排队论—随机服务系统

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1、第四章随机服务系统（M/M/n系统）§4-1M/M/1排队系统§4-2M/M/C排队系统§4-3一般服务时间模型§4-4一般服务时间损失制模型制作与教学河北工业大学管理学院孔造杰kongzj@sina.comExit2003年10月10日9时49分§4.1M/M/1排队系统∑系统设定：顾客到达和服务时间随机；单队；FIFO∑一、M/M/1/∞/∞/FIFOλ=ρp1¾顾客平均到达数λ；平均服务数μ；且µλ=λµ=µ，i=0,1,2,L¾令:ii∞¾且注意到：i1∑ρ=，ρp1i=01−ρ¾带入第三章系统稳态概率公式得到系统的状态概率表达式为：P=1−ρ;0nP=

2、(1−ρ)ρn¾排队系统的运行参数如下：¾1.队长（即在系统中的平均顾客数）∞∞∞λnn−1ρL=L=E(n)=∑nP=∑n(1−ρ)ρ=(1−ρ)ρ∑nρ=ssnµ−λ0011−ρ河北工业大学管理学院孔造杰制作Page2of282003年10月10日9时49分§4.1M/M/1排队系统——标准型系统中至少有一个顾客的概率（或系统不为空的概率），即系统为忙期的概率∞∑Pn=1−P0=1−1+ρ=ρ12.排队长（即排队顾客数）∞∞∞2ρλLq=∑(n−1)Pn=∑nPn−∑Pn=Ls−ρ==ρ=ρLs1=111−ρµ−λ3.逗留时间（在系统中耗费时间）1LsW=E

3、(W)==（推导略，参见P.325角注）sµ−λλ4.等待时间（即排队等候的时间）1ρLqW=W−==ρW=qssµµ−λλ这是因为W−W=1/µ（每名顾客被服务时间的平均值）。sq河北工业大学管理学院孔造杰制作Page3of282003年10月10日9时49分§4.1M/M/1排队系统——标准型概述四个指标之间的关系为：Ls=λWsLq=λWqWs=Wq+1/µLs=Lq+λ/µ除此之外，我们还可以求得：∞∞nk+1①系统内顾客多于k的概率：P(n>k)=∑Pn=∑(1−ρ)ρ=ρn=k+1n=k+1−(µ−λ)t②在系统中逗留时间大于的概率：P(Ts>t)=

4、e−µ(1−ρ)t③排队等待时间T≤t的概率：W(t)=P{T≤t}=1−ρeqqq④逗留时间T≤t的概率W(t)=P{T≤t}=1−e−(µ−λ)tsss例：汽车平均以每5分钟一辆的到达率去某加油站加油，并且到达过程构成泊松流。汽车加油时间服从负指数分布，且平均需要4分钟。若此加油站只有一台加油设备，试求1.加油站里的平均汽车数；2.每辆汽车平均等待加油的时间为多少？3.汽车等待加油时间超过2分钟的概率为多少？河北工业大学管理学院孔造杰制作Page4of282003年10月10日9时49分§4.1M/M/1排队系统——有限队长解：本题为M/M/1系统。若取单位

5、时间为5分钟，则：λ=1,µ=1.25,ρ=0.8λ11.平均汽车数：L===4（辆）sµ−λ1.25−12.每辆汽车的平均等待时间：ρ0.8W===3.2（单位时间）=16（分钟）qµ−λ1.25−13.汽车等待加油时间超过2分钟的概率：2−(µ−λ)ρe5=0.72P｛等待时间＞2/5｝=1－｛等待时间≤2/5｝=二、有限队长模型M/M/1/N/∞系统容量限制为N，则排队顾客最多为N－1个，如果顾客数超过N个，则被拒绝进入系统。根据系统状态转移λλλλλλ图：012⋯⋯n-1nn+1⋯⋯N-2N-1Nμμμμμμ河北工业大学管理学院孔造杰制作Page5of2

6、82003年10月10日9时49分§4.1M/M/1排队系统——有限队长µP1=λP0N求稳态方程µP+λP=(λ+µ)P,n≤N−1的解(注：∑Pn=1）n+1n−1n0µP=λPNN−11−ρP=0N+11−ρ1−ρnρ≠1，n≤NP=ρnN+11−ρ1λ=µ时，P=P=0nN+1由此也得到系统的运行指标如下：（推导略，见卢向华等著《运筹学》p.317）NN+1LLρ(N−1)ρW=s=sLs=∑iP=−N+1si=01−ρ1−ρµ(1−P0)λeN1Lq=∑(i−1)Pi=Ls−(1−P0)Wq=Ws−µi=1河北工业大学管理学院孔造杰制作Pag

7、e6of282003年10月10日9时49分§4.1M/M/1排队系统——有限顾客源注意到λ是平均到达率，而P是顾客被拒绝的概率，N(1－PN)是顾客被接纳的概率。故λ(1−PN)是到达系统并被接纳的概率，称之为有效到达率。记为λ=λ(1−P)=µ(1−P)eN0三．顾客源有限M/M/1/m/m顾客数为m，平均每个人的到达率为λ（注：此处λ与前述λ含义不同），系统外的平均数为m−Ls，有效到达率：λe=λ(m−Ls)典型的例子就是企业中设备故障修理问题，其状态转移图为：mλ(m－1)λ(m-n+1)λ(m－n)λ2λλ012⋯⋯n-1nn+1⋯⋯m-2m-1mμ

8、μμμμμ河北工业大学管