有限域上的函数域的K2群的挠

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1、摘要设鲍(F)是域F的MilnorK2群，垂n(z)表示佗次分圆多项式，并记Gn(F)={{口，‰(o))∈K2(F)la，吒(n)∈F+}．Browkin在二十世纪八十年代证明了，对任意域F≠F2和正整数n=1，2，3，4或6，Gn(F)是硷(F)的子群，并猜想，若正整数佗≠1，2，3，4或6，则G。(F)不是鲍(F)的子群．本文考虑F为有限域上的函数域的情形，分别证明了G5(F2(z))不是j已(F2(z))的子群和G5(如(z))不是K2(F3(z))的子群．关键词：有限域；函数域；MilnorK2群；挠AbstractLetK2(F)betheM

2、ilnor鲍一groupofafieldF，and圣n(z)then-thcy-clotomicpolynomial．DenoteGn(F)={{o，圣n(n)】．∈K2(F)lo，圣n(口)∈F。}．Browkinprovedin1980sthatforanyfieldF≠F2and佗=1，2，3，4，or6，Gn(F)isasubgroupofK2(F)．Healsogaveaconjecturethatforn≠1，2，3，4，6，瓯(F)isnotasubgroupofK2(F)．Inthepresentpaper，weinvestigateth

3、ecaseofFbeingthefunctionalfieldoverafinitefield，andprovethatneitherGs(F2(x))isasubgroupofK2(F2(z))norG5(F3(x))asubgroupof鲍(F3(z))．Keywords：finitefield；functionfield；Milnor／／2一group；torsion目录引言⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．1第一章有限域及tame符号的一些一般结果⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．41．1一些特殊的有限域及其扩域⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．41．2

4、整体域及其Galois扩张⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．51．3域的娲群及tame符号⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．5第二章有限域上的函数域的Browkin猜想及证明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯102．1关于Ks(F2@))的结果⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯102．2关于Ks(F3@))的结果⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16结论⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．25参考文献⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯26攻读学位期间的研究成果⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯29致谢⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯··30学位论文独创性声明、学位

5、论文知识产权权属声明⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯．．31青岛大学硕士学位论文引言设鲍(F)是域F的Milnor／(2群，关于鲍(F)中挠元素的研究一直是代数肝理论研究中的一个重要课题．1970年，Tate在国际数学家大会上的-d,时报告中证明：鲍(F)中的任何二阶元都可以写成{一1，o)，a∈F+的形式．后来，Tate在他的著名的论文【1】中，证明了更一般的结论：设f为素数，Q为2次本原单位根，若整体域F含有Q，则K2(F)中任意z阶元均可写成位，口}的形式，其中a∈F’．不仅如此，Tate进一步提出了著名的猜想，即此结论对一般的含厶的域F也成立．80年代初，Susl

6、in证实了Tate的猜想(参见文献【2】)．但是，Tate和Suslin所给出的这些结果有着明显的局限性，即假设条件域F包含厶的限制性太强．因为，由Tate的一个著名定理知有同构：恐(Q)竺{士1】．oA3oA5o⋯oApo⋯其中Ap=(z／pz)+．从而，由算术级数中的素数分布的Dirichlet定理可知，鲍(Q)中含有任意阶元素．但由于Q中仅含单位根士1，故上述定理仅能刻画鲍(Q)中的二阶元．为了克服条件域F需要包含本原单位根的限制，将以上结果推广到更一般的域(可以不含n次本原单位根厶)，Browkin研究了K2(F)中形如{Q，圣n(n)}的元，其

7、中垂n(o)由n次分圆多项式垂n@)确定．记Gn(F)={如，垂n(o))∈K2(F)la，‰(o)∈F+>．Browkin在文献【3】中证明了：(1)对任意域F和正整数7／,，{o，西n(口)，n=1，其中a，‰(o)∈F’；(2)对任意域F≠F2，和正整数礼=1，2，3，4或6，若n次本原单位根白∈F，则鲍(F)中任意元{n，厶】-均可写成{6，‰(6))的形式，其中b，西n(6)∈F‘；(3)对任意域F≠F2和正整数n=1，2，3，4或6，Gn(F)是鲍(F)的子群；(4)在K2Q中，任意3阶元均可写成．【o，圣3(口)>的形式，其中a，垂n(o)

8、∈Q；(5)在％Q中，任意4阶元均可写成{n，a2+1}v的形式，其中a∈Q，u