有限域上的射影平面doc

《有限域上的射影平面doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、有限域上的射影平面聿虿蚁袅蒇蚈袄膁莃蚇羆羄艿蚆蚆腿膅蚅螈羂蒄蚄袀膇莀螄羂羀芆螃蚂膆膂荿螄罿膈莈羇芄蒆莇蚆肇莂莇蝿节芈莆袁肅膄莅羃袈蒃蒄蚃肃荿蒃螅袆芅蒂袈肂芁蒁蚇袄膇蒁螀膀蒅蒀袂羃莁葿羄膈芇蒈蚄羁膃薇螆膇聿薆袈罿莈薆薈膅莄薅螀肈芀薄袃芃膆薃羅肆蒅薂蚅衿莁薁螇肄芇蚀衿袇膃蚀蕿肃聿虿蚁袅蒇蚈袄膁莃蚇羆羄艿蚆蚆腿膅蚅螈羂蒄蚄袀膇莀螄羂羀芆螃蚂膆膂荿螄罿膈莈羇芄蒆莇蚆肇莂莇蝿节芈莆袁肅膄莅羃袈蒃蒄蚃肃荿蒃螅袆芅蒂袈肂芁蒁蚇袄膇蒁螀膀蒅蒀袂羃莁葿羄膈芇蒈蚄羁膃薇螆膇聿薆袈罿莈薆薈膅莄薅螀肈芀薄袃芃膆薃羅肆蒅薂蚅衿莁薁螇肄

2、芇蚀衿袇膃蚀蕿肃聿虿蚁袅蒇蚈袄膁莃蚇羆羄艿蚆蚆腿膅蚅螈羂蒄蚄袀膇莀螄羂羀芆螃蚂膆膂荿螄罿膈莈羇芄蒆莇蚆肇莂莇蝿节芈莆袁肅膄莅羃袈蒃蒄蚃肃荿蒃螅袆芅蒂袈肂芁蒁蚇袄膇蒁螀膀蒅蒀袂羃莁葿羄膈芇蒈蚄羁膃薇螆膇聿薆袈罿莈薆薈膅莄薅螀肈芀薄袃芃膆薃羅肆蒅薂蚅衿莁薁螇肄芇蚀衿袇膃蚀蕿肃聿虿蚁袅蒇蚈袄膁莃蚇羆羄艿蚆蚆腿膅蚅螈羂蒄蚄袀膇莀螄羂羀芆螃蚂膆膂荿螄有限域上的射影平面史逸(南京师范大学数学与计算机科学学院2004级1班)摘要：定义有限射影平面，利用射影几何与群论的方法推导有限射影平面上的一系列性质,并由此证明存在任意阶

3、的多项式方程在Zp上无解。关键词：有限域；射影平面；射影变换；群在定义射影平面时，我们约定点与直线为一对无定义的基本元素，在点的集合与直线的集合之间有一个关系称为关联关系。对所谓的关联关系，给出如下约定：约定1.1.当点P与直线l有关联关系时，下列说法等价：点P与直线l相关联；直线l与点P相关联；点P在直线l上。直线l通过点P。2.当点P与直线l没有关联关系时，下列说法等价：点P与直线l不关联；直线l与点P不关联；点P不在直线l上。直线l不通过点P。定义1.设集合π为两个不交的非空集合P与L的并集。P的元素称

4、为π的点。L的元素称为π的直线。而且，在点与直线之间有一个关系称为关联关系，满足下述公理：公理P存在一对双射φ：P→FP²，ψ：L→（FP²）*，对于任意的P∈P和任意的l∈L，若φ（P）=x，ψ（l）=u，则点P与直线l相关联←→u1x1+u2x2+u3x3=0，这里F为Zp。称π为一以P为点集，L为直线集的一个有限域F上的射影平面或称为有限域F上的二维射影空间，简称有限射影平面，记作π=（P，L）。满足公理P的一对双射（φ，ψ）称为有限域F上的射影平面上的一个射影坐标映射，并分别称φ和ψ为点坐标映射和线坐

5、标映射，点和直线的坐标映射像分别称为点和直线的坐标。对于固定的有限域F，任意有限射影平面都同构与有限域F上的射影平面的算术模型，即πF=（FP²，（FP²）*），则任意两有限域F上的射影平面都相互同构，下面我们就以πF=（FP²，（FP²）*）为具体模型阐述有限域F上的射影平面的性质。我们约定F为整数集Z模p（p为素数）同余类所生成的有限域Zp，射影平面为πF5有限域上的射影平面=（FP²，（FP²）*）。在这一射影平面中，P=FP²，L=（FP²）*，点x与直线u相关联当且仅当u1x1+u2x2+u3x3=

6、0。在πF上有一个自然的射影坐标映射（α，β），其中α：FP²→FP²；β：（FP²）*→（FP²）*均为恒同映射。很明显有限射影平面可以视为将RP²中的实数域R改为有限域F，得到域F上的三元非零向量类的集合FP²，由于仅仅是数域的变化，实射影平面上的一系列性质都可以移植到有限射影平面上。由公理P，显然有下述定理成立：定理1.在射影平面上，方程u1x1+u2x2+u3x3=0表示直线或点。当把xi作为流动变量而ui作为常数时上式表示直线[u1，u2，u3]；反之，表示点（x1，x2，x3）。由于在有限射影平面

7、上点与直线的等价性，我们立即得到对偶原则：定理2.在有限射影平面上，射影命题A成立当且仅当其对偶命题PA成立。有限射影平面π上的所有点都可以唯一的由坐标表示为：（0，1，0）或（1，λ，0）或（λ，μ，1）λ，μ∈F其中（0，1，0）或（1，λ，0）称为无穷远点，（λ，μ，1）为有穷远点。则在F中，（1，λ，0）的λ共p种取法，即π上共p+1个无穷远点；（λ，μ，1）上的λ和μ共有p²种不同取法，则在有限射影平面π上共p²+p+1个点。对偶的，π上共有p²+p+1条直线。对于任意一条直线l：u1x1+u2x2

8、+u3x3=0上的点取x3=0可以唯一的确定一个无穷远点（u2，-u1，0）在l上，取定x3=1则x1可取p个不同的值及其相对应的，则在l上有p个有穷远点，共p+1个点。对偶的，在过一固定的点的线束中，共有p+1条直线。我们以Z3上的有限射影平面为例，在下表中列出所有的点与直线即其关联关系。在下表中，点与直线相关联的我们用〝+〞表示，不相关联的用〝-〞表示。点坐标直线坐标01010011012000