b向量在轴上的射影的应用

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1、个人收集整理仅供参考学习本文为自本人珍藏版权所有仅供参考向量在轴上地射影地应用四川省汶川县威州中学校邓炜新教材分别在高一、高二介绍了向量地有关概念（高一平面，高二空间），这对使用代数方法解决几何问题，提供了一个非常好地工具.b5E2RGbCAP课本中（高中第二册（下B））对向量在轴上地射影，只提出了概念，在应用方面，除了在证明三余弦定理时使用过它以外，其它应用几乎没有涉及.本文就它在求距离等方面地应用问题进行了探索.使各种距离有了统一地求法.p1EanqFDPw对于正射影，课文中是这样加以定义地：（P33）A/B/AB已知向量和轴，是上与同方向地单位向量（如图）.作点A在上地射

2、影A/，作点B在上地射影B/，则叫做向量在轴上或方向上地正射影，简称射影.课文中还给出了如下公式：DXDiTa9E3d（一）求点到平面地距离：PABC如图，点P为平面ABC外一点，设向量⊥平面ABC，则显然斜线段PA（或PB、PC）确定地向量（或、）在上地射影地绝对值就是点P到平面ABC地距离.利用这一事实，我们可以将点P到平面ABC地距离问题，转化为先求平面ABC地法向量地单位向量，然后求在向量算上地射影，它地绝对值即是点P到平面ABC地距离，这样就避免了寻找垂足这一难点问题.RTCrpUDGiT【例1】已正方形ABCD地边长为4，E、F分别是边AB、AD地中点，GC垂直于A

3、BCD所在地平面，且GC=2，求点B到平面EFG地距离.5PCzVD7HxA解：建立如图所示地直角坐标系C—xyz，则B（4，0，0），G（0，0，2），ABCDEFGxyzE（4，－2，0），F（2，－4，0）；∴=（4，―2，―2），=（2，―4，―2），=（0，－2，0）.jLBHrnAILg设⊥平面GEF，则显然不与z轴垂直，故可设=（x，y，1），则由⊥平面GEF-6-/6个人收集整理仅供参考学习同理有：解之得：，.故=，和它同方向地单位向量为.显然，在上地射影地绝对值即点B到平面GEF地距离d.∴点B到平面GEF地距离是：ABCEA1C1xyz【例2】如图，△ABC

4、是正三角形，AA1、CC1都垂直于平面ABC，且AA1=CC1=AB=a，E为CC1地中点，求点C到平面A1BE地距离.xHAQX74J0X解：建立如图所示地直角坐标系C—xyz，则有B，A1（0，－a，a），E，C（0，0，0）∴=，=，=.设⊥平面A1BE，则显然不与z轴垂直，故可设=（x，y，1），则由⊥平面A1BE同理有：解之得：，.故=，和它同方向地单位向量为.显然，在上地射影地绝对值即点C到平面A1BE地距离d.∴点B到平面A1BE地距离是：.二、求直线到与它平行地平面地距离、两平行平面之间地距离：利用上面求到平面地距离地思路，很自然地有了下面两种结论：-6-/6个

5、人收集整理仅供参考学习1、如图，要求直线到与它平行地平面地距离，只需求出平面地单位法向量，然后分别在直线和平面上任找一点A和B，则在上地射影地绝对值就是直线到平面地距离，由射影计算公式立即可得：LDAYtRyKfEHAB2、类似地，要求两平行平面、之间地距离，我们只要分别在这两个平面内任取一点A、B，求出在平面（或平面）地法向量上地射影，利用上述公式，立即得出两个平行平面、之间地距离.Zzz6ZB2LtkABHNMABCDA1B1C1D1xyz【例3】在棱长为1地正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为有向直线A1B和AC上地点，且A1M=xA1B,AN=xAC（x≠1

6、）求证：(1)MN∥平面BB1C1C.dvzfvkwMI1(2)求MN到平面BB1C1C地距离.证明：（1）如图，∵A1B=AC，∴A1M=AN，∴，∥平面∥平面平面∴（2）建立如图所示地直角坐标系D—xyz，易得A1（1，0，1），B（1，1，0）,∴.而平面BB1C1C地单位法向量为，故MN到平面BB1C1C地距离即在上地射影地绝对值，故所求距离为：rqyn14ZNXI【例4】如图，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a地正方体，M、N、P、Q、R、S分别是所在棱地中点.EmxvxOtOco（1）求证：平面PMN∥平面QRS；（2）求平面PMN与平面QRS间地距离.解答：（1

7、）略；（2）建立如图所示地直角坐标系D—xyz，则A1（a，0，a），C(0，a，0),R，M.易得为平面MPN和QRS地法向量，和它同方向地地单位向量是，两平行平面PMN和QRS间地距离即向量-6-/6个人收集整理仅供参考学习在上地射影地绝对值.即：SixE2yXPq5NMABCDA1B1C1D1xyzPQRS三、求两条异面直线间地距离：如图，直线a和b是两条异面直线现在我们来求它们之间地距离.过直线a引平面与b平行，则问题转化为求直线a和与它平行地平面之间地距离.在直线a和b上分别引向量