有限域上的Bessel函数

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1、论文独御性声明本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．论文中除了特别舶以标注和致谢的地方外．不包含其他人或其它机栖色经发表或撰写过的研究成果．其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明并表示了谢意．作善签名：歪!：函盔日期：!竺2：!．论文使用授权声明本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定。eP：学校有权保留送交论文的复印件．允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部分内容．可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文．保密的论文在解密后遵守此规定．作者签名：尘堕罐一第一章绪论经典Bessel

2、函数是特殊函数中应用最广泛的一种函数，不仅在理论物理研究中，而且在应用数学、力学、大气科学等学科以及电工、无线电等工程技术领域中都被广泛的应用。模拟这些经典的定义，研究人员给出了它在有限域上的特征和的形式。例如在文献[4】和文献【l一2J中分别定义了由实数域及复数域上经典Bessel函数模拟出的有限域上的Bessel函数(1)与(2)：(11．蹦z)：击。，磊。烈犯J))“t)(1叫我们将在2．2节中给出由(1．0．1)定义的有限域上的Be88el函数的详细介绍。(2)JN(z)=g。1∑Ⅳ㈦尹刮2(1，0．2)在式(1．0．2)中，q=矿

3、，z∈日，N是局的一个乘法特征，Ⅱ取遍日中所有元，面表示札在F口上的乘法逆元，P=exp(2rciT(x)／p)，这里exp(r)=e(。。，T@)是日到B的迹，日PT(x)=z+矿+⋯+矿～。在文献[3】中，Piatetski-Shapiro也出了有限域上--种Bessel数的定义：饰)=÷∑x(抖动协(￡)，r=o，l，⋯，口2_2．(1删1t．,／v(O=u其中让∈P，协(t)是喀的乘法特征。此函数可用于构造线性群-GL(2，F)，GL(3，F)的表示。此定义与本文定义的Be8sel函数有一定的联系，我们将在第二章讲述。1第二章预备内

4、容§2．1符号与定义本文要用到的基本符号：日：具有q=矿个元素的有限域，p是一个素数。乃：毋的n次扩张。露：目的乘法群。昂：Bn的乘法群。IGf：记集舍G中元素的个数。Ⅳ(z)：表示元素z∈弓的范，N(z)=zzq⋯z口”1。T(z)：表示元素z∈略的迹，T(z)=z+zq+⋯+zq”1。p：p2i可。x：B的非平凡的加法特征。G：瓯={z∈日nlN(z)=“)，对每个钍∈巧，它是由p个元素组成的；co={o}-C：C=C1，即为略的单位群，是乃；中唯一一个p阶循环群。'7：略的生成元。f：善=露9一是G的生成元。后(t)0∈C)：k(t)

5、删-t=f‘(‘)且在1一p之间取值的函数。⋯脚肼驴{；殍芸≯设“(t)=e印【．了2’ri幽(砒、s=o，1，⋯,p-1,(2．1．1)则易验证它是群e的乘法特征，{％(t))是群c的乘法特征群。2第二章预各内容3在吩上，我们引进线性运算(21，z2)=z1勿+z}z；+⋯+z：一1霹～1。Ph(zl，22)。=(Zl，施)可推出(。1，Z2)∈日。有了上述的准备，我们可以给出Bessel函数的定义。定义2．1称荆。石1。．N∑(0=l她恻句(2蚴为含变量z∈野和指数s=0，1，⋯P一1的B龆8el函数．§2．2已知结果综述我们已经在绪论

6、中给出了几种Bessel函数的定义，关于实数域及非阿域上Be跚l函数及其性质，可参考文献睁71·本文是由文献【4I推广来的，文献H中研究的是定义在二次有限域F(7-)上的Bessel函数，通过有限域，群表示理论等知识得至lJBessel函数的性质一加法定理和乘法定理。下面列出文献[410e的记号和得到的结果：F是含有口=矿个元素的有限域。当p≠2时，下是z2一E=O的根，这里E是E的一个固定的非平方元；当p=2时，r是z2+z+u=0的根，这里u是满足u+u2+⋯+扩一1≠O的一个固定的元。一Iz—r可P≠2，Iz+Ⅳ+ry=0P=2．N(

7、z1=应．(魂，Z2)=zlz2+百一Z2-'7：F+(r)的生成元。奄(功：七(￡)是满足条件t=荨‘∽且在1一譬+l之间取值的函数。们)=exp(鬻蜊h=o，l，⋯力x：日的非平凡的加法特征。五(z)=者∑x((荔￡))％鼢1t，Ⅳ(t)=1加法定理：口Jo(Zl+乜％)=∑％一胡(哟占(z1)Ji。。}(勿)，j----o第二章预备内容4其中。l，z2∈B，h∈C。乘法定理：赤。，蒹，引zt+hz2)=以ZlⅢ．Soz2)，其中zl，z2∈B，h∈C。本文是文献[41的推广，主要做了下面的工作。首先，将文献[4】中的Besseli两数

8、的定义域延拓到日n上，并把表达式作了相应的改变。其次，研究新定义下的Besseli垂i数的基本性质，并得到了jk_kBesseli至i数的重要性质：加法定理和乘法定理。第三章以(