几何空间选论(第三讲 射影几何与射影空间)

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1、第三讲射影几何与射影空间一、射影几何的起源与确立射影几何是研究图形的射影性质，即经过射影变换后，依然保持图形性质不变的几何学分支。射影几何也叫投影几何学，通过它可以把欧氏几何、仿射几何等联系起来。射影几何的某些内容在公元前就已经出现了，基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。但射影几何直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。1.达·芬奇（1452—1519）射影几何的最早起源是绘画。达·芬奇是一位思想深邃，学识

2、渊博，多才多艺的画家、发明家、哲学家、音乐家、医学家、建筑和军事工程师。他广泛地研究与绘画有关的光学、数学、地质学、生物学等多种学科。在《绘画专论》一书中，他对透视法作了详尽的论述。他的代表作《最后的晚餐》是基督教传说中最重要的故事。这幅画就是严格采用透视法的。在数学方面，他巧妙地用圆柱滚动一周的方法解决了化圆为方的难题，另外他还研究过等腰梯形、圆内接多边形的作图，四面体的重心等。此外，达·芬奇还发现了液体压力的概念，提出了连通器原理。达·芬奇在生理解剖学上也取得了巨大的成就，被认为是近代生理解剖学的始祖。他绘制了比较详细的人体解剖图。在建筑方面，达·芬奇也表

3、现出了卓越的才华。他设计过桥梁、教堂、城市街道和城市建筑。达·芬奇的研究和发明还涉及到了军事领域。他发明了簧轮枪、子母弹、三管大炮、坦克车、浮动雪鞋、潜水服及潜水艇、双层船壳战舰、滑翔机、直升飞机和旋转浮桥等。看过《达·芬奇密码》的人大概都知道达·芬奇密码筒。达·芬奇设计的这种密码筒造型古典，内涵着文艺复兴特质，设计优雅。要打开密码筒，必须解开一个5位数的密码，密码筒上有5个转盘，每个转盘上都有26个字母，可能作为密码的排列组合多达11881376种。达·芬奇长达1万多页的手稿(现存约6000多页)至今仍在影响着科学研究。达·芬奇被誉为“艺术家中的科学家，科学

4、家中的艺术家”。2.笛沙格（1591---1661）　射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家——笛沙格（或译作德萨格）和布莱士·帕斯卡。笛沙格是一个自学成才的数学家，1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。笛沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限。最著名的是用他的名字命名的笛沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对

5、应边的交点共线，反之也成立”，这是射影几何的基本定理。笛沙格还发现了“交比”这一射影几何的基本不变量。3.帕斯卡（1623---1662）帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条重要定理。1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。不过笛沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的研究

6、方向会导致产生一个新的几何体系---射影几何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的探讨也中断了。4.彭赛列特（1778---1867）射影几何的主要奠基人是19世纪的彭赛列特。他是画法几何的创始人蒙日的学生。1822年，彭赛列特发表了射影几何的第一部系统著作《论图形的射影性质》，使射影几何在理论上更加完善，内容更加系统。他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一位数学家。他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶原理。5.莫比乌斯（1790---1868）运用解析法来研究射影几何也有长足进展。首先是

7、莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。另外莫比乌斯还发现了著名的“莫比乌斯带”，它是将一个长方形纸条扭转180度然后把两端对接在一起做成的。它的特点是：只有一条封闭曲线作为边界线，并且曲面是单侧的。它可以作为射影平面模型的一部分。6．射影几何演绎体系的建立.在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的争论异常激烈；有些数学家完全否定综合法，认为它没有前途，而一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法。还有一些人，如彭赛列特，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助

8、于代数，但在著作中总是用综合法来论证。