b5向量在轴上射影应用

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1、本文为自本人珍藏版权所有仅供参考向量在轴上的射影的应用四川省汶川县威州中学校邓炜新教材分别在高一、高二介绍了向量的有关概念（高一平面，高二空间），这对使用代数方法解决几何问题，提供了一个非常好的工具。课本中（高中第二册（下B））对向量在轴上的射影，只提出了概念，在应用方面，除了在证明三余弦定理时使用过它以外，其它应用几乎没有涉及。本文就它在求距离等方面的应用问题进行了探索。使各种距离有了统一的求法。对于正射影，课文中是这样加以定义的：（P33）A/B/AB已知向量和轴，是上与同方向的单位向量（如图）。作点

2、A在上的射影A/，作点B在上的射影B/，则叫做向量在轴上或方向上的正射影，简称射影。课文中还给出了如下公式：（一）求点到平面的距离：PABC如图，点P为平面ABC外一点，设向量⊥平面ABC，则显然斜线段PA（或PB、PC）确定的向量（或、）在上的射影的绝对值就是点P到平面ABC的距离。利用这一事实，我们可以将点P到平面ABC的距离问题，转化为先求平面ABC的法向量的单位向量，然后求在向量算上的射影，它的绝对值即是点P到平面ABC的距离，这样就避免了寻找垂足这一难点问题。【例1】已正方形ABCD的边长为4，

3、E、F分别是边AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。解：建立如图所示的直角坐标系C—xyz，则B（4，0，0），G（0，0，2），ABCDEFGxyzE（4，－2，0），F（2，－4，0）；∴=（4，―2，―2），=（2，―4，―2），=（0，－2，0）。设⊥平面GEF，则显然不与z轴垂直，故可设=（x，y，1），则由⊥平面GEF同理有：用心爱心专心118号编辑-5-解之得：，。故=，和它同方向的单位向量为。显然，在上的射影的绝对值即点B到平面GEF的距离d

4、。∴点B到平面GEF的距离是：ABCEA1C1xyz【例2】如图，△ABC是正三角形，AA1、CC1都垂直于平面ABC，且AA1=CC1=AB=a，E为CC1的中点，求点C到平面A1BE的距离。解：建立如图所示的直角坐标系C—xyz，则有B，A1（0，－a，a），E，C（0，0，0）∴=，=，=。设⊥平面A1BE，则显然不与z轴垂直，故可设=（x，y，1），则由⊥平面A1BE同理有：解之得：，。故=，和它同方向的单位向量为。显然，在上的射影的绝对值即点C到平面A1BE的距离d。∴点B到平面A1BE的距离是

5、：。二、求直线到与它平行的平面的距离、两平行平面之间的距离：利用上面求到平面的距离的思路，很自然地有了下面两种结论：1、如图，要求直线到与它平行的平面的距离，只需求出平面的单位法向量用心爱心专心118号编辑-5-，然后分别在直线和平面上任找一点A和B，则在上的射影的绝对值就是直线到平面的距离，由射影计算公式立即可得：HAB2、类似地，要求两平行平面、之间的距离，我们只要分别在这两个平面内任取一点A、B，求出在平面（或平面）的法向量上的射影，利用上述公式，立即得出两个平行平面、之间的距离。ABHNMABCD

6、A1B1C1D1xyz【例3】在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为有向直线A1B和AC上的点，且A1M=xA1B,AN=xAC（x≠1）求证：(1)MN∥平面BB1C1C。(2)求MN到平面BB1C1C的距离。证明：（1）如图，∵A1B=AC，∴A1M=AN，∴，∥平面∥平面平面∴（2）建立如图所示的直角坐标系D—xyz，易得A1（1，0，1），B（1，1，0）,∴。而平面BB1C1C的单位法向量为，故MN到平面BB1C1C的距离即在上的射影的绝对值，故所求距离为：【例4】如图，A

7、BCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N、P、Q、R、S分别是所在棱的中点。（1）求证：平面PMN∥平面QRS；（2）求平面PMN与平面QRS间的距离。解答：（1）略；（2）建立如图所示的直角坐标系D—xyz，则A1（a，0，a），C(0，a，0),R，M。易得为平面MPN和QRS的法向量，和它同方向的的单位向量是，两平行平面PMN和QRS间的距离即向量在上的射影的绝对值。即：用心爱心专心118号编辑-5-NMABCDA1B1C1D1xyzPQRS三、求两条异面直线间的距离：如图，直线a和b是两

8、条异面直线现在我们来求它们之间的距离。过直线a引平面与b平行，则问题转化为求直线a和与它平行的平面之间的距离。在直线a和b上分别引向量和，利用求直线与平面间的距离方法。得到下面的结论：ABCDA1B1C1D1xyz首先求出平面垂的单位法向量（即与和垂直的单位向量），然后在直线a和b上任取两点A和B，求出在上的射影，它的绝对值即是两条异面直线a与b的距离。【例5】如图，在长方体AC1中，AB=a，BC=b，AA1=c，求异面直线