(甘志国)谈谈人教版教材中函数极值的定义

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1、谈谈人教版教材中函数极值的定义甘志国(该文已发表中学数学杂志2011(5)：15-16)普通高中课程标准实验教科书《数学•选修2-2・A版》(人民教育岀版社，2007年第2版)(下简称《选修2・2》)第27页给出了函数极值的定义：定义1如图1,以两点为例，我们可以发现，函数y=/(X)在点兀二G的函数值/(g)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，fa)=0；而且在点点x=a附近的左侧fx)<0,右侧广(兀)>0.类似地,函数y=/(x)在点x=h的函数值/(/?)比它在点X=G附近其他点的函数值都大，fb)=0:而且在点点x=b附近的左侧fx)>0,右侧fx)<0•图

2、1我们把点Q叫做函数y=/(x)的极小值点，/⑷叫做函数y=/(x)的极小值；点b叫做函数y=/(x)的极大值点，/(/?)叫做函数y=的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值点统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.《选修2・2》第29页又作了以下说明：导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数/(x)=%3,……所以x=0不是函数/(x)=%3的极值点.一般地，函数y=/(x)在一点的导数值为0是函数y=/(x)在这点取极值的必耍条件，而非充分条件.一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是：解方程fx)=0.当/©o

3、)=0时:⑴如果在心附近的左侧f(x)>0,右侧fx)<0,那么/(兀。)是极大值；⑵如果在兀0附近的左侧fXx)<0,右侧>0,那么是极小值.显然，以上函数极值的定义是针対可导函数的，而在某些点不可导的函数也可以有极值，例如函数y=x（xeR）在兀=0处取极小值.但《选修2・2》并没有给出“可导函数”的定义，而是在第5页直接给出导数的定义：一般地，函数y=/（x）在x=处的瞬时变化率是lim乞=lim心心）-g山toAx山toAx我们称它为函数y=/（x）在兀=兀0处的导数，记作/©o）或彳円），即门％）=恤怂=lim如也匕如心->0心attoAr显然，《选修2・2》这样处理

4、的目的是为了帮助学生易于理解.但笔者认为这样不科学，至少没有注意定义的合理性，笔者建议把此定义改述为：一般地，若函数y=f{x）在x二兀（）处的瞬时变化率lim空=lim兀勺+心）一介。）心t（）Ayaxt（）4丫存在，我们就说函数y=/（x）在点兀（）处可导，并把这个瞬时变化率叫做函数y=/（x）在点x0处的导数，记作fx0）或yZ,即/U）=limAy=lim/Uo^）-/（xo）心toAx心->0Ax在本章（指《选修2-2》第一章）中，我们所研究的函数在定义域上的每一点都是可导的.在此约定下，《选修2・2》第一章后面的叙述都没有问题了，包括《选修2・2》第7页的叙述“我们

5、发现，当点代趋近于点P时，割线P代趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线”也是正确的（否则割线PPn不一定趋近于确定的位置）.我们再來看看全日制普通高级中学教科书《数学•第三册（选修II）》（2006年人民教育出版社）（下简称《选修II》）第141页给出的函数极值的定义：定义2—般地，设函数/（X）在点勺附近有定义，如果对兀附近的所有点都有/U）<（>）/（x0），我们就说/（%）是函数/（兀）的一个极大（小）值.极大值与极小值统称为极值.大学中的一些《数学分析》、《微积分》教材中也是这样定义极值的，比如樊映川等编的《高等数学讲义》（人民教育出版社，1964年第

6、2版）第305页的定义.首先，定义1与定义2中的“点的附近”意义不同：由定义1中的“f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小”知“点X=Q附近”包括点兀即指点X=Cl的一个无限小••的邻域；而定义2中的“点北附近”指点北的一个无限小的空心邻域.笔者认为，前者正确.即使按照后者的理解，定义也不不严谨.⑴由定义2知：常数函数/（%）=C是没有极值的，所以它在任何开区间上也无极值①又由上述《高等数学讲义》第311页的叙述（以下也是显然的事实）："设函数/（兀）在闭区间［⑦切上是连续的，则它的最大值及最小值必然是存在的.我们来讨论怎样求出最大值的方法（求最小值的方法也可同样讨论）.如

7、果函数在。与把b之间的某一点达到最大值，这个最大值显然也是极大值；但最大值也可以在区间的端点处达到，…”可知：在开区间上可导函数的最值一定是极值②又常数函数在任何开区间上都是可导的，所以由结论①②知：常数函数在开区I'可上没有最值③众所周知，函数的最大（小）值就是所有函数值屮最大（小）的，常数函数的最大值、最小值均存在，并且都是这个常数本身.这与③矛盾！这说明《选修II》中函数极值的定义不严谨，可修正为：一般地，设函数/（兀）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有点都有ZU）<