一类华结构上的Bergman核函数

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1、摘要III1，Huadomainisthecomplexellipsoid，therefore，HuadomainandthecomplexellipsoidarethespecialcasesofHunConstruction，theresultsweobtaininthispaperinculdethesequenceswhichhavebeenobtainedbysomemathematiciansOilHuadomainandthecomplexellipsoid；becauseHunCo

2、nstructionaremorecomplexthanHundomainandthecomplexelhpsoidinthedefinition，inthecomputationofitsBergmankernelfuntion，wecouldnotonlyapplythemethodwhichhasbeenusedformerlysimply,whileweneedSOmeinnovativeidea，withsomecomplexintegralandsummingskill．keyword

3、s：semi—Reinhardtdomain，Huadomain，Bergmankernelfunction，weightedBergmankernelfunction．序言Bergman核函数的概念是波兰著名数学家S．Bergman于20世纪20年代在研究平面区域之间的共形映照时所引进的fl】．它恰好是乎方可积函数空间到平方可积的全纯函数子空间的正交射影的再生核．Bergman核函数有着非常丰富的性质，在微分几何，函数空间，积分表示，数学物理等领域都有重要的应用．例如·Mostow和Siu在对具

4、有负截曲率的紧K&hler流形的万有覆盖一定双全纯等价于超球这一重要猜想所给出的反例中，复椭球域{。∈c2：

5、2l12+l缸l“<1}的Bergman核函数的显表达式起着关键的作用Ill】；判断—个域是否是陆启铿域，常常会用刭其Bergman核函数的显表达式【21．另外，F．A．Brezin构造了机械系统的一个漂亮的量子化过程，其相空间正好是带有Bergman度量的有界对称域．我们已经知遭，◇中的任一有界域，都存在唯一的Bergman核函数．因此，如何求出有界域的Bergman核函数的显表达式，是

6、值得研究的一个重要同题．对有界对称的齐性域，华罗庚通过计算域的全纯自同构群及其体积元，得到了四类Cartan域的Bergman核函数的显表达式【7】，这种计算Bergman核函数的方法我们称之为华方法；而对于16维和27维例外域，由于它们的矩阵表示巴知，就能够计算出其全纯自同构群，殷慰萍利用华方法也得到了例外域的Bergman核函数的显表达式f201．对于非对称的有界齐性域，因为它全纯等价于Siegel域，Gindikin利用复幂函数的概念算出了齐性Siegel域Berg-man核函数的显表达式1

7、61；许以超用满足一组矩阵方程的一组矩阵来定义N-Siegel域114

8、'并且得到了其Bergman核函数的显表达式【131；钟家庆和殷慰萍建立了一些非对称齐性域及其扩展空间的新类型f22，23]，殷慰萍利用华方法算出了其Bergman核函数的显表达式f211．综上所述可知，对任意的有界齐性域，如果它的全纯自同构群已知，利用华方法我们就可以得到其Bergman核函数的显表达式．而对于一类特殊的Remhardt域，如复椭球域等，由于它们的完备标准正交函数系已知，D’Angelo，Zinovev，Fr

9、ancsics和Hanges等人分别利用无穷级数求和的2序言方法得到了在不同情况下，复椭球域的Bergman核函数的显表达式f3，24，41，这种方法我们称它为级数法．在文献【5，15—191中，给出一种新的求Bergman核函数的方法：引进semi-Reinhardt域的概念并求出其完备标准正交函数系，利用域的全纯自同构群使得计算Bergman核函数归结为确定一个群不变函数，并通过一些特殊的级数求和方法，得到了Cartan-Hartogs域和华罗庚域的Berg-man核函数的显表达式．这里值得指

10、出的是，能显式求出Bergman核函数的域的类型很少，因此，Bergman核函数能够显式表出的域都是很好的域，是值得研究的域．假设Q是C“中的有界域，_pl，_P2是n上的两个正值函数，则㈦-锄NI,Na=p，∥湖渺渺m翳+臀<-}，为定义在CⅣ1×CN*×n上的Forelli-Rudin构造。这里Ⅳl，Ⅳ2∈N，现令n=R，，其中咒，表示华罗庚意义下的第一类Caftan域，将Forelli．Rudin构造推广到C“·×C胁×⋯×C坼×研中，这里Ⅳl，⋯，Ⅳr，r都是正整数；令妒l