(甘志国)数列求和的七种基本方法

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1、数列求和的七种基本方法甘志国部分内容(已发表于数理天地(高中)，2014(11)：14-15)数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法.1运用公式法很多数列的前项和的求法，就是套等差、等比数列的公式，因此以下常用公式应当熟记：还要记住一些正整数的幂和公式：例1已知数列的前项和，求数列的前项和.解由,可得,，所以：(1)当时,=.(2)当时，所以例2求.解设，本题即求数列的前项和.高考题1(20

2、14年高考浙江卷文科第19题(部分))求数列的前项和.答案：.高考题2(2014年高考四川卷理科第19题(部分))求数列的前项和.答案：.高考题3(2014年高考福建卷文科第17题)在等比数列中，.(1)求；(2)设，求数列的前项和.答案：(1)；(2).高考题4(2014年高考重庆卷文科第16题)已知是首项为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.(1)求及；(2)设是首项为2的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和.答案：(1)；(2).2倒序相加法事实上，等差数列的前项和的公式推导方法就是倒序相加法.例3求正整

3、数与之间的分母为3的所有既约分数的和.解显然，这些既约分数为：有也有所以例4设，求和.解可先证得，由此结论用倒序相加法可求得答案为.3裂项相消法例5若是各项均不为0的等差数列，求证：.证明设等差数列的公差为：若，要证结论显然成立；若，得例8证明且.证明高考题5(2014年高考全国大纲卷理科第18题)等差数列的前项和为，已知，为整数，且.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.答案：(1)；(2).高考题6(2014年高考广东卷文科第19题)设各项均为正数的数列的前项和为，且满足.(1)求的值；(2)求数列的通项公

4、式；(3)证明：对一切正整数，有.答案：(1)；(2)；(3)当时，可得欲证成立.当时，，再用裂项相消法可得欲证.高考题7(2014年高考山东卷理科第19题)已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)令=求数列的前项和.答案：(1)，.4分组求和法例9求.解设，得.所以本题即求数列的前项和：例10设数列的前项和满足，又，求数列的前项和.解在中，令可求得.还可得相减，得所以是首项为1公差为2的等差数列，得所以当为偶数时，当为奇数时，总之，.高考题8(2014年高考北京卷文科第15题

5、)已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.(1)求数列和的通项公式；(2)求数列的前项和.答案：(1)；(2).高考题9(2014年高考山东卷文科第19题)在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.(1)求数列的通项公式；(2)设，记，求.答案：(1)，.高考题10(2014年高考浙江卷理科第19题(部分))求数列的前项和.答案：.5错位相减法高考题11(2014年高考江西卷理科第17题)已知首项都是1的两个数列N*)满足.(1)令，求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.解(1).(2)得.先写出的表达式

6、：①把此式两边都乘以公比3，得②①-②，得③④由等比数列的前项和公式，得⑤因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：(1)等式③右边前项的符号都是“+”，但最后一项是“—”；(2)当等式③右边的前项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变成等比数列(即等式④)，这增加了难度；(3)等式⑤中最后一步的变形(即合并)有难度.但这种方法(即错位相减法)又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频频出现就不足为怪了.考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到满分.这里笔者再给出一个小技巧——检验：算得了的表达

7、式后，一定要抽出万忙的时间检验一下是否正确，若它们均正确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查(重点是检查容易出错的三点)或重算.对于本题，已经算出了，所以.而由通项公式可知，所以求出的答案正确.高考题12(2014年高考课标全国卷I文科第17题)已知是递增的等差数列，是方程的根.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.答案：(1).(2)用错位相减法可求得答案为.高考题13(2014年高考安徽卷文科第18题)数列满足N*.(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求数列的前项和.答案：(1)略.(2)由(1

8、)可求得，所以，再用错位相减法可求得.高考题14(2014年高考四川卷文科第19题)设等差数列的公差为，点在函数的图象上N*).(1)证明：数列为等比数列；(2)若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.答案：(1)略.(2)可求得，所以，再用错位相减法可求得.高考题15(2014年高考四川卷理科第19题)设等差数