(甘志国)介绍18道日本高考数学题

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1、介绍18道日本高考数学题甘志国(已发表于数学教学，2015(9)：39-45)口木与中国虽同处亚洲，但在数学研究水平上却领先中国很远.1920年，从高木贞治(TakagiTeiji,1875-1960)解决了“克罗内克青春之梦”猜想开始，FI本走上了现代数学的世界舞台.国人熟知的H本数学家有陈建功(1893-1971)的老师藤原松三郎(MatsusaburoFujiwara,1881-1946)和苏步青(1902-2003)的老师洼田忠彦(TadahikoKubota,1885-1952).而示小平邦彦(Kuni

2、hikoKodaira,1915-1997)>广屮平祐(HeisukeHironaka,1931-)与森重文(MoriShigefumi,1951-)相继荣获菲尔茨奖.许多学者都认为21世纪的日本，将会成为世界的数学中心2—・我们与其羨慕Fl本的数学成就，倒不如借鉴一下他们的中学数学教育•Fl本大学入学考试分两次进行，第一次为全国统一考试，第二次为各大学H主招生考试.这一规定从1979年实施至今上【木的人学入学考试的难度与屮国相比有过之而无不及.特别是像东京人学和早稻出大学这样的著名大学，其入学竞争Z惨烈是外人无

3、法想象的.东义博主编的《300个tl本高考数学题》(哈尔滨工业大学出版社，2012年)涵盖了日本高中数学教科书《数学I》的全部棊础知识(共9部分)，书中的高考题全部是选择题或填空题，但选择题并不是屮国数学选择题的“四选一”模式，而是“多选多”.下面从屮精选出26道F1本高考数学题供读者欣赏,这对中国考生的高考(包括大学自主招生)是有所裨益的.1数、式的计算题1(1)10进制的数365如用2进制表示则是(®)位数，第五位数字是0).乂2进制的数1011用10进制表示，则是(qdj.⑵计算下列用7进制表示的数，在()

4、内填入适当的数值：423（7）+546（7）=1（讷）2（7）：1542仃）*36（7）=（qdj（7）…余（弓/J（7）•答案（1）q[…9•••0q…1%⑵坷・・・3勺・・・0C[・・・3d]・・・l®・・・3土・・・3题2设5-JJ的整数部分是d,小数部分是b,则。的值是(如，2R-值是©).答案a】…3b]…2解由可得a=3,方=2—徭.所以(1、(\2a3-=54-(1、+3h+-=54-43+3-4=2Ib)评注题1是〃进制问题，这种问题在中国高考中也出现过，比如2014年高考天津卷文、理倒数第二题

5、就是此内容.题2对于屮国考生来说已经是竞赛题了，也是考杳恒等变换、整体代换的好题目.2方程、不等式题3l+2i是实系数三次方程x3^-ax2+bx+c=0的根，乂知这个方程与方程x3+3x2+(b-4)x-b=0仅有一•个公共根，求它们的公共根和实系数ci,b,c的值，且把公共根按从小到大的顺序记.(1)当公共根是(a/i)时,则a=(

6、/).答案(1)°]L-h}L5C

7、L3〃

8、L-L5fL2L5(2)c/

9、勺…1C

10、d]…1弓…3•••5(3)6?

11、•••1b、q…3£…7弓…5解由l+2i是实系数三次方程x3+ax2+bx+c=0的根及实系数多项式的虚根成对出现知，可设x3+ax2+加+c=(兀一a)(兀一1一2i)(x一1+2i)得%3--cix1+Z?x+c=兀'-(6/+2)x2+(2g+5)x-5qa=-a一2,b=2a+5,c=-5a又x3+3x2+(h-4)x-h=(x-l)(x2+4兀+b)因为题中的两个一元三次方程仅有一

12、个公共根，所以这个公共根不可能是虚根(因为“虚根成对出现”)，所以公共根是a.当&=1时，得a=-^b=l,c=-5.还得方程x3+ax2+bx+c=0的根为1,1+2i,l-2i；方程x3+3兀$+@-4)x-/?=0的根为1,-2+V3i,-2-尽当GH1时，得6?+4©+/7=0.又b=2a+5,所以a=—1,—5.当a=-吋，得q=_1"=3,c=5.还得方程x^cix2+hx+c=0的根为—1,1+2i,l-2i；方程x3+3x2+(b_4)兀_b=0的根为1-1-3.当q=—5时，得a=3上=—5,

13、c=25.述得方程x3+ax2+bx+c=O的根为一5,1+2i,l-2i；方程x3+3x2+0-4)x-Z?=O的根为1,1-5.题4求正整数a,b,c,使得a/?c=d+Z?+c(aSbSc).若ah2,得4dbc=a+b+c53c,这不可能！所以a=i,2得be=1+b+c(2