(甘志国)蒙日圆及其证明

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1、蒙日圆及其证明22xy高考题(2014年高考广东卷文科、理科第20题)已知椭圆C:1(ab0)22ab5的一个焦点为(5,0)，离心率为．3(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x,y)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P00的轨迹方程．22xy22答案：(1)1；(2)xy13．94这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书《数学2·必修·A版》(人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷)第22页对画法几何的创始人蒙日(G.Monge，1

2、745-1818)作了介绍.以上高考题第(2)问的一般情形是22xy定理1曲线:1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆22ab2222xyab.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是(a,b)，或(a,b).当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是(x,y)(xa,且yb)，所以可设曲线的过点P的切线方程是000022xy1y

3、yk(xx)(k0).由22，得00abyyk(xx)00222222222(akb)x2ka(kxy)xa(kxy)ab000002222222由其判别式的值为0，得(xa)k2xykyb0(xa0)0000022yb0因为k,k是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以kkPAPBPAPB22xa02222由此，得kk1xyab进而可得欲证成立.PAPB00定理1的证法2当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的

4、坐标是(a,b)，或(a,b).当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是(x,y)(xa,且yb)，所以可设两个切点分别是A(x,y),B(x,y)(xxyy0).000011221212xxyyxxyyxxyy得直线AB:001，切线PA:111,PB:221.所以：222222ababab224bxbxbxxyyyy12121212kk,kkPAPBa2ya2ya4yyOAOBxxxx121212

5、124b4akkOAOBkkPAPB22xxyyxy因为点(x,y)(i1,2)既在曲线:1上又在直线AB:001上，所以ii2222abab2222xiyix0xy0y422yi22yi422a(yb)2abxyb(xa)0a2b2a2b20x00x0ii4b42222yyb(xa)a4yb1200所以kkkkOAOBxx422kkPAPB2212a(y0b)PAPBx0a2222由此，可得PAPBxya

6、b00进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理.引理1(椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-1·A版》(人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷)第76页)从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上(如图1所示).图1证明如图2所示，设P为椭圆(其左、右焦点分别是F,F)上任意给定的点，过12点P作FPF的外角平分线所在的直线l(34).先证明l和相切于点P，只要证12明l上异于P的点P都在椭圆

7、的外部，即证PFPFPFPF：1212图2在直线PF上选取点F，使PFPF，得PPF≌PPF，所以PFPF，还1222得PFPFPFPFFFFPPFPFPF1211112再过点P作FPF的平分线PA(12)，易得PAl，入射角等于反射角，这12就证得了引理1成立.引理2过椭圆(其中心是点O，长半轴长是a)的任一焦点F作椭圆的任意切线l的垂线，设垂足是H，则OHa.证明如图3所示，设点F,F分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆

8、的切线l上的切点，又设直线FH,FA交于点B.图3由引理1，得FAHlAFBAH(即反射角与入射角的余角相等)，进而可得FAH≌BAH，所以点H是FB的中点，得OH是BFF的中位线.又AFAB，所以11OH(FAAB)(FAAF)a.22引理3平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和.证明由余弦定理可证(这里略去过程).引理4设点P是矩形ABCD所在平面上一点，则2222.PAP