(甘志国)逆用无穷递缩等比数列各项和公式证明数列不等式

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1、逆用无穷递缩等比数列各项和公式证明数列不等式甘志国(该文已发表中小学数学(高中)，2011(7-8)：78-80)我们知道，对于无穷递缩等比数列，有笔者发现，有不少证明数列不等式的高考题若逆用此公式来证，将变得非常简洁自然.例1(2002·全国·理·22(2))设数列满足N).当N时，证明：①；②.解①用数学归纳法可证，这里略去.②下面证明.逆用无穷递缩等比数列各项和的公式，得所以只需证明，即.而这用数学归纳法可证：当时成立：.假设时成立：.由(用结论①)，得得时也成立.所以欲证成立.例2(2006·天津·理·

2、21)已知数列满足，，常数).(1)若成等比数列，求的值；(2)当时，证明：N)；(3)当时，证明：N).解(1)(过程略).(2)由，得数列是首项为，公比为的等比数列，所以N)，又由及数学归纳法可证得N).由，得由N)(因为时也成立)，及数学归纳法可证得N).所以N)，从而可得N).(3)由知，只需证明.在(2)中已证得N)，所以只需证明N).运用(2)的结论及数学归纳法可证得N)，所以只需证明N)，而这正是(2)的结论，所以结论(3)成立.例3(2008·浙江·理·22)已知数列满足,，记，.求证：当时，(

3、1)；(2)；(3).证明(1)用数学归纳法来证.当时，因为是方程的正根，所以0=.假设当时，.因为>0，所以.即当时，也成立.所以要证结论成立.(2)由，()，累加得=0所以.由及得，所以.(3)即证只需证明，证明如下：由，得，所以(因为已证)所以欲证成立.例4(2004·全国卷III·理·22(3)的等价命题)设N*)，求证.分析1可得.设得.若能证得N*)①恒成立，便得但①不可能恒成立，因为它等价于N*)恒成立.但当时，上式左边，右边.分析2即证.可得若能证得N*)②恒成立，便得，但②不可能恒成立，因为可

4、以验证时就不成立.分析3即证.可得若能证得N*)③恒成立，便得.证明如下：即证N*)只需证明N*)而这用数学归纳法极易获证.所以，欲证成立.例5(2009·四川·理·22(2))设，求证.证明只需证明N*时成立.易证N*)，所以例6(2007·四川·文·22(3))求证：.证明只需证明N*时成立.此时，可证，所以例7(2010年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验理科第20题第(2)小题)求证：.证明只需证明N*时成立.此时，有，所以请读者注意，有些不等式不能用以上方法来证，兹举一例.例8(2006·全国卷I·

5、理·22(2))设N*)，求证.证明设，即证.可得所以，可猜测.容易用数学归纳法证得此结论成立，从而可得.注若能用以上方法证得即能证得N*)时，时也成立)又所以须证而该式在时不可能恒成立，因为当时，上式左边，右边(因为).这就说明用以上方法不能证得例8的结论.例9(2012年全国高中数学联赛陕西赛区预赛第五题)对于任意的正整数，证明：.证明记N*)，得N*)所以例10(2012·广东·理19(3))证明：N*).证明因为，所以只需证明N*)即证N*)所以欲证成立.