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1、随机过程与排队论计算机科学与工程学院顾小丰Email：guxf@uestc.edu.cn15七月20212021/7/15计算机科学与工程学院顾小丰39－2上一讲内容回顾随机变量及其分布程随机变量、分布函数离散型随机变量及其分布律连续型随机变量及其概率密度常见的随机变量及其分布n维随机变量随机变量函数的分布2021/7/15计算机科学与工程学院顾小丰39－3本讲主要内容随机变量的数字特征数学期望方差k阶矩协方差条件数学期望随机变量的特征函数2021/7/15计算机科学与工程学院顾小丰39－4§1.3随机变量的数字特征一、数学期望若离散型R.V.X的分布律为
2、pk＝P{X=Xk}，k=1,2,…，当时，称为R.V.X的数学期望(均值)若连续型R.V.X的概率密度函数为f(x),x(-∞,+∞)，当时，称为R.V.X的数学期望(均值)2021/7/15计算机科学与工程学院顾小丰39－5定理设Y＝g(X)，g(x)是连续函数若X是离散型R.V.，分布律为pk＝P{X=Xk}，k=1,2,…，当时，则有若X是连续型R.V.，概率密度函数为f(x)，x(-∞,+∞)，当时，则有2021/7/15计算机科学与工程学院顾小丰39－6定理设Z＝g(X,Y)，g(x,y)是连续函数当(X,Y)是离散型R.V.,联合分布律为
3、pij=P{X=Xi,Y=Yj}，i,j=1,2,…，若则有若(X,Y)是连续型R.V.，概率密度函数为f(x,y)，x（-∞,+∞)，当时，则有2021/7/15计算机科学与工程学院顾小丰39－7二、方差设X是随机变量，若E[X-E(X)]2存在，称D(X)＝E[X-E(X)]2为R.V.X的方差(或记为Var(X))，称为R.V.X的均方差或标准差。事实上有：D(X)＝E[X-E(X)]2＝E(X2－2X·E(X)＋E2(X))＝E(X2)-E2(X)2021/7/15计算机科学与工程学院顾小丰39－8常见随机变量的数学期望和方差<0-1>分布：E(
4、X)＝p，D(X)＝pq；二项分布X～B(n,p)：E(X)＝np，D(X)＝npq；泊松分布X～()：E(X)＝D(X)＝；均匀分布X～U(a,b)：E(X)＝(a+b)/2，D(X)＝(b-a)2/12；(负)指数分布：E(X)＝1/，D(X)＝1/2；正态分布X～N(,2)：E(X)＝，D(X)＝2；-分布X～(,)：E(X)＝/，D(X)＝/2；2-分布X～2(n)：E(X)＝n，D(X)＝2n；爱尔朗分布X～Ek：E(X)＝k/，D(X)＝k/2。2021/7/15计算机科学与工程学院顾小丰39－9例泊松
5、分布X～()：泰勒展开式：2021/7/15计算机科学与工程学院顾小丰39－10例(负)指数分布：E(X)＝1/，D(X)＝1/2；2021/7/15计算机科学与工程学院顾小丰39－11三、k阶矩设R.V.X有E(Xk)<+，E[X-E(X)k]<+，则称k＝E(Xk)为X的k阶原点矩；称k＝E(Xk)为X的k阶绝对矩；称k＝E[X-E(X)]k为X的k阶中心矩；称k＝E[X-E(X)k]为X的k阶绝对中心矩。2021/7/15计算机科学与工程学院顾小丰39－12四、协方差若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}，称cov(X,Y)＝E
6、{[X-E(X)][Y-E(Y)]}＝E(XY)-E(X)E(Y)为随机变量X和Y的协方差，称为随机变量X和Y的相关系数，称XY＝0为随机变量X和Y不相关。2021/7/15计算机科学与工程学院顾小丰39－13协方差矩阵设n维R.V.(X1,X2,…Xn)，若cij＝cov(Xi,Xj)＝E{[Xi-E(Xi)][Xj-E(Xj)]}i,j＝1,2,…,n存在，则称为n维随机变量(X1,X2,…Xn)的协方差矩阵。2021/7/15计算机科学与工程学院顾小丰39－14协方差矩阵协方差矩阵中元素满足：cii＝D(Xi)，i=1,2,…,n；cij＝cji，
7、i,j=1,2,…,n。故协方差矩阵是对称矩阵。特别地，二维随机变量(X,Y)的协方差矩阵为：2021/7/15计算机科学与工程学院顾小丰39－15五、随机变量数字特征的性质E(aX+b)＝aE(X)+b，D(aX+b)＝a2D(X)，a,b为任意常数；对任意常数ak，k=1,2,…,n，有XY≤1许瓦兹不等式成立：协方差的性质：(1)cov(X,Y)＝cov(Y,X)(2)cov(X1+X2,Y)＝cov(X1,Y)+cov(X2,Y)(3)cov(aX+bY,cX+dY)=acD(X)+bdD(Y)+(ad+bc)cov(X,Y)2021/7/15计
8、算机科学与工程学院顾小丰39－16随机变量数字特征的性质方差的计算
