。过O点做垂线OA垂直于AP，OB垂直于BP，因此两相干光到P点相对于O点的相位差为⑩其中d为P点到X轴的距离。类似的，对点做垂线垂直于，垂直于，因此两相干光到点的相位差为⑪因此，对于相交区域内上的各点干涉情况一致，由图中几何关系可知，平行，如果各点满足π的偶数倍，则干涉相长，⑫
58所以，第零级明条纹在相交区域内X轴上，其余明条纹将平行于X轴，呈等间距分布。形成亮条纹两个相邻明条纹之间相位差2π，有，⑬因此干涉条纹间距为⑭由于光强明暗相间的结果，每当粒子运动到明场时将散射出一个光脉冲，所以光脉冲的频率与粒子速度的竖直方向分量有关。粒子穿越相邻两条亮纹的时间为⑮于是光脉冲频率为⑯解法二：两束入射光的方向分别为⑩在位矢处，两束光的相位差为⑪所有相位差都为的场点满足的方程为⑫可见干涉条纹为一系列与X轴平行的直线。条纹间距d满足⑬⑭粒子穿越相邻两条亮纹的时间为⑮于是光脉冲频率为⑯评分标准：本题共40分，①②④⑤⑧⑨⑩⑪⑫⑯各2分，③⑥⑦⑭⑮式各4分。48．（2020·全国·高三竞赛）反粒子最早由狄拉克的理论所预言。1932年，安德森研究宇宙射线时发现了电子的反粒子——正电子。此后，人类又陆续发现了反质子等反粒子。用单粒子能量为6.8GeV的高能质子束轰击静止的质子靶，可产生反质子，其反应式为
59质子和反质子湮灭时可产生介子，因此在反质子束流中还伴随有大量介子。下图是探测反质子的实验装置原理图。反质子和介子流依次通过闪烁计数器、和，与相距，在和之间放置有切伦科夫计数器和。切伦科夫计数器通过探测切伦科夫辐射（带电粒子在介质中的运动速度超过介质中光速时所激发的电磁辐射）而确定带电粒子的运动速度。仅记录速度较快的π-介子，仅记录速度较慢的反质子。实验中的作用是检验前面的计数结果是否真实。(1)在上述反应中，假设末态质子和反质子速度相同，求反质子从运动到所需的时间。若介子与反质子动能相同，求介子从运动到所需的时间。(2)运动速率为的带电粒子通过折射率为n的介质，求所产生的切伦科夫辐射传播方向与带电粒子的运动方向的夹角。(3)微分式切伦科夫计数器可以记录速率在某一个区间的粒子数。下图是其关于轴线（图中虚线）旋转对称的原理剖面图。光收集系统包括半径为R的球面镜和半径可调的环状光阑。当切伦科夫辐射传播方向与带电粒子运动方向的夹角很小时，球面镜将带电粒子激发的切伦科夫辐射会聚在其焦平面上，形成半径为r的辐射光环。投射在计数器上。对于速率为v的带电粒子激发的辐射，求光环的半径。(4)反质子与质子相遇会发生湮灭反应。反应末态粒子的总动能与反应初态粒子的总动能之差即为反应能Q。为简单起见，假设质子和反质子的动能可忽略。末态三个介子的总动能是一个常量，可用Dalitz图表示总动能在三个介子之间的分配。如下图所示，Dalitz图是一个高为1的等边三角形，P点到三边的距离等于三个介子的动能占反应能的比率，即，表示第i个介子的动能，。以底边为X轴，底边中点为原点，底边上的中垂线为Y轴建立坐标系。求P点可能的分布范围边界的表达式，用反应能Q、介子质量和真空中的光速c表示。并讨论若时，P点的分布范围边界的表达式。
60已知：真空中的光速，质子质量，中性介子质量，带电介子质量。【答案】(1)，；(2)沿圆锥包络面的法线方向，；(3)【解析】【详解】(1)入射高能质子的动量为 ①产生的反质子的动量 ②或者 ① ②反质子的运动速度 ③反质子从运动到的时间。 ④π介子的能量 ⑤π介子的运动速度为 ⑥π介子从运动到的时间
61。 ⑦(2)粒子的速度为v，媒质中的光速为。若，粒子从1运动到2时，粒子在其运动的路径上的各点所激发的媒质中的电磁场形成一个圆锥形包络面，如下图所示。辐射方向沿圆锥包络面的法线方向，于是。 ⑧所以(3)球面镜的焦距。 ⑨焦平面上光环的半径 ⑩(4)由动量守恒，， ⑪能量守恒，。 ⑫以及。 ⑬或
62由动量守恒， ⑪能量守恒， ⑫以及 ⑬得，其中，，于是3个π介子的动量大小、、满足，、、可能的分布范围为： ⑭ ⑭ ⑭在坐标系中，，， ⑮把⑮式代入⑭式得。⑯若，则，于是 ⑰表示三条边的中点连接成的三角形区域。评分标准。本题共40分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑫每式2分，⑪⑬⑭⑮⑯⑰每式3分。49．（2021·全国·高三竞赛）如图，一薄凹透镜焦距为-20.00cm，一点光源P位于该透镜左边并在透镜主轴的正上方，P在该透镜主轴上的投影距透镜中心O点32.00cm，P离光轴距离为0.30cm。透镜的右边40.00cm处有一曲率半径为10.00cm的凹面镜，其反射面对着透镜并垂直于主轴放置。试在近轴近似条件下，求最终点光源P所成的像点P′相对于P点的位置，说明此像是实像还是虚像？
63【答案】像点P′在P点右方44.66cm，光轴下方0.0045cm处，所成像为虚像【解析】【分析】【详解】P点到主光轴的距离为h=0.30cm，P点经凹透镜成像在P2点，物距（即P点到主光轴的投影P1到O点的距离）s1=-32.00cm，像方焦距f1′=20.00cm，设像距为s1′，由成像公式有可得s1′=-12.31cm横向放大率P2点经凹面镜成像在P3点，物距s2=s1′-40.0cm=-52.31cm，曲率半径r=-10.00cm，物距设为s2′，由成像公式有可得s2′=-5.53cm横向放大率如图所示P3点经凹透镜成像在P′点，物距s3=s2′+40.00cm=34.47cm像方焦距f3′=20.00cm，像距设为s3′，由成像公式有
64可得s3′=12.66cm横向放大率P′点到主光轴的距离为即像点P′在P点右方44.66cm，光轴下方0.0045cm处，所成像为虚像。50．（2021·全国·高三竞赛）（1）一宽束平行光正入射到折射率为的平凸透镜左侧平面上，会聚于透镜主轴上的点，系统过主轴的截面如图所示。已知凸透镜顶点到点的距离为。试在极坐标系中求所示平凸透镜的凸面形状，并表示成直角坐标系中的标准形式。（2）在如图所示的光学系统中，共轴地插入一个折射率为的平凹透镜（平凹透镜的平面在凹面的右侧，顶点在点之间的光轴上，到的距离为，），使原来汇聚到点的光线经平凹透镜的凹面折射后平行向右射出。（i）在极坐标系中求所插入的平凹透镜的凹面形状，并表示成直角坐标系中的标准形式；（ii）已知通过平凸透镜后的汇聚光线与主轴的夹角的最大值为，求入射平行圆光束与出射平行圆光束的横截面半径之比。【答案】（1）；平凸透镜的凸面为旋转双曲面；（2）（i）；平凹透镜的凹面也是旋转双曲面；（ii）【解析】【分析】【详解】
65（1）一束平行光入射到平凸透镜左侧平面上，会聚于透镜主轴上的点。假设系统具有相对于主轴的旋转对称性，则只需在过主轴的平面上进行分析。如解题图1a，考虑任一条离轴的光线和，它们从等相位的起始点（平凸透镜左侧平面上的入射点）至点的光程相等，考虑到（点是点在上的垂足），有式中是透镜的折射率以焦点作为极坐标的原点，即①由①式得②在直角坐标系（以从点朝点的射线为轴，从点竖直向下的轴为轴）中有③④由①③④式得⑤这是直角坐标系中双曲线的标准形式平凸透镜的凸面为旋转双曲面。【解法（二）】将③④式代入②式，得平方，移项得
66与直角坐标系中双曲线的标准形式比较，可得到所以⑤平凸透镜的凸面为旋转双曲面；（2）（i）由于光线进入凹透镜后，其传播方向平行于主轴，因此可以将凹透镜的厚度加厚，如解题图1b所示，不影响对问题的分析。考虑任一条离轴的光线和，它们从等相位的起始点（平凸透镜左侧平面上的入射点）至相对于点的垂直平面的光程（等相位点）相等，考虑到（点是点在上的垂足），有即⑥由①⑥式得⑦这说明，在光线入射到平凹透镜虚焦点然后平行于主轴从平凹透镜的平面侧射出的情形下，从
67点反向（相对于光的传播方向）追溯到入射的界面（凹透镜表面），然后顺着光线传播方向平行于主轴向右传播至主轴的任一垂直面上的两条光线是等光程的。由⑦式得⑧它在直角坐标系中的形式为⑨平凹透镜的凹面也是旋转双曲面。【解法（二）】⑦式与①式结构相同，只是在相应的量上加撇，所以可直接得到式⑧⑨。平凹透镜的凹面也是旋转双曲面。（ii）入射平行光束与出射平行光束的横截面尺寸之比为⑩此即⑪于是⑫【解法（二）】由三角形的相似性⑩其中⑪所以⑫
