★应用切线方程证明不等式

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1、2009年第4期中学数学研究45应用切线方程证明不等式广东省工业贸易职业技术学校(528237)张宏小等式的解法多种多样，本文介绍用切线的方程证明不等式，下面以例子说明使用方法．等式变为：南++≥9．设例1(1996年波兰数学竞赛题)已知a，b，c≥一÷，且n+6+c=1，求证：++)=志，0<

2、等式：18x一39x+20x一3≤0，用例1的除法可得：18x一39x+20x一3=(3x~lJg()=(一÷)+而3=18+3．一1)(2x一3)≤0．所以(2)式成立．从而a)+b)+-厂(c)≥9(口+b+c)3现证：≤+33一，≥一，(1)．去分母)+-厂(c)≥下(口++c)一x3=詈二A．例3(1997年日本数学奥林匹克题)已知rz，并化简，得等价的不等式：36x+3x一14x+3≥0，用多项式除法可得36x+3x一14x+3=(3x一，求证：等+等+1)(4+3)≥0，所以(1)式成立，从而0)+6)+c)≤18(Ⅱ+6+c)+3×3：18+9

3、=而9≥÷．，证明：因不等式是齐次的不等式，可设a+b+c原不等式得证．例2已知a,b,c>0，求证：南+=1，原不等式变为：++≥．设=，+≥丽‘分析：不等式两边同乘以0+b+c，得齐次不等0<<1测÷)=了1)=丽，式：∑≥9，∑表示循环和，把项中厂(÷)：一54)在=÷处的切线方程是：g()的分子、分母同除以(。+b+C)，得等价不等式：=一(一÷)+=一+．∑辛I+J现证：≥一+筹，0<<-，≥号．令=。，，=：c，(3)．去分母并移项、化简，得等价的不等式：54x。一27x+1≥0，用例1的除法可得：54x。一27x+1：得∑≥9j,~_L5Z≥(

4、3x一1)(6x+1)≥0．所以(3)式成立，从而-厂(口)U+6)+c)≥一(口+6+c)+23×3：形式完全一样，但多了一个条件：口+b+c=1．．A证明：如果不等式两边同乘以+b+C，则将得例4已知口，b，c是三角形的三边，求证：中学数学研究2009年第4期在=1处的切线方程是：g()=51—===二二二≥√3．一．√l26+2c一02证明：设a=，b=，c=z，则不等式变为：现证：6。一≥一，0<<1，(6)．∑√≥，由于根号里面是齐次的分8一8x一5x+1=(4x一1)(3+1)≥0，所以(6)式成立，从而a)+b)+c)+，(d)≥式，因此可设+

5、Y+=1，得等价的不等式：∑詈(。+6+c+d)一÷×4≥詈×一詈=吉．√丁≥，即∑√≥，设)由以上的例子可以看出，解题的要点就是先求切线方程，再用切线的方程去证明不等式，而求切=√，0<<了2，则了1)=譬()=线的方程可在草稿纸里完成，这样解题过程更简洁，下面提供几道可以使用本方法解证的题目．√(3)=)在=了1处1．已知x,y,z≤l，且+y+z=1，求证：的切线方程是：g()=(一÷)+√T3=．1127+了+了≤’现证：√≥，0<<了2，(4)．两边平2．(2003年湖南省高中数学竞赛题)设，y,z均为正实数，且+Y+z=1，求三元函数，y，z)方

6、并去分母、化简，得等价的不等式：9x一6x+1≥0，因9一6x+1=(3x一1)≥0，所以(4)式成立，：=塾—1——+—+孚—1L—+——v+莩—l——+—的～I最蕞～小／⋯l、值1目，．并开⋯给绺H出卅一证1～卜从而_厂()+y)+)≥(+Y+z)=明．例5(1999年白俄罗斯数学竞赛题)已知a，3．(《中等数学}}1996(2)数学奥林匹克问题b，c>0，且a+b+c=3．40)已知，y，>0，求证：++++≥丢．≤证明：ab+bc+ca≤a+b+c=3．设ab=，÷．6cy，cⅡ=z，则+y+≤3，原不等式变为：4．(2006年，第2届北方数学奥林匹

7、克题)已知正数。，6，c满足+6+c=3，求证：3十+≥．设=l'o<<3,N+x1)=1()=一{(1)=一÷)在+丽+丽≤5‘5．(2003年美国数学奥林匹克题)已知a，b，C=1处的切线方程是：g()=一1+3．求证：告等+等+现证：r≥一}+丢，0<<3，(5)．化简，得等价的不等式：一2x+1≥0，因一2x+1=(一1)≥0，所以(5)式成立，从而)+_厂(y)+6．已知口，6，c>0，求证：(2a)+()+z)≥一1(+y+)+3×3≥寻．()例6(第8届香港数学奥林匹克题)已知a，b，7．已知正数，Y，满足+Y+=1，求证：c，d>0，且口+b

8、+c+d=1，求证：6(a+b+c+d)≥(a+b+