排队论之简单排队系统

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1、5.2.4无限源的简单排队系统所谓无限源的简单排队系统是指顾客的来源是无限的，输入过稈是简单流，服务时间是负指数分布的排队系统。本节我们讨论一些典型的简单排队系统。I.M/M/1/oo排队系统M/M/1/oo排队系统是单服务台等待制排队模型，可描述为：假设顾客以Poisson过程（具有速率2）到达单服务员服务台，即相继到达时间间隔为独立的指数型随机变量，具有均值1/2,若服务员空闲，则直接接受服务，否则，顾客排队等待，服务完毕则该顾客离开系统，下一个排队中的顾客（若有）接受服务。相继服务时间假定是独立

2、的指数型随机变量，具有均值"。两个M指的是相继到达的间隔时间和服务时间服从负指数分布，1指的是系统中只有一个服务台，oo指的是容量为无穷大，而且到达过程与服务过程是彼此独立的。为分析之，我们首先确定极限概率几，〃=0,1,2,・・・，为此，假定有无穷多房问，标号为0,1,2,...,并假设我们指导某人进入房间斤（当有”个顾客在系统中），则其状态转移框图如图5.8所示。图5.8M/M/1/oo排队系统状态转移速率框图由此，我们有状态0/?,n>1离开速率=进入速率解方程组，容易得到(QyPi=-Po,丿

3、,=0丄2,…再根据得到:几=(刍(1-2),让1“A令p=M卩,则p称为系统的交通强度(trafficintensity)o值得注意的是这里要求pvl,因为若p>l,则几=0,且系统中的人数随着时间的推移逐渐增多直至无穷，因此对大多数单服务排队系统，我们都假定/?

4、—==—2—,n

5、，”<1b=1一个忙期中所服

6、务的平均顾客数为,p＜=＜-p（5-57）X,p＞1不难看出，在忙期内相继输出的间隔时间是独立、同参数A（＞0）的随机变量，即为参数“的Poisson流。但是，当系统空闲后，从开始空闲时刻起，到下一个顾客服务完毕离去吋之I'可的I'可隔吋I'可显然不与服务吋I'可同分布。下面简要推导一下M/M/1/oo排队系统的输出过程特征。令盯表示第〃个顾客服务完毕的离去时刻，则7；二-盯表示离去的间隔时间，n＞l,于是，对r＞0,P{T：+i-T；＞t}=P{N；=Q}^P{T：+l-T：＞tN；=0}^P

7、[N：＞l}P{T^-T：＞tN：＞l}=P{N：=0}-P{tn+^Sn+l＞t}+P{N：ni}其'11fll+i表示剩余到达间隔时间，与S”+

8、（服务时间间隔）独立，而N；表示第斤个离去顾客服务完毕离开系统时的队长。由于*fl-Z?,/7＜1,limP{N；=0}=q"宀”[0,p＞l,而P{盒+]+S”4＞『}=斗严（根据两独立随机变量和的分布计算公jLl—AjLl—A式计算），所以P{T：+l-T：＞t]=（l-p）斗严]+p严（5-58）此式表示在统计平衡下，相继输出的间隔时间服从参数

9、A（＞0）的负指数分布。例5.5某通信团电话维修站，有1个维修技师，每天工作10小时。待维修电话的到來服从Poisson分布，每天平均有90部电话到来，维修时间服从指数分布，平均速率为“=10部/小吋。试求排队等待维修的平均电话数；等待维修电话的多于2部的概率；如杲使等待维修的电话数平均为2部，维修速率应提高多少？解：这是一个M/M/1/oo模型J已知2=9,“=10,则p=-=0.9A2①Lo—=8」l-p②1_(几+戸+必)二1_—)£_(1_心2二0・729®2=Lo=^---=—--解得：“=

10、12.29口一九“〃一9“所以，接待速率应提高：“一10=2.29。例5.6假设顾客以Poisson速率为每12分钟1人到达，服务时间是指数型的且服务速率是每8分钟服务1个人，厶和W分别是多少？解：因为2=—(人/分)，//=-(人/分)，我们得到：128L=2,W=24因此，系统屮顾客的平均个数为2,顾客在系统中平均花费的时间是24分钟。现假设到达速率提高20%到2二丄，重新计算厶和W得到10£=4,W=40因此，到达速率20%的增加导致系统中平均顾客