新高考高中物理竞赛专题3 电磁学 50题竞赛真题强化训练解析版.docx

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新高考高中物理竞赛专题3电磁学50题竞赛真题强化训练一、填空题1．（2019·全国·高三竞赛）如图所示是电台发出的无线电信号的接收电路图（P为耳机），图中少画了一个元件，请用惯用的符号把这个元件补画在电路图中___．图中电容器起着____________的作用，电容器起着__________的作用．【答案】        选台（或调频）的作用    通高频，阻低频，使音频信号通过耳机P【解析】【详解】接收电路有一个检波过程，而检波是通过二极管来完成的．补画的元件如图所示．电路中的作用是通过改变其大小，改变接收回路的固有频率，达到选台（或调频）的作用；而的作用是通高频，阻低频，使音频信号通过耳机P．2．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，在水平面内有一个光滑匀质圆环，圆环总电阻为R0，半径为r，质量为m，初速度v0向右，右半空间有均匀的稳定的垂直于面的磁场，大小为B。结果圆环进入磁场后恰好静止。整个过程中圆环中通过的电量大小Q0=________。如果保持圆环单位长度的质量和电阻大小不变，但是把半径变为原来两倍，为了使得圆环进入磁场后仍然恰好静止，则v0应当变为原来___________倍。 【答案】        2【解析】【详解】[1]电量可以通过考查电流得到[2]最终我们约去了时间，安培力作为阻力的冲量式中l为导线在磁场交界面所截的宽度，x为向内的位移，实际我们不用计算这个积分，能够通过观察看出Ir3动量我们知道质量和电阻都与r成正比关系则故而我们知道为了满足题设的运动条件，初速度也需要变成两倍3．（2019·全国·高三竞赛）如图（a）所示，在一个立方体的网格中，每边上有一个大小为1Ω的电阻，在ab和cd边上还有1V的电池，求ab两点的电压差=__________。调整一下连接方式如图(b)所示，把一个电池改加在ae上，求ab两点的电压差=___________。【答案】        【解析】【详解】[1]我们将电路变形为平面的电路，如图所示 其中中间五个的电阻为Ω，左右两边的为lΩ，分别计算两个电源在ba上产生的电流I1与I2，左边电源：A右边电源根据并联电路分流关系有A第一空可知V[2]在第二空中我们改换变形方式，并且根据对称性可知有两条棱上没有电流，我们将它们移除出电路此时ba上的电流A电压V4．（2019·全国·高三竞赛）两个点电荷电量分别为+q，质量均为m，间距为l，在静电作用下，绕着共同的质心以相同的角速度做匀速圆周运动。静电常量为K，不考虑相对论和电磁辐射，求绕质心运动的角速度_______。若l变为原来的两倍，仍然保持匀速圆周运动，则两个电荷在质心处产生的磁场大小变为原来的_______倍。【答案】        （或写0，和无法比较）【解析】【详解】 [1][2]库仑力提供向心力，列方程取正根为解磁场强度由毕奥萨伐尔定律推导可知结果，由于两个电荷各自产生磁场为原来，而总磁场为两者之和为0，因此变化前后总磁场为0，因此如果理解为总磁场则结果为0/0，无意义或写0[]5．（2020·全国·高三竞赛）如图，导电物质为电子的霍尔元件长方体样品置于磁场中，其上下表面均与磁场方向垂直，其中的1、2、3、4是霍尔元件上的四个接线端。若开关S1处于断开状态、开关S2处于闭合状态，电压表示数为0；当开关S1、S2闭合后，三个电表都有明显示数。已知由于温度非均匀性等因素引起的其它效应可忽略，则接线端2的电势___（填“低于”、“等于”或“高于”）接线端4的电势；若将电源、均反向接入电路，电压表的示数___（填“正负号改变，大小不变”、“正负号和大小都不变”或“正负号不变，大小改变”）。【答案】    低于    正负号和大小都不变【解析】【详解】[1][2]开关S1接通以后，产生的磁场方向由上到下，霍尔元件中的电流方向由1到2，因此电子的运动方向由2到1，则由左手定则可知电子向2方向偏转，因此2一面的电势低，当电源E1和E2反向，则磁场方向和电子移动方向均反向，因此电子的偏转方向不变，电压表的正负号不变，磁场的强度不变，电流的大小不变，电子的移动速度不变，因此可知电压表示数不变。二、解答题6．（2019·全国·高三竞赛）一电流秤如图所示，它的一臂下面建有一个矩形线圈，共有匝，这线圈的下部悬在磁感强度为的均匀外磁场内，下边长为的一段与垂直．当线圈的导线中通有电流时，调节砝码使两臂达到平衡；然后使电流反向，但大小仍为，这时需要在一臂上加质量为 的砝码，才能使两臂再达到平衡．试求磁感强度的大小，并计算当，，，时的值【答案】【解析】【详解】如图所示，线圈下边的水平部分所受的安培力方向向下，其大小为．电流反向后，安培力的大小仍为上式，但方向则向上．矩形线圈两边的竖直部分所受的安培力都在水平方向，而且大小相等，方向相反，对电流秤没有影响，于是按题意得，所以，．代入数值得．从知识点的要求与难度上讲，电流秤的原理及应用在常规教学领域都是应该熟练掌握的，属于安培力的基本应用题．当然，本题亦有一些变式，如引入线圈的质量等．7．（2019·全国·高三竞赛）如图甲所示，经电压加速的电子（加速前电子静止）从电子枪射出，其初速沿直线的方向．若要求电子能击中在方向飞、与枪口相距的靶，试求在以下两种情形，所需的匀强磁场的磁感应强度的大小：（1）磁场垂直于由直线和靶所确定的平面；（2）磁场平行于枪口向靶所引的直线【答案】（1）       （2），n=1，2，3，…【解析】【详解】 设电子从枪口射出的速度为，则，故，式中，分别为电子的质量、电量（绝对值）．（1）       如图乙所示，为了击中靶，电子圆轨道的半径与及应满足关系：．又，圆半径与磁场的关系为．由上两式，为了击中靶，的大小应为．把已知数据代入得：．（2）时，电子作等距螺旋线运动，如图丙所示，电子以沿做匀速直线运动，到达点所需时间为，同时，电子以在垂直于的平面内做匀速圆周运动，绕一整圈的时间即周期．为了能够击中点，要求，故要求为．把有关数据代入，得．本题中的问题（1）是粒子在平面内的运动，两问题（2）则是空间的螺旋运动．在阅读问题（2）的解答时，应知道图中的虚线实际上是一条空间螺旋线，而不是平面曲线．即使粒子是平面运动，其研究过程也无法避开空间问题，因为粒子的运动方向、受力方向、磁场的方向本身就是以空间形态呈现给我们的，如果粒子的运动轨迹再以空间形态出现，其难度可想而知．空间问题的处理能力，是参与物理竞赛的学生必须具备的能力，而且该能力在各种能力要求中处于特别突出的位置．8．（2019·全国·高三竞赛）近代的材料生产和微加工技术，可制造出一种使电子的运动限制在半导体的一个平面内（二维）的微结构器件，且可做到电子在器件中像子弹一样飞行，不受杂质原子散射的影响．这种特点可望有新的应用价值．图甲所示为四端十字形．二维电子气半导体，当电流从1端进入时，通过控制磁场的作用，可使电流从2，3或4端流出．对下面模拟结构的研究，有助于理解电流在上述四端十字形导体中的流动．在图乙中，、、、为四根半径都为 的圆柱体的横截面，彼此靠得很近，形成四个宽度极窄的狭缝1、2、3、4，在这些狭缝和四个圆柱所包围的空间（设为真空）存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面指向纸内．以表示磁感应强度的大小．一个质量为、电荷量为的带正电的粒子，在纸面内以速度沿与、都相切的方向由缝1射入磁场内，设粒子与圆柱表面只发生一次碰撞，碰撞是弹性的，碰撞时间极短，且碰撞不改变粒子的电荷量，也不受摩擦力作用．试求为何值时，该粒子能从缝2处且沿与、都相切的方向射出？【答案】【解析】【详解】在图中纸面内取坐标（如图丙所示），原点在狭缝1处，轴过缝1和缝3．粒子从缝1进入磁场，在洛仑兹力作用下做圆周运动，圆轨道在原点与轴相切，故其圆心必在轴上．若以表示此圆的半径，则圆方程为．根据题目要求和对称性可知，粒子在磁场中做圆周运动时应与的柱面相碰于缝3、4间的圆弧中点处，碰撞处的坐标为，，解得．由洛仑兹力和牛顿定律有，所以，．本题是第26届全国中学生物理竞赛预赛试题．带电粒子在磁场中的运动是常规教学中训练最多的题型之一．解答此类问题，要求答题者具备较强的几何认知能力，对带电粒子的各种圆轨迹的形态、边界、圆心位置的确定、半径的计算等，能做到熟练应对．遗憾的是，在常规教学中对轨迹的讨论几乎都局限在平面内进行，而在竞赛中往往又会出现空间特性，要求更高．9．（2019·全国·高三竞赛）如图所示为一两端无限延伸的电阻网络，设每小段电阻丝电阻均为，试问：、间等效电阻为多少？（结果保留三位有效数字） 【答案】【解析】【详解】将该网络压扁，如图1所示，除，，，间各边电阻为外，其余电阻为现在我们讨论的内部电阻我们将的内部电阻等效为图2所示电路，其中，为待定值，由于与全等，则有如图所示的等价关系，此等价关系即下标的1代表图3，2代表图4（1）的分析①，由对称性，去掉，，得②，由对称性，去掉，得， 从而，解得（2）的分析①．如图5所示，取回路，，，，得解得故②如图6所示，由回路，得 ，解得，故．于是有令，由⑨得             ⑩由⑩代入⑧化简有．则又，则，所以，，所以，于是如图7所示，同上步骤可得：，，，，．则10．（2019·全国·高三竞赛）两平行导线中电流方向相反时，它们便互相排斥，有一种磁悬浮列车便是利用这种排斥力使列车悬浮在车轨上运行的．设想两个相同的共轴圆线圈，半径都是，匝数都是，相距为，载有相反的电流，如图所示．假定一个线圈中的电流在另一线圈处产生的磁感强度的大小可近似当作．试估算在，时，要使排斥力为吨力，所需的安匝数 【答案】【解析】【详解】排斥力为，故所求的安匝数为匝．本题是有关安培力的基本计算题，本身难度不大，但本题也给我们提供了思考的空间，要使得磁悬浮达到实用，需足够大的安匝数，而要将这样大的安匝数的功率限制在实际可能的范围内，只有采用超导材料制成的线圈才行，于是，本题提供的基本模型便有了延伸的空间．11．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，在圆形区域中（足够大），有垂直于纸面向内随时间均匀增加的磁场．在与圆心距离为的位置处有一个钉子，钉住了一根长度为，质量为的均匀绝缘棒的中心，绝缘棒能在平面内自由无摩擦地自由转动．绝缘棒上半截均匀带正电，电量为，下半截均匀带负电，电量为．初始时刻绝缘棒垂直于（1）计算在点处钉子受到的压力（2）若绝缘棒受到微小扰动，在平面内来回转动起来（速度很小，洛仑兹力可以忽略），求证此运动是简谐振动，并计算周期．（绝缘棒绕质心的转动惯量为）【答案】（1）（2）【解析】【详解】 设由变化的磁场产生的涡旋电场大小为，则有，得到，方向垂直于与的连线．则杆上场强分量为，．（1）由于上下电量相反，方向的场强为定值，故钉子在方向不受力．在方向上，其所受电场力（考虑到上下对称）为．故钉子压力为．（由于电场和坐标成正比，因而也可以使用平均电场计算电场力）（2）设绝缘棒转过一微小角度，此时，方向的电场力会提供回转力矩．（由于力臂是一阶小量，横坐标变化引起的电场力改变也是一阶小量，忽略二阶以上小量，因而不必计算电场力改变量产生的力矩．由于电场几乎是均匀的，所以正电荷受力的合力力臂为），而，则．这是简谐方程，故绝缘棒的运动是简谐运动，其周期为．12．（2019·全国·高三竞赛）（1）一维电磁驻波在方向限制在和之间．在两个端点处驻波消失，求的可能值．（2）弦理论认为物理空间多于三维，多出的隐藏维空间像细圆柱的表面一样卷了起来，如图中坐标所示，设圆柱的半径为，在圆柱面上电磁波的形式为，其中是绕圆柱的折叠空间的坐标．求的可能值．（3）光子能量，其中，表示1电子伏特，等于．目前人类能产生的最高能量的光子大约为．如果该能量能够产生一个折叠空间的光子，的值满足什么条件？【答案】（1），，2，3，…（2），，2，3，…（3） 【解析】【详解】（1）要使得电磁波在两端形成驻波，则长度应是半波长的整数倍，相位满足：，即，，2，3，…．（2）要使得电磁波在方向上的形式稳定为，则圆柱的周长应为波长的整数倍，相位满足：，即，，2，3，…．（3）由得，所以，，即13．（2019·全国·高三竞赛）在图1所示的二极管电路中，从端输入图2所示波形的电压，若各电容器最初都没有充电，试画出、两点在三个周期内的电压变化．将三极管当作理想开关，点电压的极限是多少？【答案】【解析】【详解】将过程分为三个阶段，记为、、．在第一个周期内，增加，，因此二极管截止；又因，二极管保持导通，等效电路如图1所示，在此阶段，记为然后开始减小，但保持不变，最初仍然大于零，因此，依然截止．不过正在逐渐减小，所以截止．由于电容上的电荷无处可走，保持不变，也保持不变．这个阶段一直持续到 ，这一过程等效电路如图2所示，记为．不过，是不可能的，所以直至．这一过程等效电路如答图3所示，记为．下面又从开始增加，然后又保持在不变（再次处于阶段），而停留在，直到升至．当时阶段结束．而后新的阶段又开始了．每个周期均按的次序通过各个阶段，但是电路并不是随时间周期变化的，这可以从图4中看出．等比地趋近于，即是说，，，，…．这个电路称为电压倍增器14．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，一电容器由一圆形平行金属板构成，金属板的半径为，间距为，现有一点，在两金属板的中位面（即平行于两板，且平分两极板所夹区域的平面）上，到两中心的距离为R，已知极板所带的面电荷密度为，且，试求点的场强大小【答案】【解析】【详解】我们用磁场来类比，引入假想的磁荷、，且定义，且．下面我们通过磁偶极子与环电流找到联系：对于一的磁偶极子，磁矩，而对于一个电流为的线圈，磁矩，当时，有．对于此题，我们认为上、下两极板带磁荷面密度为，则对于面积中的上、下磁荷，我们看作磁偶极子，则若用环电流代替，有， 所以，．于是，该两带电磁荷板可等效为许多小电流元的叠加，而这样的电流源会在内部抵消，最后只剩下最外层一大圆，且．在点处的磁场强度，由于，故可认为由一距距离为的无限长通电导线所产生，且其中的电流为，则．由于电、磁场在引入磁荷后，在形式上完全一样，则15．（2019·全国·高三竞赛）在一环形铁芯上绕有匝外表绝缘的导线，导线两端接到电动势为的交流电源上，一电阻为、自感可略去不计的均匀细圆环套在这环形铁芯上，细圆环上、两点间的环长（劣弧）为细圆环长度的．将电阻为的交流电流计接在、两点，有两种接法，分别如图1、图2所示，试分别求这两种接法时通过的电流【答案】【解析】【详解】解法（1）：细圆环中的电动势为．细圆环上段的电阻为劣弧．优弧．如题图1中接上后，的电阻与并联，然后再与串联，这时总电阻便为．于是，总电流（通过优弧的电流）为．（请读者自行推导此式） 则通过的电流为．（请读者自行推导此式）解法（2）：如题图2中接上后，的电阻与并联，然后再与串联，这时总电阻便为．于是，总电流（通过劣弧的电流）为，则通过的电流为16．（2019·全国·高三竞赛）表面绝缘的细导线绕成一个半径为的平面圆盘，一头在盘中心，一头在盘边缘，沿半径每单位长度为匝，如图所示．当导线中载有电流时，将每匝电流都当作圆电流，试求圆盘轴线上离盘心为处点的磁感强度【答案】，方向沿轴线向右【解析】【详解】由毕奥-萨伐尔定律和对称性可知，半径为的圆电流在轴线上离圆心为处产生的磁感强度沿的右旋进方向，其大小为       ①所以，．             ②式中为电流的右旋进方向（即图中沿轴线向右）的单位矢量．图中沿半径长度上的匝数为，其电流为．由式②，，这电流在点产生的磁感强度为．                    ③ 积分便得所求的磁感强度为．17．（2019·全国·高三竞赛）一载有电流的导线弯成椭圆形，椭圆的方程为，，如图所示，试求在椭圆中心产生的磁感强度【答案】【解析】【详解】根据毕奥-萨伐尔定律，椭圆上的电流元在椭圆中心产生的磁感强度为，             ①式中是电流元到的矢量，有，             ②式中为垂直于纸面向外的单位矢量，由图乙可见．             ③将式②③代入式①便得．             ④为了积分，换成用极坐标表示，以椭圆中心为极点，轴为极轴，如图所示，便有 ，．                    ⑤代入椭圆方程得，                                 ⑥得出．             ⑦代入式④得所求的磁感强度为．       ⑧这个积分是一种椭圆积分，为了化成标准形式，作如下变换：．                                 ⑨所以，．       ⑩代入式⑧，并由是的以为周期的函数，便得，                    ⑪式中，是椭圆的离心率，．                                        ⑫式⑪中的积分叫作第二类全椭圆积分，其值为       ⑬于是得所求的磁感强度为．                                 ⑭本题从练习功能上讲，与上题有相似之处，特别是在积分技巧方面，肯定是需要中学生特别注意并加以训练的．既然竞赛不再回避积分运算，那么二次函数的积分一定是竞赛生需要掌握的内容，希望本章中的相关练习题对读者有所帮助． 18．（2019·全国·高三竞赛）电流沿双曲线流动，双曲线方程为，如图所示．试求在焦点产生的磁感强度．【答案】【解析】【详解】本题用平面极坐标求解较方便，以焦点为极点，轴为极轴，如图所示，将双曲线方程用平面极坐标表示为．                           ①式中和与题给的参数和的关系如下：，                    ②．             ③代入式①得．             ④由毕奥-萨伐尔定律，有．                    ⑤由图可知，焦点的磁感强度垂直于纸面向外，于是得，             ⑥式中是与（到焦点的矢量）之间的夹角，是垂直于纸面向外的单位矢量．由图可见．                    ⑦代入式⑥得 ．                    ⑧将式④代入式⑧得．       ⑨积分得       ．             ⑩本题与上题一样，也是有关二次函数的积分，其难度体现在积分计算的技巧上，供大家练习、巩固．19．（2019·全国·高三竞赛）导体杆水平挂在两根柔软导线上，放入磁感强度的竖直向下的磁场中（如图所示）．杆长，质量，导线长电容，电容器充电到电压，接到导线的固定点上．求：（1）当电容器放电后（可以认为在很短时间内放完电），系统离开平衡位置的最大偏角为多少？（2）如果当电容的电容器充电到相同电压再接入系统时，系统最大偏角，那么当接上另一个电容器并且也充电到相同电压再接入系统时，系统最大偏角，则该电容器的电容为多少？【答案】（1）   （2）【解析】【详解】（1）当电容器接通时电流开始通过杆，由此受到安培力作用：．电流随时间从最大值平稳地减小到零，所以安培力与时间有关．由于电容器放电时间很短，可以认为在时间内杆离开平衡位置位移小并且杆在水平方向获得动量．将时间分成大量元段，其间每一元段的安培力可以认为是恒定的，根据动量定理列出方程，及．式中为通过杆的电荷．到电容器放电完毕时，有， 所以，．根据机械能守恒定律，有．由此得．但是，及．（2）因为，，所以，．考虑到和均为小角，所以，，，结果得到．首先，本题解答过程中的是计算安培力的冲量的典型方法，其结论可作为推论进行应用，这一推论不论是在常规教学还是在竞赛中都有极为广泛的应用；其次，基于现阶段的知识掌握，题目设置了电容器“可以认为在很短的时间内放完电”这一条件，忽略放电结束时剩余电荷的存在，这实际上是基于学生没有学习电磁感应的一种近似．因为，当电容器放电结束时，由于金属杆在磁场中的运动，必然会产生感生电动势，亦即电容器两端还会有一定的电压，则电容器上的电荷也就不可能全部放完．20．（2019·全国·高三竞赛）台式或墙式电流计是一种很灵敏的电流计，它的矩形线圈由金属丝悬挂在圆柱形铁芯和永磁铁之间的狭缝里，这狭缝里的磁场线是辐射状的；金属丝上固定了一个小反光镜，镜前有照明光源和圆弧形标尺（圆弧的中心在线圈的转轴上），如图所示．当线圈内有电流通过时，线圈便受力而转动．已知线圈是由表面绝缘的细导线密绕而成的，长为，宽为，共有匝，金属丝的扭转系数为，磁感强度为，弧尺的半径为．（1）试求电流为时，磁场作用在线圈上的力矩和线圈的偏转角度．（2）当弧尺上的光点偏转为时，通过电流计的电流是多少？ 【答案】（1）       （2）【解析】【详解】（1）由于线圈所在处的磁场呈辐射状，故磁场作用在线圈上的安培力矩的大小为．当线圈偏转的角度为时，便有，所以，．（2）由图可见，弧尺上的光点偏转时，线圈的偏转角为，则有．磁电式电流表的内部结构中，指针偏转平衡是通电线圈产生的磁力矩与扭转弹簧（或金属丝）间构成的平衡，在这一平衡中，一方面磁力矩的大小与线圈中的电流成正比，另一方面是弹簧的扭转力矩与扭转的角度成正比，于是有，这也是磁电式电表刻度均匀的原因．本题中金属丝上的反光系统起到了放大扭转特性的作用，在很多微小的扭转装置中均有应用．21．（2019·全国·高三竞赛）距地面高处水平放置距离为的两条光滑金属导轨，跟导轨正交的水平方向的线路上依次有电动势为的电池，电容为的电容器及质量为的金属杆，如图所示，单刀双掷开关先接触头1，再扳过接触头2，由于空间有竖直向下的强度为的匀强磁场，金属杆水平向右飞出做平抛运动．测得其水平射程为，问：电容器最终的带电量是多少？【答案】【解析】【详解】 先由电池向电容器充电，充得电量，之后电容器通过金属杆放电，放电电流是变化电流，安培力也是变力，我们选取一个微元时间进行研究，根据动量定理有，即．对上式两边求和有，其中是电容器所放电量．又，，综合得，所以，．电容器最终带电量为．本题与第10题属同一类型的试题，都是电容器放电时，对放电电流产生的冲量效果的研究．根据动量定理来研究磁场力冲量产生的效果，实际上就是寻找电量和导体动量变化的关系．本题所给的模型，实际上就是电磁炮的雏形，有很大的拓展空间，读者可对电容器的放电情形及相关模型进行归类训练．22．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，设在讨论的空间范围内有磁感强度为、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面上有一长度为的光滑绝缘空心细管，在其端内有一质量为、电量为的小球，管的端外侧有另一不带电的小球．开始时相对管静止，管带着以垂直管方向的速度向右运动，则以的速度向反方向运动．如果从端离开后最终能与相碰，试求的值．设、、、、均已知，且管的质量远大于，并忽略重力的作用【答案】【解析】【详解】粒子在图中水平被空心细管带着向右匀速运动，则会产生一个竖直向上的洛仑兹力，其大小恒为，因此粒子在该方向上做匀加速运动，粒子的整体运动为一类平抛运动． 所以，，得，进而得，．粒子离开细管后，做匀速圆周运动，且．又由图有，所以，轨迹圆心在细管出发位置正上方．故有，其中，且．进而可得．带电粒子在电场与磁场中的运动类问题，其多以多过程的拼接为特点，粒子可以是在不同的磁场中运动，可以是在电场与磁场中交替运动，也可以是同一种粒子分别在两种场中运动，然后进行对比性研究，通过增加过程、增加信息量的方式来增加试题的难度．而解答此类试题的要点便是根据粒子的运动过程，逐步分析、研究并运用规律，一步一步解答问题．23．（2019·全国·高三竞赛）质量为、电量为的粒子以垂直轴方向的初速度，飞入磁感强度的非均匀磁场中（如图所示）．求粒子沿轴的最大位移． 【答案】【解析】【详解】磁场对粒子产生洛仑兹力作用．该力垂直速度，只改变速度方向．但是在非均匀磁场中速度将增加，这就引起轨道曲率半径减小，所以粒子轨道将不是圆弧．注意，洛仑兹力在轴分力改变粒子相应的分速度，有关系式．这分力与粒子分速度有关：．由此得到．上式两边同乘以时间增量，得到．由于，所以，．我们得到微分比例．当粒子在轴分速度减少到零时，粒子沿轴位移达到最大值．这时粒子在轴分速度达到零．对于这种情况，有且．由此得到所求的粒子位移：．当物体的受力大小与速率成正比时，我们在很多场合下都会提及动量定理的应用，其中自然会涉及这一关系式的应用，只是在洛仑兹力这一背景下，与是两个正交方向上的量．经验表明，很多答题者会沿用阻力与速度成正比的情形进行讨论，即将与用同一方向上的量进行计算，结果导致不必要的错误．24．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，在半径为的圆筒形真空管中有两个隔板，将管内分为三个区域，两隔板中央各有小孔和，两孔间距为．在左边的区域中有加速电场，在中间的区域Ⅱ中有沿管轴方向的匀强磁场，在右边的区域Ⅲ中既无电场也无磁场，区域Ⅰ中的阴极连续发射的电子经其中的电场加速后，使穿过小孔的电子形成发射束进入区域Ⅱ．设穿过小孔的这些电子的速度沿管轴方向的分量均为，设电子之间的相互作用可以忽略．当将区域Ⅱ中沿管轴方向的磁感应强度的大小调到某值时，从小孔进入区域Ⅱ的电子便能穿过小孔射出，把这些磁场的最小值记为．取从到的方向为正方向，区域Ⅱ中的磁场随时间变化的曲线如图乙所示，即从起沿正方向，每经时间反向一次，是的变化周期．从开始，电子束连续地从小孔进入区域Ⅱ，设凡遇管壁的电子均被管壁吸收． （1）为使从小孔进入区域Ⅱ的电子能穿过小孔到达区域Ⅲ，试求磁场变化周期的最小值．（2）若取磁场变化周期，试在图乙的时间轴上标明电子能经小孔到达区域Ⅲ的时间区间．（3）在进入区域Ⅲ的电子束中，电子运动方向与管轴之间夹角的最大值是多少？【答案】(1)(2)发射电子束能穿过到达区域Ⅲ的时间如图中时间t轴上的波纹线所示．图中(3)【解析】【详解】（1）由题设，经小孔进入区域Ⅱ的发散电子束速度沿管轴的分量均为，这些斜入射的电子在的作用下作等距螺旋运动，螺旋运动的周期，与速度无关，螺距为，式中是电子的质量，是电子电量绝对值．为使这些电子都能从小孔射出（不计被管壁吸收者），要求等于的整数倍，即，，故磁场的大小应为，．可见，磁场的最小值为，与此相对应，螺距刚好等于孔与孔的间距，即．现在，设随时间按图乙变化，周期为，如果这些电子在进入区域Ⅱ后运动的时间不足，即改变方向，则电子将偏离原螺旋线，不能到达，不能进入区域Ⅲ．因此，为使这些电子能够到达并进入区域Ⅲ，磁场方向变化的周期必须满足，故的最小值．（2）若，则从进入区域Ⅱ的斜入射电子中，在磁场方向沿正向的前一半时间内进入的那些电子可以穿过射出，但在磁场方向沿正向的后一半时间内进入的那些电子就无穿过射出了．换言之，能穿过射出的电子必须在区域Ⅱ中经历时间，而且在该时间内磁场的方向需保持不变．因此，发射电子束能穿过到达区域Ⅲ的时间如图丙中时间轴上的波纹线所示． 丙（3）设斜入射到区域Ⅱ中的电子速度在垂直管轴方向的分量为，则在洛仑兹力作用下，电子圆轨道运动的半径为，在这些电子中只有满足的那些电子能在管内运动时不与管壁相碰，从而能到达并进入区域Ⅲ，即要求．利用，可得．穿过进入区域Ⅲ后，这些电子做直线运动，其运动方向与管轴之间的夹角应满足，故最大夹角为．本题虽然将电子的运动分为三个区域，是典型的多过程的串接模型，但讨论的重点在区域Ⅱ，在这一区域中，既要讨论电子运动过点所需要的几何约束（包括沿方向上的与垂直于方向上的），同时要考虑运动的时间约束，计算的难度虽然不大，但涉及的信息量比较大，学生难免顾此失彼．能否对复杂的运动过程进行正确分析，是鉴别一个人能力高低非常有效的方式，加强状态与过程分析的训练，是竞赛学生必须训练的基本功之一．25．（2019·全国·高三竞赛）如图所示的磁流体发电机，两金属板间距为，板长无限，板宽为，质量为、带电量为、单位体积内个数为的粒子和质量为、带电量为、单位体积内个数为的粒子，均以速度、沿着与板面平行的方向射入两板间．两板间还有与粒子速度方向垂直的磁场，其磁感应强度满足．若以表示发电机两极板间的电压，试求此发电机的输出电流与的关系（不计重力）【答案】(1)当，即时，(2)当，即时，【解析】【详解】 由于两板间电压为，则两板间电场强度为．又设粒子进入两板间时的速度由和两分量合成，即．并令满足，则．这样，由对应产生的磁场力恰与电场力相抵消，而由对应产生的磁场力则使粒子在磁场中做圆周运动，其对应半径为．（l）当，即时，与极板距离小于的粒子可以打到极板而形成电流，单位时间内打到一块极板上的粒子数为．此时发电机的输出电流为．（2）当，即时，全部入射粒子均可击中极板，故此时发电机的输出电流为．本题借助磁流体发电机的模型，讨论带电粒子在电磁场中运动的极值与临界问题．在中学物理的常规教学中，我们讨论过许多与带电粒子在电磁场中运动的模型，如质谱仪、回旋加速器、速度选择器、霍尔元件、流量计、磁流体发电机、电磁泵等，不论什么样的模型装置，它们所涉及的问题都是围绕带电粒子在电场力、磁场力的作用下而运动展开的．只是在竞赛中，其运动过程显得更复杂、涉及的对象可能更多，讨论的问题也更加全面而已．26．（2019·全国·高三竞赛）如图所示为一种获得高能粒子的装置，环形区域内有垂直纸面向外的均匀磁场，质量为、带电量为的粒子在环中做半径为的圆周运动．、为两块中心开有小孔的极板，原来电势都是零，每当粒子飞经板时，板电势升高为，板电势仍保持为零，粒子在两极板电场中得到加速．每当粒子离开板时，板的电势又降为零，粒子被电场一次次加速后动能不断增大，而绕行半径不变（1）设时，粒子静止在板小孔处，在电场作用下加速，并绕行第一圈，求粒子绕行圈回到板时获得的总动能．（2）为了使粒子保持在半径为的圆轨道上运动，磁场必须周期性递增．求粒子绕行 圈时的磁感应强度．（3）求粒子绕行圈所需要的总时间（设极板间距离远小于）．（4）画出板电势与时间的关系图像，设从开始，画到粒子第四次离开板时间即可．（5）在粒子绕行的全程中，板的电势可否始终维持为?理由是什么？【答案】(1)，式中n为正整数(2)(3)(4)A板电势U与时间t的关系图像如图所示(5)如果绕行运动全程时间且板电势始终保持为U，则环形空间始终有从A极指向B极的电场，粒子在窄空隙被加速，在圆周运动中会被减速，加速与减速的效果一样，与运行路径无关，这是不应该的．【解析】【详解】（1）依题意可知，粒子每绕行一圈，经、间的电场加速一次，电场力做功,绕行圈则被加速次，电场力所做的总功为．依动能定理，粒子最终的总动能为，式中为正整数．（2）因为粒子运行的速度在不断地增大，为维持粒子运动的半径不变，则磁感应强度也应同步增大．由（1）可知：，则，因、、、均为定值，所以，是的单值函数，即．（3）粒子在磁场中旋转的周期，因变大，对应的周期变小，运行的总时间为． （4）通过前面的计算可知，，，可见，、板间的加速电压即电场存在时间应越来越短，没有电压（即圆周运动）的时间也应越来越短，其板电势与时间的关系图像如图乙所示．（5）如果绕行运动全程时间中板电势始终保持为，则环形空间始终有从板指向板的电场，粒子在窄空隙被加速，在圆周运动中会被减速，加速与减速的效果一样，与运行路径无关，这是不应该的．本题有关一种加速器装置，中学物理中涉及的加速器有很多种，讨论问题的方面也是在不断翻新，但涉及的规律并不会有什么大变化，更多的则是运动过程的变化、几何关系的变化、约束条件的变化，答题者需要做到的是以不变应万变，冷静分析运动过程，跟着过程走，找准过程中的连接纽带，化解各个问题．27．（2019·全国·高三竞赛）现构造如图1所示网络，该网络为无穷正方形网络，以为原点，的坐标为．现在两个这样的网络和，其单位长度上所配置的电学元件分别为电容为的电容器及电感为的线圈，且网络中的电阻均忽略不计，并连接成如图2所示的电路为调频信号发生器，可发出频率的电学正弦交流信号．即，为一已知定值，为一已知保护电阻试求干路电流达到最大时，的频率以及此时干路的峰值电流【答案】，【解析】【详解】不妨设电感网络等效电感，则其阻抗（为单位虚根） 又由于与的结构相同，故在阻抗上形式具有相似性，有，从而总阻抗又峰值，所以，所以，当，即时，最大此时，，而28．（2019·全国·高三竞赛）图1、2、3所示无限长直载流导线中，如果电流随时间变化，周围空间磁场也将随变化，从而激发起感应电场．在载流导线附近空间区域内，随的变化，乃至随的变化可近似处理为与随时间变化同步．距载流导线足够远的空间区域，、随的变化均会落后于随的变化．考虑到电磁场变化传播的速度即为光速，如果题图讨论的空间区域线度尽管很大，即模型化为图中可趋向无穷，但这一距离造成的、随的变化滞后于随变化的效应事实上仍可略去．在此前提下，求解下述问题（1）系统如图1、2所示，设①通过分析，判定图1的平面上处感应电场场强的三个分量、、中为零的分量②图2中长方形框架的回路方向已经设定，试求回路电动势③将图1中的、两处感应电场场强的大小分别记为、，试求值（2）由两条无限长反向电流导线构成的系统如图3所示，仍设，试求处感应电场场强的方向和大小【答案】（1）①②     ③（2）   ，基准方向取为与轴反向【解析】【详解】 （1）①若，则在过点且与坐标面平行的平面上，取一个以为半径，以轴为中央轴的圆，设定回路方向如题解图所示．由系统的轴对称性，回路各处感应电场的角向分量与图中方向一致地沿回路方向，且大小相同，由的回路积分所得的感应电动势．另一方面，电流的磁场在该回路所包围面上磁通量恒为零，磁通量变化也为零，据法拉第电磁感应定律应有．两者矛盾，故必定是．若，由系统的轴对称性，在题解图1的圆柱面上各处场强的方向分量方向、大小与图中方向、大小相同．若取一系列不同半径的同轴圆柱面，每个圆柱面上场强的方向分量方向相同、大小也相同，但大小应随增大而减小．这将使得题文图2中的矩形回路感生感应电动势，与法拉第电磁感应定律相符，因此允许若，由轴对称性，题解图1的圆柱面上各处场强E的径向分量方向与对应的径向方向一致，两者大小也相同．将题解图1中的圆柱面上、下封顶，成为一个圆筒形高斯面，上、下两个端面通量积分之和为零，侧面通量积分不为零，这与麦克斯韦假设所得矛盾，故必定是②据法拉第定律，参考题文图2，有，其中所以，③据麦克斯韦感应电场假设，结合（1.1）问解答，有结合①②问所得结果，有即得（2）从物理上考虑，远场应 代入上式，得为行文方便，将改述为为发散量，系因模型造成，并非真实如图所示，由左侧变化电流贡献的和右侧变化电流贡献的合成的，基准方向取为与轴反向．即有使得29．（2019·全国·高三竞赛）当温度从低到高变化时，通常物质会经历固体、液体和气体三种状态，当温度进一步升高，气体中的原子、分子将出现电离，形成电子、离子组成的体系，这种由大量带电粒子（有时还有中性粒子）组成的体系便是等离子体．等离子体在宏观上具有强烈保持电中性的趋势，如果由于某种原因引起局部的电荷分离，就会产生等离子体振荡现象．其原理如图，考虑原来宏观电中性的、厚度为的等离子体薄层，其中电子受到扰动整体向上移动一小段距离，这样在上、下表面就可分别形成厚度均为的负、正电薄层，从而在中间宏观电中性区域形成匀强电场，其方向已在图中示出．设电子电量为、质量为、数密度（即单位体积内的电子数目）为；并设如下各问中，电荷运动及电场变化所激发的磁场及磁相互作用均可忽略不计 （1）试求该匀强电场的大小．（可利用平行板电容器公式：，其中为真空介电常量，为电容器极板面积，为极板间距）（2）假定此后电子保持整体运动，且其运动对正离子的反冲及其与正离子之间的碰撞均可忽略不计．试说明这种整体运动为简谐振动，并求解振动角频率的表达式．（结果以参量、、、表述）（3）在上图原等离子体薄层所在区域及其周边施加方向交变外电场，其中、为已知常量．忽略正离子的运动，但考虑因电子与正离子的碰撞所带来的能量损耗，其效果可以等价为平均作用于每个电子上的线性速度阻尼力，其中为已知常量①仍假定此后电子保持整体运动，且其稳态振动振幅，试求该振幅；②将等离子体看作是一种电介质，即将交变电场作用下等离子体内部正、负电荷的相对移位看作是“极化”效应，试求解如上交变电场中等离子体薄层对应的复相对介电常量【答案】(1)   (2)   (3)①   ②【解析】【详解】（1）设等离子体上下底面积为，则下表面电荷宏观电量为’匀强电场场强大小为．（2）电子整体运动可由单个电子代表．处于题图中宏观电中性区域内的自由电子受力为其中也是该电子相对原平衡位置的位移，即该电子运动满足．因此，以该电子代表的整体运动为简谐振动，其角频率为．（3）①取交变外电场复表述则单电子稳态振动对应的复表述为，             ①其中为复振幅．单电子稳态振动复表述满足方程，其中为(2)问所求．上式可化为．将①式代入得， ，             ②，．②解法一：定义等离子体介质的极化强度矢量为单位体积内微观电偶极矩的求和，则由题文可知，当电子相对正离子整体移位时（为轴方向的单位向量），有．由（1）问中结果，得其产生附加电场为．对题文所述交变外电场作用下的极化机制，采用复表述并投影到轴方向，即得，．             ③由线性极化规律有其中为复电极化率．代入③式得，即．代入②式得．将代入，有，解得,故得复相对介电常量为，．解法二：由总电场复表述求解稳态振动复表述（仍设）方程，，，即，得，．30．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，轴右边存在磁感应强度为的匀强磁场，轴左边存在磁感应强度为的匀强磁场，它们的方同皆垂直纸面向里．在原点处，一个带正电的电荷量为、质量为的粒子，在时以大小为的初速度沿正轴方向运动，在粒子开始运动后，另一质量和电荷量都与相同的粒子，从原点以大小为的初速度沿负轴方向开始运动．要想使和 能在运动过程中相遇，试分析和计算它们出发的时间差的最小值，并求出与此对应的相遇地点的坐标．设整个磁场区域都处于真空中，且不考虑重力及、两粒子之间的相互作用力．【答案】；，【解析】【详解】带电荷量为、质量为、初速度为的粒子，当它在磁感应强度为的匀强磁场中运动时，如果其初速度的方向与磁场方向垂直，由洛仑兹力和牛顿定律可知，它将在磁场中做匀速圆周运动．令和分别表示其周期和轨道半径，则有．             ①由此求得       ，             ②．             ③把这些结论用到本题中，可知粒子开始在第一象限中运动（轴以右），有，                    ④．                    ⑤经半个周期（即）后，进入第二、三象限中（轴以左），周期和轨道半径变为，                           ⑥．                           ⑦以后就按此模式在平面内沿图乙中的虚线运动． 同理，粒子开始在第三象限（轴以左）中运动，有，             ⑧．             ⑨经半个周期（即）后，进入第四象限（轴以右）运动，周期和轨道半径变为，             ⑩．             ⑪以后就按此模式在平面内沿图中实线运动．由以上分析可知，只要在右边，不管是还是，周期皆为；只要在左边，周期皆为．由图乙可见，只有在两轨迹交叉或相切的那些点，才有相遇的可能性．为求得题中所说的时间差的最小值，下面我们先假设，如果、同时开始运动，分析经过哪个交叉或相切点时两者的时间差最短，则这个时间差就应当等于题中所说的要、在此交叉或相切点能相遇时，两者出发时间的时间差．为此，结合图乙分别考查、的运动，经过分析就可看出，在到之间的那个交叉点（图乙中的点）处，、通过它的时间差最短（在以前和以后的那些交叉或相切点，、通过时的时间差都较长）．为了定量地求出此时间差，取负轴上距原点为（即）处为新的原点，如图所示．取时间 为新的起始计时时刻，对用表示，对用表示．在轴以左、的周期相同，所以角速度亦相同，以表示、在轴以左的角速度，有．                    ⑫对，有，       ⑬．       ⑭对，有，       ⑮．       ⑯对点应有，．             ⑰由以上各式可解得所求的时间差应为．       ⑱这个结果说明，如、同时出发，则比晚时间通过点．换成题目的要求，就应当说，要、相遇，则的出发时间应比晚．由以上各式还可求得点的坐标为，             ⑲．                    ⑳换为坐标系，有 ，                                 ．             类似于本题中的粒子在轴方向的“漂移”运动，是研究带电粒子在电场或磁场中运动时经常讨论的问题之一．讨论这一问题必然会涉及带电粒子在运动过程中在时间与空间问题上的周期性讨论，有时候这类问题看上去只是几何关系的寻找，有点类似于行程与相遇问题而被我们轻视，但这一关系却往往会成为我们解答问题的瓶颈．处理这类问题，我们虽然有“跟着过程走”的口诀，但在具体的执行过程中，我们有时很难坚持做到．平时训练时，对这类试题一定不要觉得“简单”而厌烦其过程分析，避免在考试时出现在心理上回避此类问题的情况．31．（2019·全国·高三竞赛）如图1所示的电阻网络中，图中各段电阻的阻值均为（1）试求、（2）现将该网络接入电路中，如图2所示．间接电感，、间接一交流电源，其角频率为，现为提高系统的动率因数，在、间接一电容，试求使功率因数为1的电容，已知【答案】（1），（2）【解析】【详解】（1）将题图1所示的电阻网络的、两点接入电路时，可以发现、等势点，于是、、可去掉．所以，．将、接入电路时，将原电路进行等效变化，如图甲所示． ．（2）将题图1等效为图所示三端网络．由（1）知，，解得，．所以图所示虚线框内的等效阻抗为．电路的总复导纳为使功率因数为1，则复导纳虚部为0．所以，32．（2019·全国·高三竞赛）理想的非门可以视为一个受控电压源：当输入端电压小于时，输出端相当于和地线之间有一个理想电压源，电源电压；当输入端电压大于时，输出端相当于和地线之间短路．等效电路图如图1所示．不同非门中接地点可以视为是同一个点，我们利用非门、电容和电阻能够做成一个输出方波信号的多谐振荡器．给出图2电路中随着时间的变换关系． 提示：如图3的电路，从刚接通电路开始，电容上的电压随时间变化规律为【答案】见解析【解析】【详解】将多谐振荡器电路等效为图示电路，可见电流只在回路中流动．假设系统存在稳态，则电容电量为常数，因而电阻上电流为0，则输入电压等于输出电压，这显然矛盾，因而系统不存在稳态．不失一般性，电容初态电压为0，系统初态，因而，电路沿顺时针给电容充电（电阻上的电流从下向上为正，电容电量右边记为正）．从时起，图中的大小开始小于，门反转，将此后直到门再次反转的过程记为过程：此时，，由于电容上电量不突变，所以，．因而电路沿逆时针给电容反向充电，新充入电量为．，即．不断上升，到达时，时，门反转，此后进入过程Ⅱ．设过程Ⅰ历时，将与题目中的电路满足的类比，过程Ⅰ满足的，，则由电容上的电压随时间变化规律可得：． 对于过程Ⅱ，此时，，由于电容上电量不突变，所以，．因而电路沿顺时针给电容正向充电，新冲入电量为．，即．不断上升，到达时，，门再次反转，此后又进入过程Ⅰ．同理可得：．过程Ⅰ、Ⅱ循环进行．因此得方波的信号周期为．33．（2019·全国·高三竞赛）有一个平面正方形无限带电网络，每个格子边长均为，线电荷密度为，有一带电电量为、质量为的粒子恰好处于一个格子的中心，若给它某个方向的微扰，使其位移，．试求它受到电场力的大小，并描述它以后的运动．（提示：可能用到的公式）【答案】故对于一微扰位移为的粒子，有，粒子做简谐振动，【解析】【详解】引理：线电荷密度为的无限长带电线，其在距带电线处产生的场强大小为，方向垂直于带电线向外．证明略．对于本题所给的模型，建立图示坐标．因粒子在轴方向上的受力只与粒子方向上的微扰有关，在方向上的受力，也只与方向上的微扰有关，设粒子在方向上有微扰位移，则． 又由于，则．又，所以，．同理，．故对于一微扰位移为的粒子，有，故粒子做简谐振动，34．（2019·全国·高三竞赛）有七片完全相同的金属片，面积为，放置在真空中，除4和5两板间的间距为外，其他相邻两板间距均为，且1和5、3和7用导线相连，试求：（1）4与6两板构成的电极的电容（2）若在4和6间加上电压，求各板的受力．【答案】（1）（2），方向向上；，方向向下；，方向向上；，方向向上【解析】【详解】（1）由4与6两板构成的电极的电容结构可等效为图所示的电容网络，其中 图1，．由图可知，各电容器所带的电量满足，，．各支路的电压满足如下关系：，，．由上述各式解得，，，，，则．为求4、6端的电容，我们也可通过先求如图左所示的电阻网络的阻值，进而求得电容．将图中的形接法部分转化为△接法，得到图2右所示电路，其阻值如图所示，进而易得到．直流电路的电阻、电压、电流之间有．由电容组成的电路的电容、电压、电量之间有．类比有．且上述的电阻电路与电容电路匹配，所以，，即有．（2）由于各板的受力为系统中其他板上的电荷在该板处产生的电场对其板上电荷的作用力，故而通过高斯定理易求得各板处的场强，进而求得各板的受力为 ，方向向下，在原系统中．（求法：1板上侧面不带电，下侧面带电，正电，即，由电荷守恒知，板带电总量为，为负电，将视为整体，由高斯定理易得到）下面符号表示第块板所带的总电量．．（该板显然有），方向向下．式中，，，，．同理可得：，方向向上；，方向向下；，方向向上；，方向向上．35．（2019·全国·高三竞赛）在空间中几个点依次放置几个点电荷，，，，…，，对于点，其余个点电荷在这一点上的电势和为，若在这个点上换上另个点电荷，，，…，，同理定义（1）证明：（2）利用（1）中结论，证明真空中一对导体电容器的电容值与这两个导体的带电量无关．（这对导体带等量异号电荷）（3）利用（1）中的结论，求解如下问题：如图所示，正四面体各面均为导体，但又彼此绝缘．已知带电后四个面的静电势分别为、、和，求四面体中心点的电势 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】【详解】（1）设点对点所产生的电势为，同理易知点对点产生电势为，而对于此二点系统，我们有，即所以，，易知为只与位置有关的参量．又（令）则（只与位置有关）所以，所以原式（格林互易定理）成立（2）分别设两导体前后所带静电分别为，，其对应的电容分别为、则由（1）知，（其中，为带时两导体电势）同样（其中，为带时两导体电势）由（1）知二者相等，则所以，即与导体带电量多少无关．（3）由题意，设四个面与中心的电荷量分别为、、、、0同时，四个面与中心的电势分别为、、、、．现将外面四个面接地，中心放一个电量为的点电荷，中心电势为，而四个面产生的感应电荷都相等，为，则此时四个面与中心的电荷和电势分别为、、、、；0、0、0、0、 由格林互易定理可得即可得36．（2019·全国·高三竞赛）均匀超导细环的半径为，电感为，质量为，环中引入电流．环挂在没有弹性的细线上，放入磁感强度为的水平匀强磁场区域中，在稳定平衡位置，矢量与其在环面上分量之间角度等于．（1）求与环中初始电流之间关系，且作出图像（2）求环中稳定电流强度与电流强度初始值之间的关系，作出图像（3）对于情况，要将环从磁场中拉出来至少需要做多少功？【答案】（1）（2）（3）【解析】【详解】（1）（2）如果环位于磁感强度为的均匀磁场中，且环中电流（当时），那么唯一稳定的平衡位置是当时，且环中心处环自身磁场磁感强度矢量沿B指向．设，而环中电流这样流动，使环处于稳定平衡位置．超导环引起磁通量守恒，则．由此．据题意可知．因此当时，．当时，没有稳定位置，所以在这种情况下当时将有稳定平衡位置．设时，．根据磁通量守恒定理有，由此．图（a）和（b）分别表示和关系图像． （3）设没有外磁场时环中，而在磁场中环中电流．求将环从均匀磁场区域拉出做的功．图（c）表示当环拉出距离时的任一位置，磁场对环将有安培力作用，即，式中为环中电流．根据磁通量守恒定理，有，式中为图上划有斜线部分的面积．因此，，可得到．将环拉出磁场做功等于．考超重力场，有．有关超导现象的试题虽然在过去的竞赛中也曾遇到过，但一般都仅限于电阻特性、完全的抗磁性（超导体内部的磁感应强度）以及线圈的磁通量保持不变的应用，严格地说，这最后一点应立足于电磁感应进行解释．由于在新大纲中加入了对超导体的要求，相信今后对超导体性质的考查以及运用超导体背景的试题会越来越多，读者在学习过程中应注意这方面试题的收集与整理．37．（2019·全国·高三竞赛）如图所示，两平面、所成二面角，现有一匀强磁场，大小为，方向平行于平面，且与、的交线垂直，而在平面内有一如图的矩形电阻网络，其全部的竖边平行于、的交线，全部横边则与之垂直，且小矩形每边的长均为，电阻为，且有恒定的电流从流入，从流出，问：此网络所受安培力的力矩相对于点为多大？ 【答案】【解析】【详解】如图所示，我们将横边的电流设为，纵边的电流设为我们先考虑横边，由对称性知，，…，即又由于，故有故，我们可以将这些边都两两分组，那么，对于一组而言，其力矩由几何对称性，我们易得到所以，则总的力矩为即，其中另外，我们注意到：，所以，同理，我们分析纵边可得我们建立图示的坐标，有，，而， 总力矩为大小38．（2019·全国·高三竞赛）某电磁轨道炮的简化模型如图a所示，两圆柱形固定导轨相互平行，其对称轴所在平面与水平面的夹角为θ，两导轨的长均为L、半径均为b、每单位长度的电阻均为，两导轨之间的最近距离为d(d很小).一弹丸质量为m(m较小)的金属弹丸(可视为薄片)置于两导轨之间，弹丸直径为d、电阻为R，与导轨保持良好接触.两导轨下端横截面共面，下端(通过两根与相应导轨同轴的、较长的硬导线)与一电流为I的理想恒流源(恒流源内部的能量损耗可不计)相连，不考虑空气阻力和摩擦阻力，重力加速度大小图a.某电磁轨道炮的简化模型为g，真空磁导率为μ0.考虑一弹丸自导轨下端从静止开始被磁场加速直至射出的过程.(1)求弹丸在加速过程中所受到的磁场作用力；(2)求弹丸的出射速度；(3)求在弹丸加速过程中任意时刻、以及弹丸出射时刻理想恒流源两端的电压；(4)求在弹丸的整个加速过程中理想恒流源所做的功:(5)在θ=0°的条件下，若导轨和弹丸的电阻均可忽略，求弹丸出射时的动能与理想恒流源所做的功之比.【答案】（1）   方向平行于导轨轴线斜向上   （2）方向平行于导轨轴线斜向上   （3）（4），（5）50%【解析】【详解】(1)由于弹丸直径d很小，每根载流导轨均可视为半无限长载流直导线，弹丸上离某导轨轴线距离为r′处的磁场的磁感应强度大小为                            (1) 方向垂直于两导轨对称轴所在平面斜向下．弹丸长为的一段所受到的磁场作用力(安培力)为                    (2)方向平行于导轨轴线斜向上.弹丸所受到的安培力大小为                                      (3)方向平行于导轨轴线斜向上，(2)设弹丸的加速度大小为.由牛顿第二定律有                      (4)由(3)(4)式得，弹丸的加速度大小为                      (5)方向平行于导轨轴线斜向上.弹丸作匀加速直线运动，弹丸的出射速度满足                       (6)由(5)(6)式得               (7)方向平行于导轨轴线斜向上.(3)两导轨之间离某导轨轴线距离为r处(不一定是弹丸上一点)的磁场为                    (8)通过两导轨各自从下端开始长为l的一段以及弹丸长为dr的一-段组成平面回路的磁通量为                    (9)通过两导轨各自从下端开始长为l的一段以及弹丸组成平面回路的磁通量为             (10)根据法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势为                        (11)式中是弹丸沿导轨的运动速度.由全电路欧姆定律得                                (12)式中U为恒流源两端的电压．弹丸做匀加速直线运动，在通电后任意时刻t有                           (13)                         (14)由(11)(12)(13)(14)式得，在时刻t恒流源两端的电压为即       (14)由(7)(13)式得，弹丸的加速度时间为            (16)由(15)(16)式得，弹丸出射时电源两端的电压为                  (17)(4)在弹丸的整个加速过程中，恒流源所做的功为(18)下面依次计算(18)式右端的第一项、第二项，和第三项:                  (19) (5)弹丸出射时的动能为:             (20)在的条件下，弹丸出射时的动能为                           (21)若导轨和弹丸的电阻可忽略，恒流源所做的功为                      (22)弹丸出射时的动能与恒流源所做的功之比=50%                           (23)39．（2019·全国·高三竞赛）闪电是地球上最壮丽的自然现象之一，人们对闪电进行了大量研究，近年来还观测到闪电导致的瞬间发光和伽玛射线暴等新现象.闪电通常由雷电云(离地6-12km)放电产生，多数闪电发生在云内，少数到达地面，由于云内冰状颗粒相互碰撞，小颗粒冰晶带正电，随气流上浮到云上端；较大颗粒带负电，下坠到云底端(见图a).云中闪电中和了云内的正负电荷，而云地闪电则把负电荷释放到地面.(1)利用高空气球携带的电场测量仪测量高空中某圆柱形空域雷电云内的电场，其强度可视为均匀分布，大小为0.15MV/m.该圆柱区域的中轴线垂直于地面，半径为2.5km，高度为1.0km.求该区域上下两端的电势差、正电荷总量以及携带的总电能.已知真空介电常量=8.85×10-12F/m.(2)在起电过程中，雷电云上下两端电荷会随时间指数增加.当地表电场大于1.0kV/m时，就会发生云地闪电，因此地表电场很少超过10kV/m.假定1)中所述的雷电云从高空缓慢整体下移，直至其负电荷层离地高度为6.0km时暂时保持稳定，地面为良导体，试估算此雷电云正下方产生的地表电场强度. (3)云地闪电通常由带电云底端带负电的冰晶颗粒尖端放电触发，先形成一条指向地面的放电细路径(直径为厘米量级)，该细路径随时间向下延伸，并导致周围空气不断电离，逐渐形成以原细路径(横截面大小可视为不变)为轴的粗圆柱形带电体，最后接近地面形成云地闪电通道.该闪电通道垂直于地面，所带负电荷总量为2.5C(原细放电路径内所带电量相对很小)，闪电通道(中心放电细路径除外)内部电场强度大小相等.假设闪电通道的长度远大于其直径，闪电通道的直径远大于中心放电细路径的直径，且在闪电通道连通云地前的极短时间内，闪电通道内部的电荷分布可视为稳定分布.已知大气的电场击穿阈值为3.0MV/m，试估算该云地闪电通道的直径，并导出闪电通道(中心放电细路径除外)内的电荷密度径向分布的表达式(4)闪电通道连通云地后，云底和通道内部的负电荷迅速流向地面；闪电区域的温度骤然上升到数万摄氏度，导致其中的空气电离，形成等离子体，放出强光，同时通道会剧烈膨胀，产生雷声，闪电的放电电流经过约10μs时间即可达数万安培.在通道底部(接近地面)向四周辐射出频率约为30kHz的很强的无线电波.由于频率低于20MHz(此即所谓电离层截止频率)的电磁波不能进入电离层内部，该无线电波会加热电离层底部(离地约80km)的等离子体，闪电电流--旦超过某阈值将导致该电离层底部瞬间发光，形成一个以强无线电波波源(通道底部)正上方对应的电离层底部为中心的光环，最大直径可延伸到数百公里.试画出电离层底部光环产生与扩展的物理过程示意图，并计算光环半径为100km时光环扩张的径向速度.(5)球形闪电(球闪)的微波空泡模型认为球闪是一个球形等离子体微波空腔(空泡).当闪电微波较弱时，不足以形成微波空泡，会向太空辐射，穿透电离层，可被卫星观测到.实际上，卫星确实观测到了这种微波辐射.但卫星观测信号易受电离层色散的干扰，携带探测器的高空气球可到达雷电云上方观测，以避免此类干扰.为了在离地12km的高空观测闪电发出的微波信号，需要在该区域悬浮一个载荷(包括气球材料和探测器)为50kg的高空氦气球，求此气球在高空该区域悬浮时的体积.已知在离地12km的高度以下，大气温度随高度每升高1km下降5.0K，地面温度T0=290K，地面压强=1.01×105pa，空气摩尔质量M=29g/mol；气球内氦气密度(在离地高度12km处的值)=0.18kg/m3.重力加速度g=9.8m/s2，气体普适常量R=8.31J/(K·mol).【答案】（1）   （2）3.5kV/m   电场方向垂直于地面朝上   （3）（4）3.8×108m/s     （5）3.8×102m3【解析】【详解】(1)该圆柱形雷电云空域的电荷分布可近似认为是一个平行板电容器，其电容为                                          (1)式中，r=2.5km，d=1.0km.该区域上下两端的电势差为U=Ed=150MV                                      (2)式中E=0.15MV/m．所带正电荷总量为=26C                                             (3)携带的总电能为J                                   (4)(2)将地面考虑为平面导体.应用镜像电荷法，可得高度为h的点电荷Q产生的地面电场为                                  (5)雷电云正负电荷产生的总地表电场为=-3.5kV/m            (6)已利用(3)式和题给数据h=6.0km，d=1.0km，r=2.5km.结果为负，说明电场方向垂直于地面朝上.【另解】(较为精确的计算):考虑圆盘上一圆环形的电荷微元其中r′为圆盘半径，为圆盘面电荷密度.该电荷微元在圆盘中轴线(过圆盘中心且与圆盘垂直的轴线)上与盘相距x处产生的电势为整个带电圆盘在圆盘中轴线上与盘相距x处产生的电势为整个带电圆盘在圆盘中轴线上与盘相距x处产生的电场为雷电云负电荷圆盘在x=h产生的电场为，式中h为负电荷的高度.正电荷圆盘在x=h+d产生的电场为将地面考虑为平面导体.应用镜像电荷法，得到正负电荷产生的地面电场为                            (5)已利用了(3)式．代入题给数据h=6.0km，d=1.0km，r=2.5km，得=-2.8kV/m                              (6) 结果为负，说明电场方向垂直于地面朝上．(3)闪电通道的线电荷密度为                                          (7)式中Q=2.5C，h=6.0km.利用高斯定理得，圆柱电荷体系外的电场为                                   (8)式中r′为到圆柱中轴线的距离.闪电通道的表面(柱面)电场应为击穿电场，故其直径为=5.0m                           (9)式中E击穿=3.0MV/m.由题设，闪电通道的长度远大于其直径，闪电通道的直径远大于中心放电细路径的直径，闪电通道可视为无穷长的直圆柱体.在该直圆柱体上下两端面的电场通量(边缘效应)可忽略.在闪电通道内部，取与闪电通道同轴的圆柱形封闭面(包含中心放电细路径)，应用高斯定理得                                        (10)此即将上式两边对r求导得:        (11)于是，闪电通道内(中心放电细路径除外)电荷密度分布为          (12)(4)电离层底部光环产生与扩展的物理过程示意图如解题图a所示.图中，无线电波从闪电O点在t=0时刻以球面波形式辐射出来，波前在t=tA时刻到达电离层底面A处时开始加热该电离层底部的A处，这对应光环的出现时刻．由于频率低于电离层截止频率(30kHz<<20MHz)，无线电波不能进入电离层，无线电波的波前会掠过电离层底面.当波前在t=tB时刻到达B点时，对应的光环的半径就为. 假设在较短的时间Δt内，光环外径从B传播到C；对应的无线电波的波前从B点传播到了D点．由于无线电波的传播速度为c，故                    (13)其中c是光速.光环从B到C的移动速度为                                               (14)代入题给数据                                                    (15)由(14)(15)式得                    (16)代入题给数据=80km，=100km，得=1.28c=3.8×108m/s；               (17)【另一解】电离层底部光环产生与扩展的物理过程示意图如解题图a所示.图中，无线电波从闪电O点在t=0时刻以球面波形式辐射出来，波前在t=tA时刻到达电离层底面A处时开始加热该电离层电离层底面AB底部的A处，这对应光环的出现时刻．由于频率低于电离层截止频率(30kHz<<<20MHz)，无线电波不能进入电离层，无线电波的波前会掠过电离层底面．当波前在t=tB时刻到达B点时，对应的光环的半径就为.由于无线电波的传播速度为c，故 ，                            （13）式中t是光环从A扩展至B所用时间.由几何关系得                  (14)将(14)式两边对t微商得                           (15)由几何关系有由上式和(15)式得                      (16)代入题给数据=80km，=100km，得=1.28c=3.8×108m/s；        (17)                                                                                            (5)气球在高空悬浮的条件是               (18)式中m负载为气球及载荷的总质量，ρ1为高空的大气密度，V0是此气球在此高度悬浮时的体积.由(18)式得               (19)求出ρ1即可得气球体积.按题意，空气温度随高度的变化关系为                      (20)其中=5.0×10-3K/m.空气压强随高度的变化满足.                      (21)由理想气体状态方程可得空气密度                              (22) 式中m和V分别为空气质量和体积，M为空气摩尔质量，为空气密度，R为普适气体常量.将(22)式代入(21)式得               (23)由(23)式得                                           (24)两边积分得                            (25)于是                                   (26)相应的空气密度为                 (27)推导中用到了                                                    (28)由(27)式和题给数据得，离地高度z=12km处的空气密度为=0.31kg/cm3                  (29)将(29)式代入(19)式得=3.8×102m340．（2019·全国·高三竞赛）找到两块很大的金属平面，如图所示摆成角，角的顶点为O点，两块板之间接有电压大小为V0的电源，金属板和O点比较靠近，以至于在角内的电场线几乎为圆弧，A位于角内，，OA和下面的平面夹角为θ。(1)计算A的电场和电势大小；(2)有一个质量为m，电量为q的小电荷开始在很靠近下平面的某点静止释放，电荷很小以至于几乎不改变空间电场分布，经过时间t后电荷运动到了上平面上的B点。。求出点电荷到达B点的速度大小，以及此时速度方向和上平面之间的夹角（取锐角，由于径向运动比较复杂，此题中只考虑角动量定理和能量守恒，不考虑重力） 【答案】见解析所示【解析】【详解】由于题目中给出了电场线为圆弧的条件，于是我们知道电势是随角度均匀分布的于是场强不随角度变化，不难写出得根据能量守恒我们得出解出列出带电体绕O点转动的力矩与角动量关系所以当t时间之后，小电荷到达B点时，其角动量其垂直于板的速度分量则所求角度41．（2020·全国·高三竞赛）线性涡流制动是磁悬浮列车高速运行过程中进行制动的一种方式。某研究所制成如图所示的车和轨道模型来定量模拟磁悬浮列车的涡流制动过程。车厢下端有电磁铁系统固定在车厢上，能在长、宽的矩形区域内产生沿竖直方向的匀强磁场，磁感应强度可随车速的减小而自动增大（由车内速度传感器控制），但最大不超过，长大于、宽也为 的单匝矩形线圈间隔铺设在轨道正中央，其间隔也为，每个线圈的电阻为，导线粗细忽略不计。在某次实验中，模型车速度为时，启动电磁铁制动系统，车立即以加速度做匀减速直线运动；当磁感应强度增加到后，磁感应强度保持不变，直到模型车停止运动。已知模型车的总质量为，不计空气阻力，不考虑磁场边缘效应的影响，求：（1）电磁铁磁场的磁感应强度达到最大时，模型车的速度；（2）模型车的制动距离。【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）设电磁铁磁场的磁感应强度达到最大时，模型车的速度为，电磁铁的L1边切割磁力线产生的感应电动势和感应电流分别为①②电磁铁受到的安培力产生的加速度满足③由①②③式和题给数据得，模型车的速度为④（2）模型车由减速到过程中，做匀减速运动，由运动学公式有⑤在磁感应强度达到最大后，模型车速度为时，其所受到的安培力的大小为:⑥对模型车从速度为开始减速至停止运动的制动过程，应用动量定理得⑦由⑥⑦式得⑧由⑧式和题给数据得 ⑨模型车的制动距离为⑩42．（2020·全国·高三竞赛）劳伦斯（E.O.Lawrence）在1930年首次提出了回旋加速器的原理：用两个半圆形磁场，使带电粒子沿图弧形轨道旋转，反复通过两半圆缝隙间的高频电场加速而获得较高能量。他因这个极富创意的方案而获得了1939年的诺贝尔物理学奖。已知数据：质子质量mp=938.3MeV/c2，真空中的光速e=300×108m/s。(1)目前全球最大的回旋加速器是费米实验室中的高能质子同步加速器Tevaron（粒子运行最大回旋圆轨道的周长为Lmax=6436m）。可以将一质子加速到的最大能量为=1.00×106MeV。假设质子在被加速过程中始终在垂直于均匀磁场的平面内运动，不计电磁辐射引起的能量损失。求该同步加速器Tevatron将质子加速到上述最大能量所需要的磁感应强度的最小值Bmin。(2)高能入射质子轰击静止的质子（靶质子）。可产生反质子，反应式为。求能产生反质子时入射质子的最小动能，并判断第(1)间中的Tevaton加速的质子是否可以袭击静止的靶质子而产生反质子。【答案】【解析】略43．（2021·全国·高三竞赛）如图，长度为L、质量为m的均匀金属杆两端靠在垂直于水平面的直角绝缘导轨上，导轨的两臂分别沿水平与竖直方向。初始时刻金属杆静止，与竖直导轨成30°角。不计一切摩擦。（1）试求当杆下滑到与竖直导轨成60°角时杆的质心的速度；（2）假设存在垂直于导轨所在平面（纸面）向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，求当杆下滑到与竖直导轨成60°角时杆两端的感应电动势。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】 【详解】（1）由能量守恒得式中I为杆绕其质心的转动惯量vC为杆的质心C的速度，ω为杆的转动角速度联立以上各式，解得（2）整个杆在恒磁场的横截面内运动，且可视为整个杆以其质心C的速度vC平动与以角速度ω绕其质心C的转动，后者对感应电动势的贡献相互抵消。因此仅考虑杆的平动即可。取直角绝缘导轨的交点为原点，水平与竖直方向的导轨分别为x轴和y轴。杆的质心的坐标为式中θ为杆在时刻t与竖直导轨所成的角度。于是有即杆的质心C的速度方向由下式确定即杆的质心C的速度方向斜向下，且与水平方向夹角为θ，对于本题有θ=60°。于是杆两端的感应电动势为电动势的方向从杆的上端指向下端（即下端为正极）。44．（2020·全国·高三竞赛）将电传输信号调制到光信号的过程称为电光调制。电光调制器的主要工作原理是电光效应：以铌酸锂电光晶体为例，其折射率在电场作用下发生变化，从而改变输入光束的光程，使电信号信息转移到光信号上。 电光调制器光路图如上图所示，P1、P2分别为起偏器和检偏器，两者结构相同但偏振方向相互垂直（图中P（‖x1）、P（‖x2）表示P1、P2的偏振方向分别x1与x2为坐标。轴平行），长度为l、厚度为d的电光晶体置于P1、P2之间，晶体两端面之间加有电压V（以产生沿x3方向的电场，强度大小为E）；真空中波长为的光波经过起偏器P（‖x1）后沿x3方向入射至电光晶体，折射后分为两束偏振方向（分别与快轴x′1和慢轴x′2平行）相互垂直的光波，写轴x′1与x1轴、x′2轴与x2轴均成45°夹角；电光晶体内沿x′1、x′2方向的折射率分别为，其中n0为o光的折射率，为常量，由晶体本身性质决定：两束光从电光晶体出射后经波片，最终由检偏器P（‖x2）获取。(1)一束圆频率为的光入射到电光晶体左端面，电场强度为。求光通过电光晶体后的相位变化和光强变化：当出射光束之间的相位差为π时，电光晶体起到一个“波片”的作用，此时所用的外加电压称为半波电压，求。(2)设外加电信号电压为，是调制信号频率。若光波不经过波片而直接进入检偏器P2，求出射光束的光强透过率（出射光与入射光强度之比》与电信号电压的关系。只有在电光调制器的透过率与调制电压具有良好的线性关系时，电信号转移到光信号后信号才不失真。求光线经过波片和检偏器B时，出射的光束光强透过率与电信号电压的关系，并指出波片所起的作用。(3)电光调制器的等效电路如下图左半部所示：电光晶体置于两平行板电极间，两平行板间的电光晶体可等效为由电阻R和电容C的电阻-电容并联外电路：v为外加信号电压，Rm为调制电源和导线的电阻，通常满足R>>Rm。试证明：在图中开关断开的情形下，当，实际加载至电光晶体上的电压的满足，即调制效率极低。 (4)为了提高调制效率，添加（即将图中开关合上）如图右半部所示的并联谐振回路（图中，RL为负载电阻，L为线圈的电感），试证明。【答案】【解析】略45．（2020·全国·高三竞赛）负微分电阻效应是指某些电路或电子元件（如隧道二极管）在特定的电压范围内其电流随端电压增加而减少的特性，该效应可在电路中维持高频振荡并输出放大的交流信号。在图所示的简化电路中，D为一隧道二极管，其左侧由一定值电阻R、一电感L和一电容C串联组成，回路交流电流记为i（t）；其右侧由一理想的高频扼流圈RFC（直流电阻为零，完全阻断交流信号）和一理想恒压直流电源V0组成，回路直流电流记为I（1>>|（t）|），已标示电流正方向。D始终处在特定电压范围内，这时其电阻值为-R0（R|>0，且为一定值）。(1)已知t=0时，i（0)=0，i（0)=β≠0（表示a对t微商）；交流电流随时间的变化满足，（、、、为待定常量）试确定常量、、、，以确定任意时刻t的交流电流（t）；(2)试说明在什么条件下左侧回路中会发生谐振？并求在发生谐振的情形下左侧回路中电流iB（t）和谐振频率fH；(3)试说明在什么条件下左侧回路中会发生RLC阻尼振荡？并求此时左侧回路中电流为iD（t）和振荡频率fD；(4)已知该隧道二极管D正常工作（即能保持其具有负微分电阻效应）的范围为Vmin≤VD≤Vmax，（Vmin、Vmax为已知常量）试求该隧道二极管上交流部分可能达到的最大平均功率、以及此时理想恒压直流电源的输出电压V0。【答案】(1)，，；(2)；(3)【解析】【详解】(1)左侧回路电势之和为零，有① 题给的的一般形式是②由初始条件有③由③式知，④将②式代入①式得得两边对t微商得不失普遍性，可设（因为可视为但的极限情形）。上式对任意的时刻t都等于零；因而，各指数项的系数均应为零，即⑤解得⑥另一种选择、，导致同样的结果。由③⑥式得，⑦由②⑥⑦式得⑧ (2)要在左侧回路中产生谐振（即电流i（t）持续等幅振荡），须使电路的能量不随时间耗损，同时电流随时间期性变化。因而有⑨注意，⑨式第一式直接导致⑨式第二式。所以，⑨式第一式是此电路发生谐振的条件。由⑧式和⑨式第一式得⑩请振频率为⑪(3)要在左侧回路中产生RLC阻尼振荡（即电流i（t）振幅随时间t衰减），须使电路的能量不断随时间耗损，同时电流随时间周期性变化。因而有⑫⑬由②国式得⑭这是电路发生阻尼振荡的条件。由⑧⒁式得振荡频率(4)若要使得隧道二极管上交流部分的平均最大，同时以要确保隧道二极管始终工作在负电阻区域，则须使隧道二极道上的直流偏置电压处在工作电压范围的中间位置此时的交流部分电压可达到最大振幅考虑到右侧回路中电压源为理想恒压电源，且理想的高频扼流圈RFC的直流电阻为0，由回路电势之和为0可知 此时，隧道二极管交流部分的最大平均功率为46．（2020·全国·高三竞赛）在恒星之间的广阔宇宙空间中存在星际介质。在宇宙射线的作用下，星际介质中的分子失去部分电子成为正离子，电子则游离在外，成为等离子态。脉冲星是高速旋转、具有超强磁场的中子星，地球上所观测到其发出的电磁辐射是脉冲信号。脉冲星信号可用于星际导航和高精度计时，为此需要获得脉冲信号到达地球的精确时间，研究其电磁辐射的相位变化与色散。一脉冲星到地球的距离为d，星际介质中的电子平均数密度为（数量级为）；假设介质中存在匀强静磁场B（数量级为），其方向平行于电磁波的传播方向。已知电子质量为，电荷为，真空介电常量为，真空中光速为c。(1)取该脉冲星到地球的电磁辐射方向为z轴正向，对于频率为f的电磁波，其电场为，，式中和k分别为电磁波的振幅和波数。为简单起见，设为常量、且电磁波本身的磁场对电子的作用可忽略，求电子运动的回旋半径。(2)脉冲星信号在星际介质中传播时会发生色散，其传播速度大小（群速度的大小）依赖于电磁波频率相对于波数的变化率：。求能通过介质到达地球的脉冲星信号电磁波的最低频率。(3)假设在脉冲星信号的传播路径上，星际介质中的电子平均数密度保持不变，问脉冲星信号中频率为f的电磁波到达地球的时间比其在真空中传播的时间延迟了多少？(4)观测发现，从脉冲星同时出发的频率为f的电磁波到达地球时出现了相位差，求该相位差（可取近似：，）。(5)如果在传播途中长度为a的区间内电子数密度出现涨落，求脉冲星信号中频率为f的电磁波通过该区间后由电子数密度涨落引起的相位移动。【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)【解析】【详解】(1)星际介质处于等离子态，由于正离子质量远大于负离于（电子）的质量，因此在电场的作用下电子运动，而离子可视为不动。星际介质的离子数密度很小，离子间的碰撞可忽略。 电子的运动是低速的，电磁波的磁场对电子的作用也可忽略。设电子的运动速度为v，则电子受到的洛伦兹力为                    ①由于E与电磁波传播方向垂直，B与传播方向平行，与传播方向垂直，故F与传播方向垂直，从而使电子在垂直于信号传播方向的平面中作圆周运动。由牛顿第二定律有                    ②式中，                    ③对应于电子两个不同的旋转方向。由②③式得             ④解法（二）电子在洛伦兹力作用下的运动方程为             ①式中为该点电磁波的电场这里，而是在垂直于电磁波传播方向的平面（作为复平面）上电场的辐角。在上述复平面上                    ②式中，可理解为该电子回转的角速度。由②式和与B正交可知       ③由①②③式有此即                    ④(2)星际介质中单位体积内的电子数为，所以介质的极化强度为                    ⑤ 电位移矢量为             ⑥从而得到介质的介电常数             ⑦折射率n为             ⑧式中，分别是等离子体的特征频率、电子在磁场中的同步回旋频率。由波矢、频率和折射率的关系和⑦式得，群速度为             ⑨在介质中群速度为零的电磁波是不能在该介质中传播的，                    ⑩舍去方程的负根，得到能通过星际介质的最低电磁波频率为       ⑪当时，这正是把称为等离子体特征频率的原因。(3)频率为f的电磁波信号通过该介质达到地球的时间比其在真空中传播的时间延迟量为                    ⑫ 将⑨式代入⑪式，并注意到，，有             ⑬式中，，(4)由波数与折射率关系及方程⑦（在，的近似下），             ⑭在区间d中两种不同信号的相位差为⑮利用近似，，得到达地球时的相位变化为⑯(5)当电子密度出现涨落时，就会引起折射率的变化，由⑦式得             ⑰ 由波矢、频率和折射率的关系得到波矢的变化             ⑱于是，某频率脉冲星信号通过电子密度出现涨落区间产生的相位移动为             ⑲评分标准：本题共40分，其中①③⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯⑰⑱⑲式各2分，②④式各3分。47．（2020·全国·高三竞赛）当电场中两个导体球靠近时，导体球之间的电场将明显增强。本题试探讨这一现象。已知真空介电常量为。(1)设一个半径为的孤立导体球的球心与一个静止点电荷Q相距为，求镜像电荷的电量及其位置。(2)设导体球置于大小为的匀强外电场中，该外加电场可看作是由两个相距很远的等量异号点电荷在其连线中点处产生的。试证导体球的感应电荷的作用等效于两个镜像电荷形成的电偶极子，并求该电偶极子的偶极矩与外场之间的关系。(3)设导体球外两等量异号点电荷的间距为，它们形成的电偶极子沿径向放置在半径为的导体球附近，偶极子中心与导体球中心相距，求该偶极子在导体球中镜像电偶极矩的大小。(4)在大小为的匀强外电场中，沿外电场方向放置两个半径为的导体球，两球心相距。求导体球外过两球心的平面内任一点处的电势分布和在两球心连线方向的场强分布（可用递推式表示），取两球心连线中点为坐标原点，连线方向为X轴。(5)试证：在不考虑击穿放电的情形下，当上述两导体缓慢无限靠近时，两球连心线中点的电场会因静电感应而趋于无限大。【答案】(1)，距球心；(2)见解析，；(3)；(4)，；(5)见解析【解析】【详解】(1)如图所示，由于静电平衡时导体为等势体，球表面内感应电荷均匀分布，其镜像电荷位于球心位置。球外感应电荷对应的镜像电荷为。 由静电平衡条件，该镜像电荷必定处于球心和Q的连线上。容易得出，镜像电荷的大小及距球心O的距离b分别为，                    ①(2)设有等量异号点电荷，与金属球（导体球）球心O的距离均为a，由产生的两个像电荷为，由球面电像公式可得，像电荷大小及距球心O的距离b分别为，当时，，因此一对像电荷，可视为一位于球心O的电偶极子，其偶极矩p的大小为                    ②匀强外电场可视为等量异号点电荷在其连线中点处产生的电场，大小为                    ③由此可得                    ④(3)已知q和间距为，由②式知，的像电荷的大小和位置分别为，             ⑤，             ⑥ 由于，有                    ⑦像电荷组成一对电偶极子，其偶极矩为：             ⑧像电荷构成的电偶极子的方向与导体球外的电偶极子的方向相同。(4)如图所示，当空间电场方向有两个相同导体球时，由外电场作用，会在两球心位置处产生一对电偶极子                    ⑨这一对像偶极子又会产生次级偶极子，接着产生，，…，如此无穷反射下去。由⑧式知，各对像电偶极子的偶极矩以及该偶极子所在位置到两球心的距离依次为，，             ⑩，，             ⑪，，             ⑫，，；             ⑬位于、电偶极距为p的电偶极子的电势为取两球连线的中点为坐标原点，x轴水平向右，坐标原点为电势零点， 则在球外空间任一点处的电势为⑭当时，两球心连线上的电势分布为                    ⑮两球心连线上（球外）的场强分布为⑯式中，像电荷构成的电偶极子的方向与导体球外的电偶极子的方向相同。(5)设，并保持两球相互绝缘。由⑩⑪⑫式可知，，             ⑰，，       ⑱，，；             ⑲由⑯式有评分标准：本题共40分，其中①式5分，②③④⑤⑥⑦⑧⑩⑪⑫⑮⑯⑰式各2分，⑬⑭式各3分，⑱⑲⑳式各1分。48．（2021·全国·高三竞赛）一简化电动汽车模型如图所示，半径为、质量均为的前轮（两个前轮视为一个物体）和后轮（两个后轮视为一个物体）分别视为均质圆柱刚体；刚体车身质量为，质心位于前后轮轴正中。忽略空气阻力；忽略车轮转动过程中转轴受到的摩擦力矩。（1）很多电动汽车的发动机是永磁直流电机。在简化模型中，电机动子线圈始终在匀强恒定磁场中运动并垂直切割磁力线，切割磁力线的线圈导线总长度为，转动轨迹的半径为，线圈总电阻为，线圈自感可忽略。为线圈提供电流的电池的开路电压为，内阻为。若电机运动部分之间摩擦可忽略，求电机的输出力矩与电机转速之间的关系，最大输出力矩 ，输出力矩为零时的最大转速，以及最大输出功率。为方便此后的计算，将中涉及的常量用、和表示。（2）考虑水平地面上汽车从时刻的静止状态开始加速的过程，已知在车轮与地面之间不发生滑动的情形下，车身质心在时刻的加速度大小满足式中，是此时车身上的电机向后轮提供的顺时针的力矩。电机和车轮通过变速器连接，假定变速器的机械效率为100%，电机转速与车轮转速之比（变速比）为。求车速与时间之间的关系。（3）利用型汽车的参数数值，以及电机的最大输出功率，根据（2）的结果，计算车速从零增加到所需的时间。计算这个加速过程消耗的电池能量（以为单位），以及电池能量转化为机械能的效率。本问可利用的数据和结果：型电动汽车的参数，，，电机最大输出力矩，电机转速与车轮转速之比（变速比），车轮质量相对于车身质量可忽略。任一半径为、质量为的均质圆柱相对于中心轴的转动惯量为。数值结果保留两位有效数字。【答案】（1）；；；；（2）；（3）；（或17%）【解析】【分析】【详解】（1）设通过线圈电流为，则线圈所受磁场的力矩为     ①当线圈转速为时，感应电动势为   ②线圈电流为     ③式中由①②③式得，电机输出力矩与电机转速之间的关系为    ④可见，电机输出力矩与电机转速成线性关系。电机输出功率满足   ⑤它当时达到最大值   ⑥由②③式知，感应电动势随线圈转速增大而增大，直至完全抵消供电池的开路电压为止。这时线圈转速最大   ⑦由④式知，当时电机输出力矩达到最大值⑧由④⑥⑦⑧式知，电机输出力矩可表为   ⑨（2）当汽车行驶速度为时，车轮转速为电机转速为：     ⑩电机输出力矩为⑪由于变速器的机械效率为100%，车轮与地面之间不发生滑动，没有传递功率损失，传递到车轮的力矩为⑫由题给信息和⑫式得     ⑬初值为 解为   ⑭式中     ⑮为汽车在平地上行驶时最高车速，而     ⑯为汽车在平地上行驶时最大加速度；（3）对型汽车有于是型汽车从静止加速到所需时间为根据（1）中的结果，电池提供的瞬时功率为加速过程消耗的电池能量为   ⑰由于机械部分没有摩擦损耗，加速过程所增加的机械能为   ⑱电池能量转化为机械能的效率为   ⑲代入型汽车参数值得 于是（或17%）   ⑳49．（2021·全国·高三竞赛）如图，在真空中两个同轴放置的无限长均匀带电的薄壁圆筒，圆筒的半径分别为和；在平行于筒轴方向上，单位长度内、外圆筒的质量均为，单位长度内、外圆筒分别带有、的电荷。两个圆筒均可以各自绕其中心轴自由旋转。已知真空的介电常量（电容率）和磁导率分别为和。（1）计算在距离轴处的电场强度；（2）当内外圆筒以相同的角速度同向旋转时，求空间中的磁感应强度分布。（3）若在内圆筒处，从静止释放一个质量为，电荷量为（与同号）的点电荷，试分析当满足什么条件时，此点电荷能够在电磁场的作用下到达外圆筒处。（4）若初始时内、外圆筒均静止，现对外圆筒施加一力矩使其开始旋转，当外圆筒的角速度达到时，试计算（i）内圆筒转动的角速度；（ii）在从初始时直至外圆筒的角速度达到的整个过程中，沿轴向单位长度的外圆筒所受到的外力矩（不包括两圆筒感应电磁场作用力的力矩）的总冲量矩；（iii）沿轴向单位长度的内、外圆筒的总的机械角动量。【答案】（1）；（2）；（3）；（4）（i）；（ii）；（iii）【解析】 【分析】【详解】（1）由对称性及高斯定理可知静电场方向沿径向，且大小仅与有关，故即（2）由对称性及磁场的环路定理可知，磁场的方向沿轴向，且大小仅与有关。内圆筒在旋转时等效的电流密度（轴向单位长度的电流）为内、外圆筒的电流大小相同，方向相反。应用安培环路定理有（3）点电荷在运动过程中受到由①③式所得电场和磁场共同作用，设其在运动过程中径向运动速度为。点电荷运动的角动量随时间的变化满足其中为点电荷绕筒轴运动的角动量，为所受磁感应强度大小。由④式积分得式中为积分常数，利用初始条件：点电荷从释放时静止，即可得由动能定理可得积分得，当粒子位于半径处时动能为注意，粒子动能也可表示为 若粒子能到达处，则当时应有，此条件即联立可得（4）（i）利用（2）中结论，内筒在以角速度旋转时，在其内部产生的磁感应强度为外筒在以角速度旋转时，在其内部产生的磁感应强度为由法拉第电磁感应定律得，和变化时在处产生的沿切向的感应电场为对内筒的转动有联立解得对上式两边积分，并利用初态时内、外筒均静止的条件，得（ii）由法拉第电磁感应定律得，和变化时在处产生的沿切向的感应电场为单位长度的外筒受到的感应电场的力矩为   这里应用了两边对积分并利用由与的关系可得，感应电场的力矩的冲量矩为沿轴向单位长度的外圆筒的角动量为 设外力（不包括两圆筒感应电磁场的作用力）对外圆筒的冲量矩为，由角动量定理有故（iii）沿轴向单位长度的内、外圆筒总的角动量为50．（2021·全国·高三竞赛）一枚不的永磁针可视为一个半径很小的电流环，其磁矩的大小为（为固有不变的环电流强度，，为电流环的半径），方向与电流环所在的平面垂直，且与电流方向成右手螺旋关系，如图所示。两枚小磁针和的磁矩大小保持不变均为，质量均为。取竖直向下的方向为轴正方向建立坐标系。将固定在坐标系的原点上，其磁矩方向沿轴正方向；将置于的正下方。已知真空的磁导率为，重力加速度大小为。（1）假设的磁矩方向与轴成角，其质心坐标为，求之间的相互作用势能；（2）假设不变，求可以处于稳定平衡时与轴所成的角（所谓稳定平衡是指：在小扰动下，的磁矩指向若偏离了，则仍有回到原来指向的趋势）；（3）现假设可以变化，但的磁矩与轴所成的角，求的受力平衡位置，并说明此平衡位置是否为稳定平衡位置（所谓不稳定平衡是指：在小的扰动下，在重力的作用下掉落，或者被吸附过去）。【答案】（1）；（2）；（3），该位置是不稳定的。【解析】【分析】【详解】（1）计算（中心为）在轴上坐标为处（记为点）的磁场。如图 的电流环（位于平面）上处的电流元为：这里，为电流元与轴正方向的夹角，轴垂直于纸面向外。电流元到点的矢径为：由此知根据毕奥-萨伐尔定律有：由题给条件，电流环的半径很小，故有：所以积分得可见，在处的磁场的磁感应强度沿轴负方向。取的磁矩与磁场垂直时为势能零点，与之间的相互作用势能为（2）考虑重力后，系统的势能为它只与有关。由于不变，受到磁场的外力矩大小为： 方向朝着减小的方向。可见，只有或时，外力矩才为零，此即力矩平衡条件当，由可在对应的平衡状态是不稳定的。因此，在不变的条件下，处于稳定平衡的条件为【解法（二）】受到磁场的外力矩的大小为可见，只有或时，外力矩才为零，此即力矩平衡条件当，由可知对应的平衡状态是不稳定的。因此，在不变的条件下，处于稳定平衡的条件为【解法（三）】由可知最低，因此，在不变的条件下，处于稳定平衡的条件为（3）时在竖直方向受到的外力为相当于指向轴正方向。由求得平衡位置满足进而由可知，该位置是不稳定的。