一类Reinhardt域上的Bergman核函数与陆启铿猜想

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1、摘要IIIofzerosoftheBergmankernelfunctionon日(Ⅳ’1，l；EP)，日(Ⅳ'1，2；KP)andH(N，2，l；K，P)．Keywords：Reinhardtdomain，Bergmankernelfunction，LuQi—kengdomain．首都师范大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承

2、担。学位论文作者签名张讳H期山唧年S月22日首都师范大学学位论文授权使用声明本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学{讧论文在解密后适用本规定。学位论文作者签名：擞／i韦日期：2q踊：朔如归序言Bergman核函数的概念是波兰著名数学家S．Bergman于20世纪20年代在研究平面区域n上的正交展开时引进的[1】，它恰好是平方可积函数空

3、间到平方可积的全纯函数子空闻的正交射影的再生核．1933年，Bergman又把这—理论推广到多变量的情形．Bergman核函数有着非常丰富的性质，在微分几何．函数空间，积分表示．数学物理等领域都有重要的应用．例如，我们可以通过Bergman核函数在有界域上引进Bergman度量，判断—个域是否是陆启铿域，常常会用到其Bergman核函数的显表达式【6J．我们已经知道，c'l中的任一有界域，都存在唯一的Bergman核函数．但能够显式求出Bergman核函数的有界域并不多．所以如何显式求出Bergman核函数是个很重要的问题，至今仍吸引着数学家的研究．由于从K1(。，孑)很容易得

4、到‰(o，-0，因而下面我们只考虑K(。，孑)．设如是n的一个固定点，W=F(2)是n的全纯自同构变换，它把Zo映为矗，设如(o)是此变换的Jacobian矩阵，令det表示行列式，则有；g,(zo，丽)=j％‰，劢IdetJF(幻)12．(1)若n是个可递域，则Zo可以是n内任意一点而再以z表之，就得到如何求可递域n的Bergman核函数的公式：j如(z，-)=CIdetJr(。o)12}m一(2)以上两式都可以用来求Bergman核函数的显表达式．对有界对称的齐性域，华罗庚利用(2)式得到了四类Cartan域的Bergman核函数的显表达式【7】，这种计算Bergman核函

5、数的方法我们称之为华方法；而对于16维和27维例外域，殷慰萍利用华方法也得到了它们的Bergman核函数的显表达式【81．2序言对非对称的有界齐性域，因为它全纯等价于Siegel域，Gindikin利用复幂函数的概念给出了齐性Siegel域Bergman核函数的显表达式【9】；许以超得到了N—Siegel域的Bergman核函数的显表达式【lo】．综上所述可知，对任意的有界齐性域，如果它的全纯自同构群已知，利用华方法我们就可以得到其Bergman核函数的显表达式．除了齐性域，还有很多域的Bergman核函数的显表达式被求出，比如蛋型域，由于它是包含原点为中心的Reinhardt

6、域，而它的完备标准正交函数系已知，就可以将Bergman核函数的无穷级数形式求出和函数，便得到Bergman核函数的显表达式．这神方法我们称它为级数法．不少数学家利用此方法得到了一些结果：例如，对Reinhardt域n(p，q)={2∈∥，"∈c“：J1wll2p+IIzll29<1)1．m=n=1且q=1，S．Bergman在1936年给出了其Berg'man核函数的显表达式[111．2．m=1，n>1且q=1，D’angelo在1978年给出了其Bergman核函数的显表达式【l2】．3．m>1，竹>1且q一1。D’angelo在1994年给出了其Bergman核函数的显表

7、达式【13】．4．m=n=1且P=q=2，域{1w14+Izl4<1}的Bergman核函数的显表达式由ValencourtHercule和JodongPark分别独立得到【l4】．本文考虑一类Reinhardt域。其定义如下；H(N，m，n；K，P)={(∈，z，W)∈CⅣ+””：0fll2K<(1一IIzll2)9(1一11wll2)}其中∈=(fl，⋯，f．】v)∈C。v，Z=(句，·一，Zm)∈Bm(o，1)，W=(Wl，·．．，W。)∈Ⅳm“B傩(o，1)，㈣12=∑i靠i2，lI