利用切线方程证明不等式

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1、万方数据6中等数学利用切线方程证明不等式(本讲适合高中)张宏(广东省：f业贸易职业技术学校，528237)笔者经过研究发现，对满足条件∑毛=I：lA(≥A，≤，4)，形如∑厂(xi)≥M(≤M)(A、f=I肘为常数)的不等式，利用切线方程证明足一个很好的方法．1直接使用例1已知口、6、c、d>0。且o+6+c+收确rI期：加09一Ol一05修InlH期：20019一f)2—06d=1．求证：∑nb≤髻(记“∑”表示循环求和，下同)⋯．证明：设／(算)：F与(o<茗<1)．则l+Z“{y=嚣，厂7(茁)=一百T{?主丁户，／7(丢)=一怒．于是，∥算)在并：{处的切线方程为

2、(提示：设这个整数足算．则357=似+r．262=缸+r。205：a+r．所以。(口一6)工=95．(6一c)写=57，即鼻是95、57的公约数，．故』=19．)5．已知口、6都是整数．求证：口+6、乜6、口一6这三个数中．至少有一个是3的倍数．(提示：分6=3凡、3，l+l、3n+2这三种情况讨论．)6．证明：没彳丁整数茗．y，使工2+，，2=l995．(提示：假没有整数石、y，使z2+y2=l995．当善=2，n，’，=2，l时，l995=石2+’，2=4(m2+n2)，所以。411995，矛盾；当工=2，n—I，，·=2疗时．1995=z2+v2=l+4(，n2一，

3、n+几2)，所以，4Il994，矛盾；当善=2m，v=2，l—l时．1995=石2+y2=l+4(，n2+n2一凡)．所以，4Il994．矛盾；当戈=2，n一1，y=2几一l时，1995=石2+’，2=2+4(m2一，n+凡2一n)．所以，4fl993，矛盾．)7．如果Jp、q都是质数，且7p+q与加+11也足质数．试求矿+矿的值．(1997，湖北省荆州市初中数学竞赛)(提示：因7JI，‘q是质数，且7P+q>7，所以，7，+q为奇数．从『n『．Jf)、g不Ilj：I奇偶．如果ID为偶数，则P=2．由题意知14+q、2q+IJ都是质数。所以。14+q≠0(m0(I3)，2

4、口+lI≠0(mod3)，即q≠l(m0(I3)，口≠2(mod3)．故q兰0(mod3)．从而，g=3．此时，_p-+qP=?+32=17．如果q为偶数，则叮=2．由题意知7Ip+2、2口+J1都是质数，所以，7lc，+2≠0(删3)，2p十ll≠0(mo【l3)，即．D≠l(Ⅱ10d3)，p≠2(Ir·od3)．故_D兰0(呻)d3)．从而．1p=3．此时，矿+qP=23+32=17．)万方数据2009年第4期7咖)=厂’({)(筇一{)+“丢)，即小)=一怒(石一去)+筹76843522一硒z+轭瑟‘先证：南≤一怒x+攥(o<川)．①式①斟225≤(一768名+43

5、52)(1+戈3)硝68茁4—435223+768石一127≤0．由因式分解得768石4—4352省3+768石一127=(4戈一1)2(48戈2—248石一127)=(4算一I)2[8互(6工一31)一127]≤(4戈一1)2(0一127)≤O．．从而，式①成立．故∑击≤一惹∑口+怒∑-768．．4352．2562一硒×I+硒×42丽‘因此，原不等式成立．例1是直接利用切线方程证明不等式，虽然数字有些大，因由简单的运算而来，并不显得复杂．利用切线方程证明不等式的可贵之处在于．有的不等式经过变换或缩放后同样叮使JfJ该方法求证．2变换后使用利用切线方程证明不等式，要求不等

6、式的条件必须符合≥：童产A(≥A，≤A)，如果甬不符合，则要作适当的变量替换，有时要先对条件进行缩放，再作替换．例2已知毛>0(i=l，2，3。4，5)，且S-5一善忐=l冰证：善忐刮·(2003．中国西部数学奥林匹克)分析：条件不符合要求．令rL=口。(i；l，2，3，4，5)．则原条件5变为∑口．=l，此时符合要求j：l证明：令忐=“㈧，2，3，4，5)．贝Ij4+算：一4+(去一，)2—2一ni5口：一2Ⅱi+l‘于是，原小等式寺价于y-竽?‘≤1．惫l5口j一2ni+1⋯设八石)=旁专暑(o<石<1)．贝IJ“喜)={∥㈨=番鼍赫，7(吾)=丢．于是，“算)在筇=

7、{处的切线方程为gcz)=罢(石一{)+{=寻算+嘉．’先证：焘≤号工+嘉(o<鼻<1)．①注意到式q枷(石一茗2)≤(15石+1)(5冀2—2x+I)亡亭75茗3—5石2—7x+l≥0亡争(5z—1)2(3石+1)≥0，而最后一式显然成立．所以，式①成立．故蚤赫≤号塾+嘉耋-=寻m刍x5=-．因此，原不等式得证．例3已知口、6、c>0，且口4+64+c4=3．求证：∑南≤1．哦，L一=j”上嘶，∑川0>瓢毗万方数据8中等数学(2005，摩尔多瓦选拔贾)分析：由04、64、c4到曲、6c、∞，联想到不等式口2+62+c2≥曲+