一类拟分圆函数域的Galois群和亏格

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1、一类拟分圆函数域的群和亏格一申请清华大学理学硕士学位论文培养单位数学科学系学科数学研究生沙敏指导教师印林生教授二一年六月关于学位论文使用授权的说明本人完全了解清华大学有关保留、使用学位论文的规定,即清华大学拥有在著作权法规定范围内学位论文的使用权,其中包括已获学位的研究生必须按学校规定提交学位论文,学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生上交的学位论文为教学和科研目的,学校可以将公开的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所供校内师生阅读,或在校园网上供校内师生浏览部分内容。本人保证遵守上述规定。保密

2、的论文在解密后应遵守此规定作者签名导师签名日期日期摘要富任石丁门七在代数函数域的数论中,研究最多而且结果最完备的是二次函数域和分圆函数域。关于它们有很丰富的理论,但还没有一类我们非常了解的非函数域。于是构造一类非函数域并研究它们的数论性质就显得很有意义了。我们称常数域为元有限域的分圆函数域上的一个一次扩张为拟分圆函数域,如果它作为有理函数域上的扩张既是的又是非的。虽然我们还不知道所有的拟分圆函数域,但和在」中利用」和」的工作显式地构造了一大类的拟分圆函数域。对于这一类拟分圆函数域,本文决定了它们作为有理函

3、数域上的域扩张的群,并给出了它们的亏格公式。对于这一类拟分圆函数域,我们先将分圆函数域的群分解为它的一子群和另一个由有限个元素生成的子群的直积,然后我们沿用「的方法,并利用」和」的结果把这有限个生成元提升到拟分圆函数域的群里,并计算这些提升的阶以及它们之间的生成关系,刚好拟分圆函数域的群可以分解为它的一子群和由这些提升生成的子群的直积。为了得到它们的亏格公式,我们先利用一定理和」中的结果得到分圆函数域的亏格公式,然后利用扩张的亏格公式,就得到了所需的亏格公式。关键词分圆函数域拟分圆函数域群亏格Abstra

4、ctAbstr8CtInnumbertheoryoffunctionfields,,一,一己一一,一,',,一己一,一,一,一一,一,'一目录目录第章引言……选题背景及意义……文献综述……本文结构与方法……第章群……第章亏格公式……第章一般情形……第章结论……参考文献……致谢与声明……个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果……主要符号对照表主要符号对照表元有限域、上的有理函数域、多项式环凡」中乘法群的元素个数,为非常数的多项式模的周期指数函数、」中的非常数的首一多项式分圆函数域拟分圆函数域域扩张的群域

5、扩张元的群群的阶的亏格元元的亏格第章引言第章引言选题背景及意义在代数函数域的数论中,研究最多而且结果最完备的是二次函数域和分圆函数域,它们都是函数域。关于它们有很丰富的理论,但还没有一类我们非常了解的非函数域。于是构造一类非函数域并研究它们的数论性质就显得很有意义了。我们称一个分圆函数域的一次扩张为一个拟分圆函数域,如果它作为有理函数域、上的扩张,既是扩张又是非扩张。虽然我们还不知道所有的拟分圆函数域,但和利用和的工作在中显式地构造了一大类的拟分圆函数域。在本文中,我们就来研究这类拟分圆函数域的群和亏格。

6、文献综述实际上,数域的情形也有相应的拟分圆域的概念,它首次在」中被提出来,即是指分圆域上的二次扩张,如果它作为有理数域上的扩张即是的又是非的。实际上」直接利用」的主要结果显式地构造了所有的拟分圆域,并且」还研究了拟分圆域的很多数论性质。不管是」的拟分圆域的构造,还是」的拟分圆函数域的构造,都来源于数域和函数域的覆盖理论。我们就从这里开始讲起。令只是由等价类「生成的自由群。令是只模掉由所有形如「一艺。。「的元素生成的子群所得到的商群,并称之为泛常分布,其中为正整数。令一是只模掉由所有形如「一艺。。「」和形如

7、「「一的元素生成的子群所得到的商群,并称之为泛奇分布。在」和」中,对一做了大量研究。事实上,他证明了一的扭子群可以被零化。第章引言构造了一组双复形,并得到了一的扭子群的一组由偶数个素数标定的自然基。。提出了二次覆盖的概念,并利用在中提出的双复形的方法,用代数一单项式和一单项式构造了某些分圆域的一些二次覆盖。简述如下。在中,定义了一个只加满足才气了汀,乃曰且一,且,且,︸加,况的唯一群同态,这里是在复数域中的极大扩张的乘法群。对任意只,称为的一单项式。设艺,只是一中某扭元的代表元,令是,的分母的最小公倍数,

8、并且是奇数。证明了域扩张如犷而丽是扩张以及当是被个以上奇素数标定的自然基时,如犷而丽是扩张,这里如一。舞。而当被两个奇素数、标定的自然基时,具有以下形式一、、一客一劫一念护一会扒举例证明了如犷而丽可以不是扩张。基于此,提出了域扩张的二次覆盖的概念。即一个至多二次的域扩张元,使得无是扩张。例如上面的而而就是域扩张的一个二次覆盖。`将娜、与二次互反律联系起来,证明了存在无限多素数介,使得愉、,栖瓦是非扩张。令`是域扩张的所有二次覆