利用切线方程证明不等式 张宏

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1、6中等数学利用切线方程证明不等式张
宏(广东省工业贸易职业技术学校,528237)

(本讲适合高中)1256d=1.求证:
3
(记


表示循n1+a65笔者经过研究发现,对满足条件
xi=[1]环求和,下同).i=1n1A(
A,
A),形如
f(xi)
M(
M)(A、证明:设f(x)=3(00,且a+b+c+于是,f(x)

2、在x=4处的切线方程为

收稿日期:2009-01-05
修回日期:2009-02-06

(提示:设这个整数是x.则当x=2m-1,y=2n-1时,2222357=ax+r,262=bx+r,205=cx+r.1995=x+y=2+4(m-m+n-n),所以,(a-b)x=95,(b-c)x=57,即x所以,4

3、1993,矛盾.)是95、57的公约数.故x=19.)7.如果p、q都是质数,且7p+q与pq+qp5.已知a、b都是整数.求证:a+b、ab、11也是质数,试求p+q的值.a-b这三个数中,至少有一个是3的倍数.(19

4、97,湖北省荆州市初中数学竞赛)(提示:分b=3n、3n+1、3n+2这三种(提示:因7p+q是质数,且7p+q>7,情况讨论.)所以,7p+q为奇数.从而,p、q不同奇偶.6.证明:没有整数x、y,使如果p为偶数,则p=2.由题意知14+22x+y=1995.q、2q+11都是质数,所以,(提示:假设有整数x、y,使14+q
0(mod3),2q+11
0(mod3),22x+y=1995.即
q
1(mod3),q
2(mod3).当x=2m,y=2n时,故q
0(mod3).从而,q=3.22221995=x+y=4(m+n

5、),qp32此时,p+q=2+3=17.所以,4

6、1995,矛盾;如果q为偶数,则q=2.由题意知7p+当x=2m-1,y=2n时,2、2p+11都是质数,所以,22221995=x+y=1+4(m-m+n),7p+2
0(mod3),2p+11
0(mod3),所以,4

7、1994,矛盾;即
p
1(mod3),p
2(mod3).当x=2m,y=2n-1时,2222故p
0(mod3).从而,p=3.1995=x+y=1+4(m+n-n),qp32此时,p+q=2+3=17.)所以,4

8、1994,矛盾;2009年第4期75111

9、g(x)=f
x-+f,变为ai=1,此时符合要求.444
i=17681641即
g(x)=-4225x-4+65证明:令=ai(i=1,2,3,4,5).则1+xi76843525=-x+.42254225ai>0,
ai=1,i=1先证:117684352-123
-x+(0

10、43
2
1.768x-4352x+768x-127i=15ai-2ai+122=(4x-1)(48x-248x-127)2x-x2设f(x)=2(0

11、131g(x)=x-+=x+.455420例1是直接利用切线方程证明不等式,2x-x31虽然数字有些大,因由简单的运算而来,并不先证:2
x+(0

12、52i=1ai-ai不符合,则要作适当的变量替换,有时要先对故
2i=15ai-2ai+1条件进行缩放,再作替换.5531例2
已知x
ai+1i>0(i=1,2,3,4,5),且4
20
i=1i=1551xi
1.31
1+x=1.求证:
2=