向量在轴上的射影的辨析

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4、向量在轴上的射影的辨析上海市宜山路655弄4号121室　陈振宣向量在轴上的射影是向量加减运算化归为实数运算的理论基础.对此各种版本的书上存在两种完全不同的定义，因而产生了一些混乱，造成了广大师生的困惑.一、问题呈现下面以人教社的两种教材为例做些讨论，并从此引出澄清混乱的办法，请专家与广大师生讨论指正.《普通高中课程标准实验教科书（B版）》数学4必修（以下简称课标本）P115：3.向量在轴上的正射影已知向量和轴(图1).作过点分别作轴的垂线，垂足分别为则向量叫做向量在轴上的正射影（简称射影），该射影在轴上的坐标，称做在轴上的数量

5、或在轴的方向上的数量.   在轴上正射影的坐标记作向量的方向与轴的正向所成的角为则由三角中的余弦定义有       图1                                图2例1已知轴（图2）：(1)向量，在上的正射影；(2)向量在上的正射影.解：(1).(2).上述向量在轴上的正射影的定义是向量，但例1中求在上的射影，无论写法还是结果却都是数量，这样是否自相矛盾？《全日制普通高级中学教科书（试验本）数学必修第一册（下）》（以下简称大纲本）P136页:如图3，，，过点B作垂直于直线，垂足为，则叫做向量在方向上的投

6、影，当为锐角时（图3（1）），它是正值；当为钝角时（图3（2）），它是负值；当时（图3（3）），它是0.当时，它是；当时，它是.图3该书虽未给向量在轴上的射影下定义，但上述“叫做向量在方向上的投影”,已隐含向量在轴上的投影是数量.可见课标本与大纲本的定义是完全不同的.高里德凡著《矢算概论》P17-P18对此的表述如下：10.矢量的分量及射影 可以区别正负方向的无限直线称为轴.例如在解析几何中，直线及是轴,因为在它们上面具有正负方向.A点在S轴上的射影是自A点至射影轴S所作垂线的垂足(图4).如果A点位于射影轴上，那么，它的射影

7、与其本身重合.矢量在S轴上的分量是矢量，它由矢量的两端A及B在S轴上的射影所构成（图5a）.用表示矢量的分量：.矢量在S轴的射影是带有正号或负号的分量的模.究为正号或负号，那就决定于矢量的分量的方向与S轴的方向一致或者不一致.为与矢量的分量区别，矢量的射影用表示：或.如果在射影轴上，取自左至右为正方向，那么在图5a中，矢量的射影是正：.而在图5b中，矢量的射影是负：.由射影的定义可知，它们是数量.补助定理设是轴的正方向的单位矢量，那么任意矢量在S轴上的分量等于这矢量的射影乘轴的单位矢量.这本书明确提出：“矢量在S轴的射影是带有

8、正号或者负号的分量的模”，并断言“由射影的定义可知它们是数量”.这与向量在轴上的射影是向量之说是完全不同的.华罗庚的《高等数学引论》第一卷第一分册对向量在坐标上的射影并未下过定义，但有一段如下的说明(P40)：以下所讨论的矢量仅指自由矢量，一个自由矢量的长度是.方向由决定.显