有限射影空间上的arc

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1、湖南大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：习永惫日期．伽7年莎月z日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或

2、扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。本学位论文属于1、保密口，在‘年解密后适用本授权书。2、不保密团。(请在以上相应方框内打“4")7呻／■泸磊名，球切塑荔硕fj学位论文1．1背景基础及其发展第1章绪论有限域是现代数学中的一个重要组成部分，在许多领域中都被广泛应用，在近几十年里，有限域上的有限射影空间(或Galois空间)被广泛的研究和应用，尤其是在计算科学、通讯理论、编码理论等方面，推动这些学科不断发展．随着通讯技术的不断发展，在信息传输过程中对信息的传输速度和准确度的要求也提高了，这些都属于编码理论研究的内容．最初提到有限射影空间的是R．A．Fisher，在统计学中等价的证明

3、了几何的一个问题，参见文献【1】【2】．在1856年对射影空间的实点和复点的计数被看作是Galois或GF(q)和GF(q2)的点，且只考虑到2维和3维的情况，1892年Fano综合定义了射影空间GF(聆，g)，1906年Veblen和Bussey对任意n和g给出了GF(n，g)系统的解释．后来Rose总结了有限几何在在这些试验设计中的应用，将其统称为Packing问题，参见文献[3】[4]，他从组合的角度图论、设计理论和有限射影空间进行研究，同时结合一些线性代数的方法，证明了这些实验设计与编码理论的联系．在这些文章中提出的核心问题就是决定一个点集中元素个数的最大值，记为垅(，；

4、s；N，q)，这一问题首先作为统计学上的问题被Rose和其同事考虑．这一问题起源于1952年K．A．Bush在文献【5】中讨论的统计问题，R．C．Singleton研究的最大距离分离码(M．D．S码)也与该问题有密切联系，参见文献[6】．关于这一方向的研究我们还要参看文献[7卜[10]．几何学家Segre及其同事在有限射影几何上取得了极大的成就，随着Segre将几何方法的应用，J．A．Thas、L．R．A．Casse和D．G．Glynn在其基础上得出了这个问题的许多结果，参见文献【11卜[221．有限射影空间应用在编码理论上的一些等价公式给这些研究带来又一轮冲击波，编码理论中对于

5、对于某一种码的生成矩阵的行空间的研究在Galois几何中对应的就是列空间的研究，在许多关于Galois几何与编码理论书中所提到的最大距离分离码(M．D．S码)实际上就是等价于射影空间arc理论．MacWillianms和Sloane对最大距离分离码(M．D．S码)的研究是编码理论中最精彩的一部分．编码理论是研究怎样检查并纠正信息在传输过程中的错误，随着通讯的发展越来越要求提高通讯的准确性，所以检错纠错在信息传递中越来越重要．而编码理论和有限域上有限射影空间中的arc和cap有某种对应关系，故编码理论的研究就等价的对应于对arc和cap的研究．有限射影窄问I：的arc1．2射影空间

6、与编码理论的联系在现代通信中由于设备、技术或其他原因，信号在传输过程中可能会发生错误，为了使信息传输更为可靠准确，就需要一种数学方法，使得信息在传输过程中产生少量错误时可及时发现和纠正，对信息进行编码就是常用的一种抗干扰方法．一般地，露表示有限域上只上的11维向量空间，劈的每个非空子集c都叫做一个g元码，11叫该码的码长，C中向量叫做码字．我们给C加上这样一个条件：C中任意两个码字之间相同分量位的个数都少于k，k为自然数，那么，ICl≤q。，如果ICl=q。则c被称为最大距离分离码(M．D．S码)．M．D．s码恰好符合Singleton界的码，参见文献[13][14]码C中任意两

7、个元素之间不同分量的个数成为Hamming距离，两个不同码字的距离最小值成为C的最小距离，记为d．译码时常遵循最小距离译码原则，即对接收到的码字、，，在c中找到一个码字U，使得U，v2_间的距IJ1I离最小，则我们把v译成”．一个最小距离为d的线性码是一个l；；l一纠错码，L2J也是一个(d—1)一检错码，文献[7】证明了d≤疗一k+1．如果C是M．D．S码，则d=11一k+1，也就是说符合Singleton界．一个E上的[胛，k，d]线性码C是玎维向量空间V(n，q)的一个k维