2022年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（四）

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2022年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（四）一、单选题1.(2021渭南市瑞泉中学高三月考）设函数f(x)=log1(x2+1)+—一－，则不等式f(log2x)+f(log_!_入归2的3x"+1解集为（)A.(0,2]B.［扣］C.[2,+oo)D.（吟］U(2,+co)【答案】B【分析】由题意得到函数f(x)为R的偶陌数，且在[0,+oo)k为单调递减酌数，令t=log2x,化简不等式为f(t)习，结合函数的单调性和奇偶性，得的－l三t三l，即－1::;log卢::;1'即可求解【详解】8由题总，函数f(x))==loIg1(x"+1)+2的定义域为R,3x"+188且f(-x)=log.!.[(-x)2+I]+~=log.!.(x2+l)+=f(x),3(—x)2+l2矿＋1所以函数f(x)为R的偶函数，且在[0,＋OO）卜为单调递减函数，令t=log2x,可得log上x=—t'2则不等式八log2x)+/(log.!..x)~2可化为f(t)+f(-t)~2,2即2f(t）之2,即f(t)之1,8又因为/(l)=log-'-2+~=1,且f(x)在[0,+oo)上单调递减，在R为偶涵数，~3+1所以－区区1,即－1~log2x~l,解得－~x~2,所以不等式的解块为［一，2).故选：B.2.(2021辽宁沈阳高三月考）若函数f(x)=2x'-3矿在区间(-1,1)有最小值，则实数b的取值范围为()A.(－三］B.(-oo,—¼]C.（女，—1]D.(－三］【答案】D

1【分析】求导函数，分别讨论b>O,b~-1,一I0时，可得函数f(x)的增区间为(-«>,0),(b,+oo),减区1间为(O,b)，若函数f(x)在区间(-1,1)有最小值，必有{b

2根据条件：A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素1、当集合A只有一个元索时，集合B中有5个元素，压A且5任B，此时仅有一种结果A={5},B={l,2,3,4,6};2、当渠合A有曲个元素时，集合B中有4个元素，2茫A目4茫B,此时集合A中必有一个兀系为4,集合B中必有一个元素为2,故有如下可能结果：(I)A={l,4},B={2,3,5,6};(2)A={3,4},B={l,2,5,6};(3)A={5,4},B={l,2,3,6};(4)A={6,4},B=(1,2,3,5)，共计4种可能3、可以推测集合A中不可能有3个元素；4、当桨合A中的4个元素时，渠合B中的2个元素，此情况与2悄况相同，只需A、B互换即可．共计4种可能．5、当渠合A中的5个元素时，集合B中的1个元素，此情况与1悄况相同，只需A、B互换即可．共1种可能综上所述，有序块合对(A,B)的个数为10.答案选A.【点睛】本题主寝考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．4.(2021北京门头沟大峪中学高三月考）若函数f(x)=jlog(，斗－Tx(a>0且a-:1:-I)的两个零点是m、n,则（）A.mn=lB.mn>lC.O

3r"'=Ilog"ml由零点的定义可得｛r"=IIoganl'山丁指数函数y＝了在R上单调递减，则2-m>2-n'即llog0mj>llog。对若a>l，则－log0m>log0n,即log0m+logan=log0mn<0=loga1,山于对数函数y=IogaX在（O,长叶上为增函数，所以，Of(a+l)C.f(b-2)I,O

4·:f(x)在定义域内具有奇偶性，：．酌数f(x)的定义域关于原点对称，:.b=O，则f(x)=log0I习为偶函数，.·.f(b-2)=f(-2)=f(2)=log,,2,若a>l,则y=JogaX递增，且2a+l,:.Ioga2

5解：从某一个顶点（比如A)落在x轴上的时候开始计算，到下一次A点洛在x轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x轴卜，而每两个顶点间的距离为正方形的边长1,所以该函数的周期为4,下面考察P点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，1P点从x轴K开始运动的时候，首先是围绕A点运动－个圆，该圆的半径为I,4然兀以B点为中心，滚动到C点落地，其阁是以BP为半径，旋转90°,然后以C点为圆心，再旋转90°,这时候以CP为半径，因此，最终构成图象，如图所示，所以y=f(x)在其内个相邻零点间的图象与入轴所围区域的面积l2lS=2x¾灯xl2十心）＋2x½xlxl＝冗十l,yAB01pC故选：B.1-x7.(2021·四川高三月考（文））已知函数f(x)=x;—3x+ln—2sinx,且a＝寸(—0),b=/(sin0),l+xc寸(tan0),(0<0h>cB.a>c>bC.b>c>aD.h>a>c【答案】D【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再判断0,sin0,tan0的大小，然后利用单调性可比较大小【详解】

6f(x)的定义域为(-1,1),l+xl-x因为f(x)=-x5+3x3+1n一一＋2sinx=-(x5-3x3+1n一一－2sinx)=-f(x),1-x·I+x所以f(x)为奇函数，所以a=-f(-0)=f(0),l-x山f(x)=x5-3x3+In—--2sinx,l+xllll得/(x)=5x4-9x2-——-——-2cosx=x2(5x2-9)-—--——-2cosx,1-xI+x··1-xl+x因为XE(－l,l)，所以/(x)f(0)>f(tan0)，即b>a>c,故选：DyX8.(2021·四川高三月考（文））在aABC中，设a,b,c分别为角A,B,C对应的边，若bsinAsinC=✓3sinB,且2csinB=(2a-c)tanC,则（IC的最小值为（)A.2B.4C.5D.6［答案】B

7【分析】sinC山边角且化可得2sinCsinB=(2sinA-sinC)，再山＝角形的内角和性丿员以及两角和的正弦公式可得cosC冗2cosBsinC=sinC,求出B=—，从而可得bsinAsinC=2sinBsinB,再由边角互化以及余弦定理可得3ac=2b=2✓矿＋C仁2ac，由基本不等式即可求解【详解】由2csinB=(2a—c)tanC,sinC则2sinCsinB=(2sinA-sinC)·~,cosC即2sinBcosC=2(sinBcosC+cosBsinC)—sinC,整珅可得2cosBsinC=sinC,J:.cos8=.::...,2冗＄又O

8I所以扩＋2c2=4a2,可得a2=~(b2+2c2),41b2+c2一一(b2+2c2)坛十归所以旷＋c2-a24423b2+2c2cosA=~==2bc2bc2bcSbcI(3b2+2c守—b沪(1-cos2A)b气2[1-J所以S2464b沪I52b沪－9b4-4c4,4x一Xa•a4(b2+2c守16b4+4c'+4b沪令t=2b2,S2I,8(71-I)则—=-x[勹I],a164t-+4t+17t-lll-l4t令g(t)＝，可得g'(t)=4广＋4r+1(21+1)3'llll所以g(t)在(0,—)递增，（一，动）递减，14.)4ll.49所以8(t)，，四＝队—)＝—,1472Sl49而所以了的最大值为-[二二了＝—,当且仅当Ilb2=14c2时，取等号，4V726故选：A10.(2021福建省福州格致中学高三月考）设函数f(x)=e-x(sinx-cosx)(xe[-2019兀，2020冗］）．过点A勹，0］作函数J(x)图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为（)2Ol9A.2019nB.2020兀C.冗D.1010冗2【答案】A【分析】根据题意，所有切线过点A,显然点A不一定为切点，囚此先设切点(Xo'~。)，对J(x)求导，得切线斜率，从而丐出切线方程，点A坐标代入，得到关于Xo的方程：冗冗九tanx。=2(x。-－)，注意到函数y1=tanx与函数Y2=2(x－一）都关千点（一，0）对称，因此推出所有切点的横坐标222冗也关千点（一，0）成对出现，每对和为冗，当XE[-2019斤，2020兀）时，数出共2019对，即可得出结论．2【详解】解：·.·函数f(x)=e飞一(sinx-cosx),:.f'(x)=2e"-'cosx;设切点为(x0,e飞(sin.x;。-cosx()）），切线的斜率为k=2e飞COS..\;。

9故切线方程为：y-e飞(sinXo-COSXj。)＝沁cosx。(x飞）;0-e飞(sin.t;。-COS.t;。)＝2e飞COSX。（冗＋1气。；tanx。=2(X。-：),2)令y1=tanx,y2=2（二．这两个函数的图象关千(2:',o)对称，所以他们交点的横坐标关十点（王，0对称；从而所做所有切田的横坐标也关2千／（沪）成对出现又在区间[-2019兀2020冗］内共有2019对，每对和为冗，所有切点的横坐标之和为20]9n.故选：A.【点睛】本题考查了柄数曲线上切线方程的求法，转化思想，数形结合的思想方法，屈于难题．11.(2021福建省福州格致中学高三月考）骑自行车是一种既环保又健康的运动，如图是某自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为✓3，丛ABE、,0,.BEC、1::,.ECD均是边长为4的等边三角形设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，K石的最大值为（)A.48B.36C.72D.60【答案】D【分析】以点A为坐标原点，AD所在直线为X轴建立平面直角坐标系，设点P(8+✓3cos0，✓3sin0)，利用平面向篮数显积的坐标运算以及辅助角公式可求得双？灯节勺最大仙【详解】以点A为坐标原点，AD所在自线为X轴建立平面直角坐标系，如下图所示：

10y3;因为丛ABE、6.BEC、心ECD均是边长为4的等边三角形，则A(O,O)、B(2,2句、c(6,2句、D(8,0)，设点P(8＋✓3cosB,✓3sin0),则衣＝（6,2泪，万＝（8忑cosB，妇n列，所以，攻五P=48+6✓3cos0+6sinB=12sin（三）＋48E[36,60)故选：D.12.(2021·四川青羊树德中学高三月考（理））已知f(x)=sin(cvx+f)ccv>O),1(f)=1(f)，且f(x)在区间尸勹上有最小值，无最大值，则Cu=()63142B-143810A.-3C.—或D.{wl(J)＝8k－了＇店z}333【答案】B【分析】冗冗-+-10根据题总得f(x)在63冗处取得最小值，得w=8k-—(kEZ)，结合周期的范围可得解．=—324【详解】·:f(x)=sin(wx+f]，且f（¾)=1(f]，义f(x)在区间（：三）内只有最小值无垃大值，兀冗:.f(x)在6勹冗处取得蔽小值．=-24.冗冗冗10:.—{i)十—=2k冗——(kkeZ))..:.·.cu=8k8k-——~(keZ)43232冗冗冗冗易知周期T=－－2-－－＝一，cu:s:;12{i)3661014•.•0>0,．.．当k=lB寸，cu=8-—=—;33故选：B.

1113.(2021·四川青羊树德中学高三月考（理））双曲线C.＿＿_=l(a>a>0,b>O)的左顶点为A,右焦点为F,a-b离心率为2，焦距为4设M是双曲线C上任意一点，且M在第一象限，直线MA与MF的倾斜角分别为吓a2'则2a,+a2的值为（)冗A2冗.＿2B.C.冗D.与M位置有关3【答案】C【分析】由离心率以及双曲线的焦距列出关千a,c的方程求解可得求双曲线方程，由双曲线的性质得出A,F的坐标，当X。=2时易得结果，当X。#2时，结合斜率计算公式可得tan瓬和tana2,进而可得结果【详解】山{;e::，得｛言，所以扩＝C2—矿＝3,所以双曲线C的方程为x2_上司．所以左顶点A(—l,0)，右焦点F(2,0).设M(x心）（x。＞0,y。>0)，则xi-丛=l当x。=2时，y。＝3,此时kMA=I,a1=~,a2=~,所以2a,+a2=n;y。y。当x。"#2,k=tana.=kMF=tana=X。+lX。-2·因为沁＝3（总－1)'2y所以tan2a1=厂：=2（x。+l)y。=2(x。+1)y。二伈＋1)2-沁(x。+1)2-3（点－1)X,。-2'1-1...l炟＿X。+1又由点M在第一象限，易知a1E（吁），a2E(0，兀），所以2a1十生气．综上，2a1+a2的仙为兀故选：C

1214.(2021·四川青羊树德中学高三月考（理））已知四面体ABCD的所有棱长均为✓2,M,N分别为棱AD,BC的中点，F为棱AB上异千A,B的动点．有下列结论：＠线段MN的长度为1;＠若点G为线段MN上的动点，则无论点F与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面直线；石＠凶FN的余弦值的取值范围为[0,—-）；@1:,.FMN周长的最小值为✓2+1.其中正确结论的为()A.CD®B.®@C.@@D.©@【答案】D【分析】将芷四面体ABCD放笠十正方体中，由M,N所处位翌即可判断＠：取AB,MN,CD中点F,G,E,探讨它们的关系可判断＠；计算cos乙MBN可判断＠；把正心4.CB与正A心邓展开在同一平面内，计算即可判断＠并作答．【详解】如图，在棱长为l的正方体上取顶点A,B,C,D,并顺次连接即可得四面体ABCD,其棱长均为J;,因M,N分别为棱AD,BC的中点，则M,N恰为正方体相对面的中心，即MN=],CD正确；取AB的中点F,MN的中点G,CD的中点E,由正方体的结构特彻知F,G,E共线，即直线FG与自线CD交千E,＠不正确：辜N中，BM=~气忑）I2－（—五高)2=—,BN=—5,MN=l,山余弦定理得：222BN2+BM2-MN2$§五cosLMBN=＝—>—，当点F无限接近千点B时，cosL.MFN无限接近千—,＠不2BN-BM353正确：

13把匹面体ABCD中的正6.ACB与正丛凡邓展开在同一平面内，连接MN,MN必过AB的中点，在AB上任取点F'，连MF',NF'，如图，D三c此时，MF'+NF';:=,_MN＝五，当且仅当点F'与线段AB中点币合时取＇'=",则对AB上任意点F,MF+NF有蛟小值五，于是得在四面体ABCD中，t;FMN周长MF+NF+MN有最小值五:+1,＠正确，所以＠＠为正确的结论故选：D1f3115.(2021·四川青羊树德中学高三月考（理））已知正数a'/3满足e"+>e~+.，则下2/J+sin/J2a+sina、丿列不等式错误的是（A•2a-fJ+I>2B.lna+aD.—+—<—+—a/Ja+/Je"·a-eP/J【答案】B【分析】1n1...._....___.I将已知个等式变形可得ea->eP-，构造函数f(x)=ex-,x>O,利用导数以2a+sina2/3+sinj32x+smx及复合函数的单调性可得f(x)在(0,+oo)上单调递增，从而可得a>/3＞0,然后再利用不等式的基本性原逐一判断即可求得结论．【详解】11因为正数a,/3满足e"+~>eP+,2/3+sin/32a+sinall所以e“->eP_2a+sina2/3+sin/3'1构造函数f(x)==e'e··--,x>O,2x+sinx令g(x)=2x+sinx,g'(x)=2+cos.x>0恒成立，所以g(x)在（0，七o)上单调递增，1山复合函数的单调性可知－在(0,+OO）上单调递增，2x+sinx

141所以f(x)=e二在(0,+oo)上单调递增，2x+sinx由/(a)>I位），可得a>/3＞0,对千A,由a>fJ'可得a—/J+l>l,所以2”沙＋I>2,故A正确；对千B,由a>/J＞0，可得Ina>ln/J,则lna+a>ln/J+/J，故B错误；对丁C,（二）（a顷）＝2＋汇贮尸＝4,所以丿＋丿＞4,故C正确，aPPaPaaPa+fJllllllll对于D,由a>fJ>O，可得铲＞ef1>0，了7,所以了了，所以了了丁万，故D正确故选：B16.(2021·广西桂林高三月考（理））已知P为抛物线y2=4x上一个动点，Q为圆x2+(y-4)2=l上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（)A.2石－lB.2$-2C.矿—lD.矿－2【答案】C【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的距离等千点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小仙，根据图象可知当P,Q,F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径【详解】抛物线y2=4x的焦点为F(l,O),圆x2+(y-4)2=1的圆心为C(0,4)，半径r=l,根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等千点P到焦点的距离，

15片X进而推断当P,Q,F三点共线时，P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为IFCl-r=✓l7-l,故选C.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程和抛物线的简单性质及利用抛物线的定义求最值，屈于中档题．与抛物线的定义有关的最仙问题常常实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1)将抛物线上的点到淮线的距化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短＂，仗问题得解；（2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“点与且线上所有点的连线中垂线段最短“原理解决l+ax17.(2021北京市顺义区第一中学高三月考）已知函数f(x)＝3x-——若存在书司女，－1)'使得f(x。)＝0,则实数a的取值范围是（)A.(-oo，勹B.（呤）C.（女，0)D.(1,+oo)【答案】B【分析】I1山f(x)=O可得出a=3夕＇－－,令g(x)x)=3'－一，其中XE(-co,－l)，由题意可知，实数a的取仙范围即为函xx数g(x)在（女，－l)上的值域，求出函数g(x)在（-oo,-1)上的值域即可得解【详解】l+ax1由j.（x)=3·,—=0,可得a=3x——，令g(x)=3人．一一，其中XE(夕:>,-1)'XX..X由十存在x。E（女，－1),使得f(x。)=0,则实数a的取值范围即为函数g(x)在(-oo,-1)上的值域

16I由十函数）1=3·'、y=－－在区间(-oo,-1)上为增函数，所以函数g(x)在(-oo,-1)上为增函数X14当XE（今，－1)时，g(x)=3x—一<3一1+l=－，又g(x)=3二－＞0,x3x4所以，函数g(x)在（女，－l）上的俏域为(0,－因此，实数a的取仙范围是（忖）』故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（］）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面百角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．1118.(2021盐城市伍佑中学高三月考）已知函数f(x)＝—-－-I斗，则f(x)f(x+2):.:;O的解集为（)护2A.(-3,1]B.[-1,1]C.[-3,-1]D.[-3,+oo)【答案】A【分析】先探究得到：当xs-1或立1时，f(x)sO;当－lsxsl时，f(x)凶0然后将不等式f(x)f(x+2)s;0等价丿寸{f(x)50或{f(x)之0,进而可得结果f(x+2)~o··lf(x+2)sO【详解】显然，函数f(x)是定义域为R的偶函数1I当XE[O，如）时，f(x)＝—-－x，所以J(x)是减函数，且f(l)=0;2x2所以当XE（女，0）时，f(x)是增函数，且f(-]);;0.因此，当XS—l或x~1时，f(x)sO;当—.lsxs)时，f(x)凶0.所以，f(x)f(x+2)三0<=>{f(x)三0或{f(x)之0f(x+2)之0f.(x+2）引O｀x:s;;-三x+21或立三ll或{-xl+气2全ll或x+2~]

17<=>-3.::;x~-l或－l~x~l<=>-3~x~l故f(x)f(x+2)~0的解朱为[-3,1].故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是探究得到：当x:S-1或丘习时，f(x):SO;当－l:Sx:Sl时，f(x)：：：：0.l2219.(2021盐城市伍佑中学高三月考）已知函数f(x)=——X—cosx'g(x)=x2-k,若f(x)与g(x)的图2象有且只有一个公共点，则k的值为（)A.-1B.oC.1D.2【答案】C【分析】3将问题转化为h(x)＝—入:2+cosx与y=k有唯一交点的问题，利用导数可求得h(x)的单调性和最值，由此得2到h(x)大致图象，数形结合可求得结果．【详解】汀(x)与g(x)图象有且仅有介个公八点，五f(x)=g(x)有唯斛＼3即k=－x五COSX有唯一解，232令h(x)=~x2+cosx,则h'(x)=3x—sinx,h"(x)=3—cosx,2QcosxE[-1,1],:.h"(x)>O,:.h'(x)在R上单调递增，义h'(O)=0,当XE（今，0）时，h'(x)O;h(x)在(-,0)上单调递减，在(0冲～）七单调递增，h(xt;n=h.(0)=1,可得h(x)大致图象如下图所示：

18yh(人产）1-y=k0Xk=~x2+cosx有唯一解等价千y=h(x)与y=k有唯一交点，由图象可知：当k=l时，y=h(x)与y=k有唯一交占，即j、(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查根据两函数交点个数求解参数范围的问题，解题关键是能够将问题转化为平行千X轴的且线与函数的交点个数的问题，进而利用数形结合的方法求得结果．20.(2021北京市第一六一中学高三月考）从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以2那么不可能是计算结果的最小的数是A.12B.11C.10D.9【答案】B【分析】山题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案【详解】由题总，列出树形图，如图所示由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是ll，故选B.-------------•。/11,.,,,,,,,,,,0---------------222/\/\/\/\22343434/\/\/\/\/\/\/\[\46气846久，8．＼＾久31＼人启伈八尸，，，／＼八／I\八，＼10165846585句1261091658712610916587126946【点睛】

19本题.::l＿要考查（简单的合悄推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，若重考究了推理与论证能力，屈于基础题．21.(2021福建师大附中高三月考）已知直线y=a分别与直线y=2x-2和曲线y=2e·"+x相交千点A,B,则线段AB长度的最小值为（).lA.~(3+1n2)B.3—ln2C.2e—lD.32【答案】A【分析】l根据题意设两交点分别为A(x"a)"a)',B(x2,a)，可得，斗＝l+ex2＋长，长度IAB|＝忱－X2|＝|）＋泸－－Xii'221考查函数g(x)=l+e'-~x求最仙即可得解2【详解】已知直线y=a与且线y=2x-2，曲线y=2e-｀俨＋x分别交点A,B,设A(x"a),B(x2,a)，则有2x1-2=2ex2+X2,ll变形可得x1=::-(2+2e"'2+x2)=I+e'2+-::'.:-x1,22ll又如ABl=lx1－叫＝l+e“+-x22-x2=1+e`2__2x2|,11设g(X)=I+e-'"-~X'g,(X)=ex-~22l则当xln½B,J-,g'(x)>0,函数g(x)在(ln;,+OO)凡增函数，I.~...(.I则g(x)=l+ex飞x有最小值g(ln2)，且g(ln勹＝1＋上＿Lln上＝3+ln2>0,2)22223+ln2则1AB忙，23+ln2即线段AB长度的最小值是2故选：A.22.(2021福建师大附中高三月考）若a=ln~,b=0.02sin0.0l,c=O.Olsin0.02,则（)A.a

20首先上对数函数的性质判断出aO,c=O.Olsin0.02>0,排除答案C,DsinxXCOSX-smx设f(x)=~——,xE(O,:rc),则f'(x)=，令g(x)=XCOSX—sinx,则2XXg'(x)X)=COSX—xsinx—COSX=—xsinxf(0.02)，即>,0.010.02所以0.02sin0.0l>O.Olsin0.02，即bO,b>0)，若点A(-a,0),B(a,0),2(rbc（卢，b）是等腰三角形的三个顶点，则该双曲线的渐近线方程为（)A.y＝士3xB.y＝土5xI$Cy＝士一XD.y=土－X.33【答案】B【分析】依次分析可能相等的两边，可得IBCl=IAB|，利用坐标表示边长可得b=$a，即得解【详解】由题意，若AB为等腰三角形的底边，则点C在AB的垂直平分线上，故C的横坐标为0,矛盾：义IAC|＝奴嘉言fl+a)2+b2>2a=IABI故IBC|＝奴嘉三沪－a)2+b2=2a斗ABI解得：b2=3a2:.b=✓3a故双曲线的渐近线方程为：y＝土kx,Y＝土＄xa故选：B24.(2021河南洛阳高三期中（文））关千函数f(x)=cos2xsin2x,在下列论断中，不正确的是（)

21A.f(x)是奇函数B.f(x)在［卢f]上单调递减C.f(x)在（于：］内恰有2个极值点3$D.f(x)在［O,叶上的最大值为—-8【答案】B【分析】冗冗冗根据奇偶性定义可判断A;求导函数有f'（－8）>0可判断B:当XE(-－2，一2)时，令f'(x)=O,得x＝土产冗兀5冗判断C;设xe[0,1r],令f'(x)=O,得xl=-.x.,2=-—,x3=，求出最伯即可判断D.626【详解】函数f(x)=cos2xsin2x的定义域为R由f(-x)=cos2xsin2x=-cos2xsin2x=-f(x)，故f(x)是奇函数，A正确；由f'(x)=(cos2xsin2x)'=2cos2xcos2x—2cosxsinxsin2x=2cosxcos3x则r(i)=2cosfcos~>0又告E［合1]，所以f(x)在［合1]十不是单调递减，则B错设XE（琴），令f'(x)=O,得x＝二，且节XE（二－工］时f'(x)<0:626当XE（干沪1.f'(x)>O当XE（琴］时f'(x)

221IA.m=l,n=-B.m=-,n=22211C.m=-,n=2D.m=-,n=434【答案】8D【分析】II由题可得m.,n分别是y＝矿与y=—,y=log"x~-Jy=—的交点，结合图象即可求解xx【详解】lll山题意知/11.是方程．r矿－1=0,即—＝矿的解，n是方程—-log0x=O,即—＝logaX的解，XXXI,,1且jJm,n分别是y=a'与y=~'y=logaX与y=－的交点A,B的横坐标，X..X因为a>L由图象可得Ol.又y＝矿的图象与y=log矿t的图象关于自线y=x对称，且y=－的图象也关千白线y=x对称，所以点A己），B(三）也关于直线y=x对称，即m=~,mn=l,符合条件的为BD项n故选：BD.yy=a'y=lo眨Iy=一.L...,.._X5冗26.(2021辽宁沈阳高三月考）已知函数f(x)=asin.,t:－五cos.x的一条对称轴为x=—-，函数J(x)在区间6(x心）上具有单调性，且f化）＝—f（Xi),则下述四个结论正确的是（)A.实数a的值为1B.亿，f(Xi））和化，f伈））两点关千函数f(x)图象的一条对称轴对称C.X厂斗的最大值为冗D.帖＋对的最小值为竺3

23【答案】ACD【分析】根据函数关于x＝了5冗对称，可得f(x)=f（气－x)，利用特殊值x=O,代入叩可求得a的值由辅助角公式化简三角函数式，即可由在区间(x1心）上具有单调性确定周期最大伯；山f(x,)=-f伈）结合函数的对称性即可判断B,并由对称性判断1斗＋对的最值即可判断D【详解】5兀•:X=—是函数f(x)的一条对称轴，6:.f(x)=f（竺－x，令x=0,3(0)＝f（气）＇即－汇－亨。气，解彴a=l,：．将a=l代入可得f(x)=sinx忑COSX=2sin（气），叉．．函数f(x)在区间（斗心）上具有单调性，T.".X2—X1的蛟大值为—＝亢，2且f(x,)＝寸伈），：．亿，f化））和化，f伈））两点关于函数f(x)图象的一条对称轴对称，冗冗2冗x1-—+X2-—X1+七-—333(kEZ)==k冗222冗:.x1+x1=2k冗＋—（kEZ)，当k=O时，I儿，1＋对的诚小值为兰·33．二A,C,D项汗确，B项错误．综卜可知，正确的为ACD,故选：ACD.【点睛】本题考查了三角函数性质的综合应用，由对称轴求参数，辅助角公式化简三角函数式的应用，屈十中档题．27.(2021福建高三月考）定义在[0冲动上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)＋伬＋x)f'(x)

24则必有（)A.3/(3)<叮（1)B.4八2)5f(5)D.2f(3)>3f(7)【答案】ACD【分析】寸（x)寸(x)根据题慈构造函数g(x)＝－—-，进而通过导数方法判断函数g(x)＝——－的单调性，然后比较出大小x+lx+1【详解】设口1数g(x)=~詈立0，因为j(x)+(x2+x)f'(x)<0[f(x)+xf'(x)](x+l)－寸(x)_f(x)+(x2+x)f'(x)则g'(x)==<0,(x+1)2(x+l)2所以g(x)在[0，伈）上单调递减，从而g(l)>g(2)>g(3)>g(5)>g(7),f(l)2f(2)3f(3)5J(5)7j、(7)即2346>8'则必有3/(3)<2/(1),4/(2)>5j、(5),3/(1)>5/(5),6j、(3)>7/(7).又g(x)在［0,位习上单调递减，所以x>O时，g(x)O时，f(x)<0,又6f(3)＞叮(7)，所以2J(3)>－f(7)＞3J(7)故选：ACD.【点睛】题目给出类似f(x)+(x2+x)f'(x)

25设点P(x。,y。)，则X。+y。-4=0,设切点A(xI,yl)，B(易,Y2),根据题总得点A,O,B,P四点共圆，进而得其圆的方程（已）＼产2＋（三）2＝x。2+y2。，再与圆O:x2+y2=2的方程联立得直线AB的方程：x0x+oYoy=2,22J4再根据题意依次讨论各选项即可得答案．【详解】解：设点P(Xi。,y。)，则X。+y。-4=0,设切点A(斗,yl)，B(易,Y2),易知点A,0,B,P四点共圆，圆心为OP中点（千差），半径为r=｀尸百，2故点A,O,B,P四点所在圆的方程为：（X－亨厂（y－差了＝xi;yi,与圆O:x2+y2=2的方程联立得：X。x+y。y=2'xx2。所以直线AB的方程为：X。x+y。y=2,即：y=-—+—y。y。x。对千A选项，当直线AB!fl时，-—=-ly。'再结合Xo+y。-4=0解得X。=y。=2,此时直线AB的方程为：x+y=l,l5l圆心0到直线AB的距离为．—=—，故IABl=2R飞，故A选项正确；✓2-22对千B选项，PAPB=（斗-Xci,Y1-y。)(七-X。,y2-y。)＝环飞（斗飞）＋总＋Y1Y2-~。(y1飞）＋沁，将且线X。x+y。y=2与圆O:x2+y2=2方程联立得：（总＋y叩－4y0y+4-2忒＝0,（点＋y~)x2-4~。x+4-2沁＝0,224y。4-2x。4x。4-2Yo所以Yi+Y2=~,YiY2=~勹,X1+x2=~,X2凸＝，2'Xo+y。xo+YoX。+y。Xo+y。224-2y。4x024-2点4沁勹8...2所以PA-PB=22-22飞＋22-22+y6＝飞＋沁－6X。+y。X。+y。X。+y。X。+y。忒＋y~由千点＋兑＝点＋（4—X。广＝2点—8x。十16=2(x0-2)2+8习8>2五，8.2.2故当忒＋Yi=8时，PA-PB=22+X。+y。—6取得蚊小值3故B选项错误；xo+y。l对于C选项，将点（昙代入直线AB的方程为：X。x+y。y=2得－（x。＋y。)＝2恒成立，故直线AB过定点臼）故C选项正石:,2)2

26对千D选项，因为点＋Yi=xi+(4-,~。)2=2xi-8丸＋16=2(~。-2)2+8以8,22J所丿以点0到直线AB的距离为：d=三—=—，故D选项正确＄言森2故选：ACDyx【点睛】本题考查直线与圆的位置关系问题，考查运算求解能力，是中档题本题解题的关键在于由A,0,B,P四点共圆，进而得具圆的方程［气2+（三）＼总＋y;，再与圆0:x2+/=2的方程作差得直线AB的方程：224X。x+y。y=2.29.(2021全国高二专题练习）已知F为椭圆C:土+?-=l的左焦点，直线l:y=kx((k-:t:-0)与椭圆C交42千A,B两点，AE.lx轴，垂足为E,BE与椭圆C的另一个交点为P,则（)IA.|AF|＋IB4F1的最小值为2B.辜E面积的最大值为五1C.直线BE的斜率为－KD.乙PAB为钝角2【答案】BC

27【分析】9A项，先山椭圆与过原点直线的对称性知，IAFI叶BFl=4,冉利用l的代换利川基本小等式可得最小值－，4A项错误；B项，巾直线与椭圆方程联立，斛得交点坐标，得出面积关于K的函数关系式，冉求函数最值；C项，山对称性，可设A(凸汃），则B(－X。,-y。),E(x。,0)，则可得直线BE的斜率与K的关系；D项，先b211由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得k,,A.kP8=-.;-=－一，又由C项可知k,,B=kBE=—k,得kPA·KAB=-l,a-22即乙PAB=90°,排除D项．【详解】对千A，设椭圆C的右焦点为F'，连接AF',BF',则四边形AF'BF为平行四边形，·.1硝＋IBFI=IAFl+IAF'I=2a=4,上十~=¼(IAFl+IBF|）［上二＝L5＋荨竺义，|AF||BF|4|AF||BF|）』|AF||BF|)4当且仅当IBFl=2IAFI时等号成立，A错误；对千B,由｛f千1得x＝士2歹＇y=kx咽.·.|yA-yB|=三＇1咽4S=-|xA||YA-yIjl=—=今丘:."'ABE的面积21+2k21ir+21kl'IKI[当且仅当K＝土—一时等号成寸，B正确；2对十C,设A(如）10)，则B(-书,－y。)，E(XcJ,O),O+y。1y。1故直线BE的斜率kBE==-·=-k''C正确X。+X。2X。2对TD，设P(m,n)，直线PA的斜率额为K队，直线PB的斜率为忙，n-y。n+y。＝矿－y；则kPA.坏＝·m-x,m+X。'矿－X;＇m-n-又点P和点A在椭圆C上，．．一－＋－＝lCD,五十凶-=l®,42..42n2－沁llO-＠得??＝－一，易知kp8=k8£=-;:-k,m~-X~22。

28lll则kPA·-K=－一，得kPA=－一，22K:.kPA·kAB＝门）·K=－l,．·．组PAB=90°,D错误故选：BC.X【点睛】椭圆常用结论：22已知椭圆兰＋乌＝l(a>b>0),AB为椭圆经过原点的豢弦，P是椭圆I::.异千A、B的任意一点，若坏，kPBabb2都存在，则kPA·kPB=-—,a-30.(2021盐城市伍佑中学高三月考）已知Lnx-X1-y,+2=0,x2+2y2-21n2-6=0,记M＝（x1飞）＋切－y2),则（）1614A.M的最小值为—B．当M最小时，x2=-55412C.M的最小值为－D.当M最小时凸＝－55【答案】AB【分析】根据条件可将M=(x,-xj+(Yi-Y2/的最小值，转化为函数）1=Inx-x+2图象上的点到直线x+2y-6-2ln2=0的距离的最小值的平方，结合两直线的位置关系和导数的几何意义，即可求解【详解】山InX1-x2-y,+2=0和x1+2y2-21n2-6=0,则M=(x1－矿＋（Y,一江的最小们，可转化为函数）！＝lnx-x+2图象上的点到直线x+2y-6-2ln2=0的距离的最小伯的平方，又由y=lnx-x+2,可得y'=--=---1'XI因为与直线X2+2y厂加2-6=0平行的直线的斜率为－一，2ll所以一－l＝－一，解得x=2,则切点的坐标为(2,ln2),X2

2912+21n2-6-21n21_4.fs所以(2,In2)到直线Xi+2y2-2ln2-6=0上的距离d==-,石4$即酌数y=lnx-x+2上的点到直线X+2y-6-2)n2=0七的点的距离的最小值为d=——,16所以M=(x1-x2)2+(y1－戏的最小仙为矿＝一，又过(2,ln2)且与直线x+2y-6-21n2=0垂直的直线为y-ln2=2(x-2),即2x-y-4+1n2=0,2x-y-4+1n2=0l4联立方程组｛，解得x=—,x+2y-6-2ln2=0··~···514即当M蔽小时，七＝—．故选：AB【点睛】木题土要考查了函数与方程综合应用，以及导数的几何意义的应用，其中解答中熟练应用导数的几何意义，合理转化求解是解答的关键，若重考查推理与运算能力．31.(2021福建师大附中高三月考）如果两地的距离是600公里，驾车走完这600公里耗时6小时，那么在某一时刻，车速必定会达到平均速度100公里／小时．上述问题转换成数学语言：f(x)是距离关千时间的函f(b)-f(a)_~,数，那么一定存在：c),f'(C就是C时刻的瞬时速度．前提条件是函数J(x(x)t£在[a,b]上b-af(b)-f(a)连续，f(x)在(a,b)内可导，且aX2,不等式f伈）－f伈）＜k(x,－凸）恒成立，若函数f(x)=2x2-klnx，则实数K的可能取值为（)A.88.9C.10D.11【答案】BCD【分析】根据题意，问题转化为k~f'(x)在XE(l,3)上恒成立，进而通过分参和构造函数得到答案．【详解】由已知f(xi)-f（凸）＜k(x广易），x1>X2耟成立，可得k~f'(x)在XE(l,3)|－恒成立因为f(x)=2x2-klnx,kk4x24所以f'(x)=4x-－，所以4x－－豆k,即——::;k'整理得4(x+l)+~-8::;k(D.xxx+1x+1

304囚为XE(1,3)，所以x+le(2,4)令t=x+l,则t，E(2,4),＠式化为4t+－－8豆Kt4lI_4(t+l)(t—1)记g(t)=4!+-—8,tE(2,4),g'(t)=4(1－下）＝>0,所以玑t)在(2,4)上单调递墩，所以trItg(t)E(2,9)，所以K还9,故选：BCD.三、双空题32.(2021福建省福州格致中学高三月考）如图，某公园摩天轮的半径为40m,点0距地面的高度为50m,摩天轮逆时针匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处．2018min时点P距离地面的高度为m,当离地面50+20✓3m以上时，可以看到公园的全貌，某游客乘坐摩天轮，在旋转10圈的过程中，可以看到公园全貌的总时长为min.【答案】705.【分析】设f(t)=Asin(wt+(f))+h,由题可知A=40,h=50,t=3.f(O)=10即可得到f(t)=40sin（兰t-巴]+50(t2'.0)，从而求出/(2018)的值；解不等式兀）＞50+20石，由解栠区间的长度32即可求得看到公园全貌的总时长【详解】2冗2冗冗(1)依题意，A=40,h=50,t=3,:.w=—=—，又．f（0)=lO,.·.

312冗2冗$依题意：f(t)>50+20✓3,:.-40cos—l>20✓3,:.COS—t<-—,3-325兀坛7兀57解得2k冗＋—＜—t<2k兀＋—，kEN,即3k+.::.

32321232l2由余弦定理得cosB=矿＋C2-b2=4C+4a>2{4ex4”=Ji,2ac2ac2ac4当日仅当a＝五c等号成立，$所以cosB的最小值为—-．4$故答案为：@10;@—-.4cBA四、填空题34.(2021渭南市瑞泉中学高三月考）若直线y=2x+b是曲线y=2alnx的切线，且a>O,则实数b的最小值是.【答案】—2【分析】求出y=2alnx的导数，设切线为(m,n)，由切点处的导数值为切线斜率求出m=a,再山切点坐标可把b表示为a的酌数，再利用导数可求得b的最小值【详解】2a2ay=2alnx的导数为y'＝—，由于直线）1=2x+b足曲线y=2alnx的切线，设切点为(m,n)，则—-=2,m:.ni=a,又2m+b=2alnm,:.b=2alna-2a(a>0),b'=2(lna+l)-2=2lna,当a>l时，b'>O,函数b递增，当O

3335.(2021辽宁沈阳高三月考）若x2>log"x(a>0且a*l)恒成立，则实数a的取值范围为.【答案】（户，钩］【分析】lnxlnx讨论Ol时，运用换底公式原不等式化为Ina.>—了，令f(x)＝—了，求得导数和单调件、垃大值，可得a的范围【详解】解：当Olog。x不可能怕成立；lnx当a>l时，lna>0,个等式x2>logaX可化为x2>lna'lnxlnxl-2lnx山lna>—丁，令f(x)＝—~,f'(X)=~,x-x-3X当O0,f(x)递增，当x>心时，f'(x)<0,f(`.）递减，ln心］l则氏）n凶x=f伍）＝＝—,则Ina>—，可得a>e正e2e2e故答案为：（产，砱］....!...<1)【点睛】力法点睛：1、利用导数址月」不等式或解决不等式恒成立问题，关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出蔽伯，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式

34-x2+4x,x:::;4,36.(2021福建高三月考）设函数f(x)={关于X的方程f(x)=l有四个实根X1,X2,x3,llog2(x-4)1,x>4,1x4((x1气勺

35所以伈－4)·(x4-4)=1.所以X3=~+4,X4-41Il所以凸＋－x4=+4+-x=+-(x4-4)＋5，且X4-4E(1,16),4"4X4—4..'4"4入;4—44所以x尸丿x4之2J1心－4)=2[✓1+5=6'X-44当且仅当—(X4—4)=X4—4'即X4=6时，等号成立，故x产凸＋凸＋－x4的最小仙为10.故答案为：10.37.(2021福建高三月考）已知f(x)不是常数函数，写出一个同时具有下列四个性质的函数f(x):＠定义域为R；如（x)=f.（气）；@l+f(2x)=2广(x);@f(f)#-l.【答案】f(x)=cos8x（答案不唯一）【分析】根据1+冗可得函数的周期，从后根据j(2x)=2广(x)，可得f(f)f(2x)＃－=2l广（得到答案x)-1,进而联想到二倍角的余弦公式，再根据f(x)=1(X+—』,【详解】巾1+f(2x)=2广(x)，得f(2x)=2尸(x)-1,联想到cos2x=2cos坛－1'可推溯f(x)=coscox,由f(x)=f(X＋冗），得竺＝k2兀（）keN.，则I叭＝4k(keN*),2J·'"2lwl义f(f)#－l，所以f(x)=cos(4kx)(keZ,k为偶数，且IkI>1),则当k=2时，．f(x)=cos8x.故答案为：f(x)=cos8x（答案不唯一）．38.(2021·北京门头沟大峪中学高三月考）已知函数f(x)＝{cosx,l－气年0，若函数y=J(x)-k有两个—,x~Ox+l不同的零点，则实数K的取值范围是.

36【答案】(-1,0]U压）【分析】把间题转化为直线y=k与涵数y=f(x)的图象有两个不同交点，作出函数f(x)的图象如图，数形结合得答案【详解】解：函数y=f(x)-k有两个个同的零贞、，即直线y=k与函数y=J(x)的图象有两个不同交点，夕5冗c。s工-_<->x<。3作出函数fI`,x,I__上廿勺图象如图V,l_x07,-X、yy=k1---------y=~x23----------1巾图可知，婓使函数y=f(x)—k有两个小同的零点，则实数k的取伯范闱是(-1,0]U（扣］1故答案为：（－1,o]U(』入'.3-3x,x:-:::;a39.(2021北京市大兴区兴华中学高三月考）设函数f(x)＝（.—2x,x>a©若a=O,则．f(x)的最大值为＠若J(x)无最大值，则实数a的取值范围是【答案】2（女，－1)【分析】试题分析：如图，作出函数g(x)=x3-3x与直线y=-2x的图象，它们的交点是A(-1,2),0(0,0),B(l,-2),由g'(x)=3x2—3'知x=l是函数g(x)的极小俏点，x3-3x,x引O＠当a=O时，f(x)={，由图象可知j、(x)的最大伯是/(-1)=2;—2x,x>O＠由图象知当a~-1时，／（x）有蔽大俏f(-1)=2;只有当a＜一］时，a3—3a<—2a,/(x)无最大值，所以

37所求a的取值范围是(-oo,-1).X【考点】分段函数求最俏，数形结合【名师点眙】l求分段函数的函数值时，应首先确记所给自变址的取值屈十哪一个范围，然后选取相应的对应关系．若自变量的仙为较大的正整数，一般可考虑先求函数的周期．若给出函数仙求自变釐的伯，应根据舒一段函数的解析式分别求解，但婓注意检验所求自变员的伯是否属千相应段自变炉的范围；2在研究函数的单调件时，需要先将函数化简，转化为讨论－些熟知的函数的单调性，因此掌握一次函数、二次俘数、需函数、对数函数等的单调性，将大大缩短我们的判断过程．【详解】40.(2021北京市大兴区兴华中学高三月考）已知函数f(x)=!sin斗＋✓31sin(x-；）|，则©f(x)在尸，冗］上的最小值是l;2冗®J(x)的最小正周期是一；2k兀＠直线x=—(keZ)是f(x)图象的对称轴；22＠直线y=－x与f(x)的图象恰有2个公共点．冗其中说法正确的是【答案】0@@【分析】结合＝角函数的图像和性压，数形结合思想求解，求出f(O),J行）即可判断＠，分k为奇数，k为偶数，讨论即可判断＠．【详解】解对千＠，当XE[：冗］lLI(x)＝|slll斗玉sin(入，号）＝isinx|＋刮cos入i=sinx玉cosx=2sin（气）

38v,'r冗冗2冗冗冗冗且;SX－产了－，则当x-t飞时，由数f(x)取最小值，即f(xLn=2sini=l,故＠正确；对千＠，？f(x)=Jsin斗＋和cosxj,f(O)＝石，飞）＝1'则：f(0)*f（号］故函数J(x)的最小正周期不是工，＠错误；2对千＠，若k为奇数，则f(k冗－x)=[sin(k兀－x）曰3lcos(k兀－x)I=JsinxJ+.fiJ-cosxl=Jsinx|＋扫cosx|＝f(x)．若k为偶数，则J(k冗－x)=[sin(k冗－x）|＋刮cos(k冗－x)I=J-sinx|＋刮cosxi=Isinx|＋扫cosxi=f(x)山上司知，当kEZ时，，f(k冗－x)=J(x),阮所以，且线x=~(kEZ)是f(x)图象的对称轴，＠正确；2对于＠，因为？f(x五）＝[sin(x五）I+.filcos(x＋叶＝J-sin中和－COS斗＝Jsinx|＋刮cosxj,所以冗为函数的周期丐Osx冗时，—x>2,f(x)::;;2，所以，函数y=－x与f(x)在（J[，位3)上的图象也无交点作出函数y=－X兀冗冗与函数f(x)在[o,1(］上的图象如下图所示：片'I,II'I霄霄X°22由图像可知，直线y=—x与J(x)的图象恰有2个公共点，故＠正确冗故答案为：CD®@.

3941.(2021·四川高三月考（文））已知过点T(-J,l)作抛物线C:y2=2px的两条切线，切点为A,B,直线AB经过抛物线C的焦点F,则ITAl2+ITBl2=_.【答案】25【分析】设设A(x1,Y1)，在抛物线C:y2=2px,过切点A与抛物线相切的直线斜率为k'进而联守方程并结合判别式得k=J!...，进步得以A(xPy1)为切点的切线方程为YY1=p(x+x1)，同理以B(易,y2)为切点与抛物线相切的白线方程为Y.Yz=p(x＋易），再结合T(-1,1)在两条切线上得弦AB的方程y=p(x-1)，再根据弦AB过抛物线的焦点得F(l,O)，进而抛物线方程为y2=4x,直线AB的力程y=2(x-l)，再联立方程计算即可得答案【详解】解：设A(x.,Y1)，在抛物线C:y2=2px,过切点A与抛物线相切的直线斜率为k,则以A(斗,Y1)为切点的切线方程为y-y1=k(x-x1),y-y1=k(x-x1),m__22p__,2py1与抛物线C:y2=2px联立方程｛1得y2-—-y+－—-2pX1=0,y2=2pxkk所以A＝尸）－4(望－2px1)＝0，整理得4p2-8kpy,+4k2l=0,kk所以(2p-2/cyl)2=0，解得k=-1::-'),I所以以A(斗,yl)为切点的切线方程为）>-y,＝]!_伈-X,)，整理得YY,=p(x+x,)'Y,同理，设B(凸,Y2),在抛物线C:y2=2px,过切点B与抛物线相切的自线方程为YY2=p(x+Xi),义因为T(-1,1)在切线YY2=p(x＋凸）和yy,=p(x+x1),所以Y2=p(-1＋动，y,=p(-l+x,),所以直线AB的方程y=p(x-1),又因为直线AB经过抛物线C的焦点F,所以令y=O得x=l,即F(t,O)

40所以抱物线方程为y2=4x,直线AB的方程y=2(x-l)联立力程『2=4x得x2-3x+l=O或y22-2y-4=0'y=2(x-l)所以X1+x2=3,x1xz=1'Y1+Yz=2,Y1Y2=--4所以仍旷叶TB广＝（x1十l)2+(Y1—1)2+(x2+l)2+(Y2—1)2气＋斗＋2（斗飞）＋）卢Yi-2(Y1飞）＋4=(xi飞）2－2x凸＋2(x1飞）＋（Yi+Y2)2-2Y1Y2-2(Y1五）＋4=9—2+2x3+4—2x(-4)—2x2+4=25故答案为：2542.(2021·四川高三月考（文））若f(x)是定义在R上函数，且y=f(x-2)的图形关千直线x=2对称，当x0的解集为.【答案】（女，－3)U(0,3)【分析】构迅函数F(x)=~f(x)，判断函数在(--oo,O)上单调递减，再由题总可得f(x)为偶函奻，利用函数的单调性即可求解【详解】·:y=f(x-2)的图形关千白线x=2对称，将图形向右平移2个单位，:.y=f(x)的图形关千百线x=O对称，:.y=f(x)为偶函数，设F(x)＝寸(x)，所以F(x)为奇函数，当xO,解得x<-3,

41当x>O时，F(x)＝寸(x)>0，紨得00的娇集为(---oo,-3)U(0,3).故答案为：（夕J,-3)U(0,3)43.(2021·四川青羊树德中学高三月考（理））北宋著名建筑学家李诫编写了一部记录中国古代建筑营造规范的书《营造法式》，其中说到“方一百，其斜一百四十有一“，即一个正方形的边长与它的对角线的比是1:1.414,接近1．五如图，该图由等腰直角三角形拼接而成，以每个等腰直角三角形斜边中点作为圆心，斜边的一半为半径作一个圆心角是90°的圆弧，所得弧线称为5螺旋线，称公比为5的数列为✓1等比数列．已知5等比数列{a,l}的前n项和为Sn，满足Sn+i=2S,,+2(1＋丘）若丸＝log..fia,,,且2;,10区1=l4b,2-l则A的最小整数为．（参考数据：lg2""'0.3010,lg3""'0.4771)【答案】5【分析】61人~n=l求出al'由等比数列的通项公式求出an，从而求出b,』，再由裂项柜消法求和得出2－—，根据对I=14b,2-l数的运纬即可求解【详解】令n=l,则S3=2S1+2(1＋五），即a1+a产生＝2a1+2伈句，所以a1+Cli•✓2+a1•2=2a1+2伈句，解得a1=2,所以a"=a1·(✓2厂＝（句'1+1'所以b,,=log拉a,,=n+l,

422ll'=14b,2-l4b12-l4b22-l4b:-l(2b1+1)(2b1-l).(2b2+1}(2b2-l).(2b6+1)(2b6-1)11=-+-+···3x55x713xl5lllllll2=-2(~-3--5+.-5--7.+···—13-—I5)J=—15'所以—,，10仁5'15即,l-5;;:::lg—=lg2-Lg15=lg2-(lg3+lg5)=lg2-(lg3+J-lg2),15即入;;:::2lg2-lg3+4i>::4.1249,所以入的最小整数为5.故答案为：544.(2021·四川青羊树德中学高三月考（理））已知定义在R上的函数f(x)>0,满足f(x)·f(x+2)=4,且VxE[—1,1),f(x)·f(-x)=4,当—l~x~O时，J、（x)=rx+k(k为常数），关千X的方程f(x)-loga(x+l)=l(a<8且a#l)有且只有3个不同的根，则能推出下列正确的是（请填写正确的编号）．＠函数．f(x)的周期T=2®f(x)在[-1,l]单调递减@f(x)的图象关千直线x=l对称＠实数a的取值范围是(2,2✓2)【答案】©©@【分析】根据函数基本性阮，逐项分析判断即可得解．【详解】巾f(x)·f(x+2)=4知f(x-2)·f(x)=4,所以f(x+2)=f(x-2)，周期T=4,令x=O,则f(0)=2,所以l+k=2,解得k=L即当—L~x~O时，f(x)=rx+1,

434f(-1)=3，所以f(1)＝一，且PT'1=2,＠错误；3所以当—l~x~O时，f(x)=Tx+1是个减函数，f(x)~2;当0＜立1时，－1~一X<0,f(-X)=2x+1,f(x)=4=4炬个减函数l，—4::c;f(x)＜<2;f(-x)2'+13可知．f(x)在[-1,1]单调递减，＠正确；当xE[l,3]时，x-2E[-1,1],-x+2e[-l,l]，得f(x-2)、f(-x+2)=4,f(x)·f(-x)=~-~=4f(x-2)f(-x+2)'所以在区间[-1,3]上，f(x)·f(-x)=4,又f(x)·J(x+2)=4,得f(-x)=f(x+2),即f(x)的图象关于白线x=I对称，由周期性可知f(x)在R上的图象关于直线x=I对称，故＠正确；由题总知y=f(x)—l与g(x)=log,,(x+I)(a<8!=I.a*I)有目只有3个公共点，作小函数y=f(x)-l图象，有极大值点x=3,7,II,l极小值点x=l,5,9,，极大值为2,极小值为—,34'F-Y32y=f(x)-1-4-3-2-1234g(x)=loga(x+l)-2-3-4

44g(x)为减函数时不合题意，所以g(x)为增函数，ln2ln21由a<8得g(1)=log02=—>—=-,Inaln83由题意知g(3)<2且g(7)>2,即log04<2且loga8>2,所以2

4546.(2021·广西桂林高三月考（理））对于下列命题：＠已知一1:s;x+y::;3,1父一正5,则2x-y的取值范围是[1,9];＠已知a,b为非零实数，且ab>c;＠若不等式2x-I>m(x2-I)对满足lml:S2的所有m都成立，则x的取值范围是［气—l』52+l)．其中正确的命题为..（把你认为正确的都填上）【答案】0@【分析】应用不等式的性质判断CD＠，根据对数函数和指数函数的性质判断＠，利用不等式恒成立的思想判断＠．【详解】ll33315对千CD,·:-1::;;x+y至3,l$X-y三5,．．．一一::;;-::-(x+y)::;;一，一三—(x-y)::;;—,222222：．相加得1::;;2x一）飞9'所以CD正确；对于＠，当a=-5,b=3时，a2>护，所以＠错误；0.5I对千＠，飞）>O,a=log广＝－log53

46较，如0,l等(3)不等式恒成立时，注意恒成立的变量，本题中关千变散皿陌成立，而对m，来讲，是一次函数形式，这样结合一次函数的单调性易得不等关系．这是数学解题中的主元思想．47.(2021北京市顺义区第一中学高三月考）设函数，f(x)的定义域为D,若对千任意XED,存在yED,f(x)-f(y)使＝C(C为常数）成立，则称函数J(x)在D上的“半差值”为C．下列四个函数中，满足所在定义域上“半差值”为2的函数是（填上所有满足条件的函数序号）·(i)y=e·'(x+l);@y=x3-I;@y=log2x;@y=sinx.【答案】＠©【分析】根据定义，结合函数的值域逐一判断即可【详解】CD:y=e-"(x+I）⇒y＝矿(x+2)，>-1,x>-2时，y>0,该函数此时单调递增，当x<-2时，y<0,该函数此时单调递减，所以当x=-2时，函数有砓小值－e-2'f(x)-f(y)若y=e人．（x+l)是“半差值为2的由数，囚此有欢ER,存在yER，使＝2成立，即f(x)=f(y)+4,2f(x)-f(y)对千VxeR,f(x)~-e一2'而f(y)+4~-e一2+4,显然VxeR,不一定存在yER'使＝2成立，2故本函数不符合题意；f(x)-f(y)＠：因为函数y=x3-l的值域是全体实数集，所以对千任意xeR,存在yER，使＝2成立，符2合题意；f(x)-f(y)＠：因为函数y=log2x的的值域是全体实数栠，所以对十任意XER+，存在yER+，使＝2成立，2符合题意f(x)-/(y)＠）：若y=sinx是实数栠卜的“半差值”为2的函数，因此有VxER，存在yER，使＝2成立，即2f(x)=f(y)+4,对十VxeR,-1::s;/(x）引，而3s;J(y)+4:s;5,显然f(x)=f(y)+4抇不成立，故假设不成Tl.,所以本函数不符合题意，故答案为：@@【点睛】关键点睛：理解题中定义，根据函数的值域解题是关键．48.(2021盐城市伍佑中学高三月考）已知AM,BN分别为圆01:(x+1)2+y2=1与O2:（x-2)2+）12=4的

47直径，则心矿v的取值范围为.【答案】[0,8]##【分析】_➔➔根据平面向昼的加法法则可知心＝A01+0f)2+07B•MN=MO1+0102+0:N，代入心门；N中化简整理后得心矿N=9—|A加o:B|2，将平面向压进行平移后运算可推出IA01+07BIE[I•3]，从而得解．【详解】解：根据题慈，作出如下所示的图形，➔呻叫➔呻呻叫➔AB·MN=(AO,+0,02+028)·(MO,+0,02+02N)=[OP-2+(A-q+0-2B)」［qo-2-(Aq+OzB)]---,2➔...➔一;➔->=0,02-(A0,+02B)2=9-(A0,+02B)2=9-1A0,+02B!2一分2+1]=[I,3],而IAq+qBle[2-l•··AB-MN-...efO,8].故答案为：[0,8)49.则函数(2021y=盐城市伍佑中学高f（气）＋smx+co三月考sx的最大值为）已知函数f(x)=Asin（叭+rp)(A>O,@>O,lrp忭巴的图象如图所示，.2)yX冗＿6【答案】✓2+1##l+5

48【分析】根据图象求得函数y=f(x)的解析式，化简函数y=1(x-i)+sinx+cosx的解析式，令t=sinX+cosXE[－五5]，可得sin2x=t2-1,将函数转化为关千t的二次函数，利用二次记数的性质可求得该函数的最大仙【详解】由图象可得A=f(x)max=1,函数y=J(x)的砓小正屈期为T=2x(：＋勹＝兀，所以{J)=竺＝兰＝2,36T兀则j、(x)=sin(2x＋列，归f门）＝sin[2x门）叶＝sin（三）＝0所以0－巴＝2krc(kEZ)，即o=王+2krc(kEZ),33兀一兀=由千1例＜一，所以k=O,。,32所以f冗因为f(x)（气］＋=sin(2x+smx+3:osx=sm—,［卢汇］＋smx+COSX=sin2x+sinx+cosx,令t=sinx+cosx＝五sin(x＋旰［－五迈］，则t2=.I+sin2x，可得sin2x=!2-1,所以y=t2+t-l=(t＋勹－？，2J4因为tE[－拉，五］，所以当t=5时，函数y=t2+t-1取最大值丘I,即y=.f（气）＋sinx+cosx的最大值为✓2+1,故答案为：J+1.50.(2021·北京市第一六一中学高三月考）不等式－－ax-2>0对VxE(O,-t<对恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】（女，－1)

49【分析】l2l2转化为a<了-－在（0，长叶上恒成守，求出f(x)＝-－－的最小仙即可xxx-x【详解】ll2解：依题意，ax<—-2,即a<了-－在(O,+oo)上恒成寸，Xx-X2l21又f(x)＝了了仁－l）-1之一1(x>O),:.a<-1.故答案为：（女，－1)51.(2021河南洛阳高三期中（文））已知直线l与抛物线C:y2=x交千A,B两点且线段AB的中点在直线）1=1上，若忒·祝仁0(0为坐标原点），则“AOB的面积为.【答案】＄【分析】设出直线l的方程x=my+t（丘0)'与抛物线方程联立，消元，写韦达：根据题意求出m,t的值；然后求弦剧ABI和原点到直线l的距离，从而可求出"AOB的面积【详解】由题意知：且线l的斜率不为o,所以设直线l的方程为x=my+t（丘o),山{x=2my+t，消X得y2-my-t=O,y=x设A(xi,y1),B(Xi,Y2)，则Y,+Y2=m,YiY2=-t,~=m2+4t>0,因为线段AB的中点在直线y=l上，所以Yi+Y2=2,即m=2,因为m.页仁0,所以x凸＋y心＝Y,Y2+(myi+t)(my2+t)=Y1Y2+m2汃Y2+mt(y1＋汾＋t2=Y1Y2+4Y1Y2+2tX2+t2=t2-t=0'解得t=l或1=0（含），所以Yi+Y2=2,YiY2=-1,直线l的方程为x=2y+l,所以IABI=』了小，五）2-4y心＝2而，|0-O-l|$原点0到直线l的距离为d==—-,§5

50ll石所以"'-AOB的面积为－xlABlxd=~x2Mx—-＝五2II25故答案为：石；．

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